函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 20:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 拋物線在時，函數(shù)有最大值，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別指數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過點（0,1）。其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。時，的值越小函數(shù)值下降越快；時，的值越大數(shù)值增加越快。 對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別對數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過點。其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時,的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng)時,的值越大函數(shù)值增加越快。 高等數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（在點仍在鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比，在時的極限存在，這稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并且稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，即。 導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在單調(diào)性上就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是切線的的傾角。也就是說若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。例1 求證：當(dāng)時。證明：令，則，則故在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時， ，于是在 上單調(diào)遞增，即。 函數(shù)單調(diào)性的解題應(yīng)用 單調(diào)性在求極值、最值中的應(yīng)用 一元函數(shù)的極值極值定義：一般地，若函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)對一切有 則稱函數(shù)在點取得極大值，是極大值點。函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)對一切有，則稱函數(shù)在點取得極小值，是極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。例1 設(shè)為實數(shù),函數(shù) (1)求的極值。(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時,曲線軸僅有一個交點。解：(1)，若=0，則。當(dāng)變化時，變化情況如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+極大值極小值∴的極大值是，極小值是(2)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時有，所以曲線與軸至少有一個交點。結(jié)合的單調(diào)性可知：當(dāng)?shù)臉O大值，即時，它的極小值也小于0，因此曲線與軸僅有一個交點，它在上。當(dāng)?shù)臉O小值－10即時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在上。所以，當(dāng)∪時，曲線=與軸僅有一個交點。例2 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（1）求、的值。（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（1）∵，∴,從而 即是一個奇函數(shù),所以得，由奇函數(shù)定義得；（2） 由（1）知從而，令=0，解得 ，由。由此可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；進(jìn)而得在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。對于二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。令。（1）當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；（2）當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值；（3）當(dāng)時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值。如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組，求出的所有駐點；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點處、的值，根據(jù)的符號判定駐點是否為極值點. 最后求出函數(shù)在極值點處的極值。例3 設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值。解：因為 ，所以令得 故將其代入，可得 或 由于所以，，故，又，從而點是的極小值點，極小值為。類似地，由 ，可知，又，從而點是的極大值點，極大值為。（拉格朗日數(shù)乘法）拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題。于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)；（2）由方程組解出，，其中點就是所求條件極值的可能的極值點。拉格朗日數(shù)乘法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論。不過在實際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點。例5 經(jīng)過點的所有平面中，哪一個平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最?。⑶蟠俗钚◇w積。解：設(shè)所求平面方程為因為平面過點，所以該點坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 (1)設(shè)所求平面與三個坐標(biāo)平面所圍立體的體積為V， 則 (2)原問題化為求目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值．作拉格朗日函數(shù) (3)求函數(shù)L的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：由此方程組和（1）解得a = b = c = 3.由于最小體積一定存在，且函數(shù)有惟一的駐點，故為所求，即平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的．如果是函數(shù)的極值點．那只就附近的一個局部范圍來說,是的一個最大值；如果就的整個定義域來說，不一定是最大值。關(guān)于極小值也類似。所以在
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