行列式的計(jì)算畢業(yè)論文正稿(編輯修改稿)
2025-07-21 01:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 二列減去第三列，則得 D= =例12：計(jì)算階行列式（空白處全為0）分析：這個(gè)行列式中含有很多的零，但零的個(gè)數(shù)沒(méi)有多到可以直接用定義法簡(jiǎn)化所有的項(xiàng)的和，但觀察行列式會(huì)發(fā)現(xiàn)除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有兩個(gè)元素，且在對(duì)角線下方，只有第一列元素不為零，故只要能把第一列中變?yōu)榱憔涂苫癁槿切?。解：?dāng)將的第列乘以加到第一列，則得 當(dāng)某一個(gè)時(shí)，比如，則把按第列展開(kāi)，可得（4）逐行（或列）相加（減）法。有的行列式的行（列）乘的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，逐行（列）相加（減）后，可化為前面的幾種形式，進(jìn)而化為三角形或直接化為三角形。例13：計(jì)算分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例題相似，但細(xì)看便會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的不同，這個(gè)行列式前行的和雖然都相同，但卻是零，用提公因式法就沒(méi)有作用了，同時(shí)我們也可以看出，對(duì)角線上方的元素要全部化為零是比較容易實(shí)現(xiàn)的，故此題我們用逐列相加的方法。解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類(lèi)推，得例14：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線上方的元素按列（行）成等差數(shù)列，而主對(duì)角線下方的元素按行（列）成常數(shù)列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素變?yōu)榱悖徊糠秩優(yōu)橄嗤?，從而更有利于化為三角形。一般的，若行列式?duì)角線兩側(cè)的元素有一定的規(guī)律，如：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列或相等時(shí)，用逐行（列）相加法可使行列式變的簡(jiǎn)單易算。解：從的第二行起，每行乘以（－1）后加到上一行，則得從第一行開(kāi)始，每行都減去下一行，又得以上的四種方法都是利用化三角形的方法來(lái)解求行列式，由定義法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于對(duì)角線上元素相乘時(shí)要注意前面的符號(hào)，為了書(shū)寫(xiě)結(jié)果簡(jiǎn)單，通常我們?cè)敢饫弥鲗?duì)角線元素的乘積來(lái)表示結(jié)果，但若化為次對(duì)角線乘積更簡(jiǎn)便的方法，只要注意結(jié)果的符號(hào)，化為次對(duì)角線元素的乘積也是完全正確可行的。降階法 （按行（列）展開(kāi)法） 降階法與行列式按行（列）展開(kāi)類(lèi)似，使高階行列式用低階行列式來(lái)表示，逐步簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開(kāi)定理有或 其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開(kāi)。例15：計(jì)算行列式。 解：設(shè)原行列式為，按第五行展開(kāi)得: 例16：計(jì)算20階行列式分析：這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)法完成的，更何況是階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：例17：計(jì)算。 解：先將第行減去第+1行（=1，2，3，……，1），然后再將第列分別加到第1列，第2列，……，第1列有，=。階行列式等于它的任意一行（列）各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和。既行列式按一行（列）展開(kāi)能將高階行列式化為階數(shù)比較低的行列式進(jìn)行計(jì)算，此法稱(chēng)為降階法。這是一種計(jì)算數(shù)字行列式的常用的方法。值得注意的是在使用時(shí)應(yīng)先利用行列式的性質(zhì)，將某行（列）元素盡可能的多的消去零。然后再展開(kāi)計(jì)算能更方便，對(duì)一些特殊構(gòu)造的行列式可以利用拉普拉斯定理降階計(jì)算。升階法（加邊法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例18：計(jì)算階行列式：分析：我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,…, xn相乘，第二行為x2與x1,x2,…, xn相乘，……，第n行為xn與 x1,x2,…, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,…, xn，從而就可考慮此法。解：注意：在家一定要記住，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。拆分法有些行列式，當(dāng)把某一行（列）的每一個(gè)元素都看成兩個(gè)元素的和然后把原行列式拆成兩個(gè)行列式的和時(shí)，就可利用前面的方法來(lái)求解。例19：計(jì)算階行列式分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線上全為，兩側(cè)一側(cè)全為另一側(cè)全為，似乎可以逐行相加的方法，但只要在草紙稍加計(jì)算便會(huì)發(fā)現(xiàn)，逐行相加法并不能容易的計(jì)算出這個(gè)行列式，一般的，當(dāng)行列式主對(duì)角線元素相同，主對(duì)角線兩側(cè)元素分別全部相同時(shí)，我們用拆分法來(lái)解。解：按的第一列及第一行分別用拆分法，把拆成兩個(gè)行列式的
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