行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 17:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個引理： 引理1 證明: .證明 首先我們對的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，左邊==右邊，故引理結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論成立,即 現(xiàn)在我們來看當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論是否成立。首先我們按第一行展開，則有 可見，當(dāng)時(shí)，引理的結(jié)論也成立。因此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，引理1得證。引理2 證明:其中證明 首先對作以下變換:第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；如此下去，第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列，則有然后再依次按行，行,…,行展開，則有原式=因此，由引理1及引理2知行列式的乘法規(guī)則成立。 首先需證明以下引理：引理3 行列式的任一子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開式中的一項(xiàng)，而且符號也一致。 證明 令為行列式的任一階子式,為對應(yīng)的余子式。令展開后的一般項(xiàng)為（1）其中為從小到大的行排列，為次序不定的列排列。 再令展開后的一般項(xiàng)為（2）其中為從小到大的列排列，為次序不定的行排列。又與都為的一個排列。從而將式（1）（2）相乘，得.顯然為展開后的任意項(xiàng)。 再者 （3）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也會與中的任意項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（3）式成立。 又由于 （4）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也與中的項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。比項(xiàng)大的有項(xiàng)，而中有項(xiàng)，所以能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，同理在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（4）成立。因此，我們有從而，有即的一般項(xiàng)為.又為的代數(shù)余子式。所以的一般項(xiàng)為.這剛好是行列式的一般項(xiàng)，所以引理3得證。定理1 若為階行列式，為的取定行后得到的子式，分別為的代數(shù)余子式。則有證明 我
語文相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1