行列式的計(jì)算畢業(yè)論文正稿(編輯修改稿)
2025-07-21 01:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 二列減去第三列，則得 D= =例12：計(jì)算階行列式（空白處全為0）分析：這個行列式中含有很多的零，但零的個數(shù)沒有多到可以直接用定義法簡化所有的項(xiàng)的和，但觀察行列式會發(fā)現(xiàn)除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有兩個元素，且在對角線下方，只有第一列元素不為零，故只要能把第一列中變?yōu)榱憔涂苫癁槿切?。解：?dāng)將的第列乘以加到第一列，則得 當(dāng)某一個時，比如，則把按第列展開，可得（4）逐行（或列）相加（減）法。有的行列式的行（列）乘的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，逐行（列）相加（減）后，可化為前面的幾種形式，進(jìn)而化為三角形或直接化為三角形。例13：計(jì)算分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例題相似，但細(xì)看便會發(fā)現(xiàn)它們的不同，這個行列式前行的和雖然都相同，但卻是零，用提公因式法就沒有作用了，同時我們也可以看出，對角線上方的元素要全部化為零是比較容易實(shí)現(xiàn)的，故此題我們用逐列相加的方法。解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得例14：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對角線上方的元素按列（行）成等差數(shù)列，而主對角線下方的元素按行（列）成常數(shù)列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素變?yōu)榱悖徊糠秩優(yōu)橄嗤?，從而更有利于化為三角形。一般的，若行列式對角線兩側(cè)的元素有一定的規(guī)律，如：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列或相等時，用逐行（列）相加法可使行列式變的簡單易算。解：從的第二行起，每行乘以（－1）后加到上一行，則得從第一行開始，每行都減去下一行，又得以上的四種方法都是利用化三角形的方法來解求行列式，由定義法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于對角線上元素相乘時要注意前面的符號，為了書寫結(jié)果簡單，通常我們愿意利用主對角線元素的乘積來表示結(jié)果，但若化為次對角線乘積更簡便的方法，只要注意結(jié)果的符號，化為次對角線元素的乘積也是完全正確可行的。降階法 （按行（列）展開法） 降階法與行列式按行（列）展開類似，使高階行列式用低階行列式來表示，逐步簡化行列式的計(jì)算。設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或 其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個階行列式化為個階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將階行列式降階直至化為許多個2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例15：計(jì)算行列式。 解：設(shè)原行列式為，按第五行展開得: 例16：計(jì)算20階行列式分析：這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：例17：計(jì)算。 解：先將第行減去第+1行（=1，2，3，……，1），然后再將第列分別加到第1列，第2列，……，第1列有，=。階行列式等于它的任意一行（列）各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和。既行列式按一行（列）展開能將高階行列式化為階數(shù)比較低的行列式進(jìn)行計(jì)算，此法稱為降階法。這是一種計(jì)算數(shù)字行列式的常用的方法。值得注意的是在使用時應(yīng)先利用行列式的性質(zhì)，將某行（列）元素盡可能的多的消去零。然后再展開計(jì)算能更方便，對一些特殊構(gòu)造的行列式可以利用拉普拉斯定理降階計(jì)算。升階法（加邊法）有時為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例18：計(jì)算階行列式：分析：我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,…, xn相乘，第二行為x2與x1,x2,…, xn相乘，……，第n行為xn與 x1,x2,…, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,…, xn，從而就可考慮此法。解：注意：在家一定要記住，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計(jì)算的效果。拆分法有些行列式，當(dāng)把某一行（列）的每一個元素都看成兩個元素的和然后把原行列式拆成兩個行列式的和時，就可利用前面的方法來求解。例19：計(jì)算階行列式分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對角線上全為，兩側(cè)一側(cè)全為另一側(cè)全為，似乎可以逐行相加的方法，但只要在草紙稍加計(jì)算便會發(fā)現(xiàn)，逐行相加法并不能容易的計(jì)算出這個行列式，一般的，當(dāng)行列式主對角線元素相同，主對角線兩側(cè)元素分別全部相同時，我們用拆分法來解。解：按的第一列及第一行分別用拆分法，把拆成兩個行列式的
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