函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-03 20:37 本頁面
【正文】 上，增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的。函數(shù)的這一性質(zhì)在解決函數(shù)求極值、比較大小、求解方程的根、解不等式等問題時(shí)都有很大的幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中，例如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中如何實(shí)現(xiàn)利潤最大化，在工程領(lǐng)域中如何計(jì)算材料的極限強(qiáng)度，在航空領(lǐng)域中計(jì)算航空器回收落地時(shí)間等等，函數(shù)單調(diào)性都有很重要的應(yīng)用。 函數(shù)單調(diào)性的理解 (1) 圖形理解在區(qū)間上，的圖像上升（或下降）是區(qū)間上的增函數(shù)（或減函數(shù)）。OxX1X2y①增函數(shù)圖像OxX1X2y②減函數(shù)圖像例1 證明函數(shù)上是減函數(shù)。證明：設(shè)是區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，且，則圖像如下:x11001x2f(x2)()(x2))(2) 正向理解（定義理解）在區(qū)間上單調(diào)遞增，,且；在區(qū)間上單調(diào)遞減，,且。例2 設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，確定的大小關(guān)系。解：函數(shù)是偶函數(shù)，，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且即(3) 逆向理解在區(qū)間D上單調(diào)遞增，,且；在區(qū)間D上單調(diào)遞減，,且。例3 已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由已知可知，又是奇函數(shù) 。是定義在上的減函數(shù)， ，解得。(4) 導(dǎo)數(shù)理解設(shè)函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，若，則是減函數(shù)；若，則是增函數(shù)。反之，若函數(shù)是增函數(shù)，則；若函數(shù)是減函數(shù)，則。例4 函數(shù)在是減函數(shù)，求的取值范圍。解：在上遞減，恒成立，則(1) 當(dāng)時(shí)，滿足條件。(2) 當(dāng)時(shí)，只須滿足即可。綜上所述得. 函數(shù)單調(diào)性的常用定理和性質(zhì) 最值定理對于在區(qū)間上有定義的函數(shù),如果有,使得對于,都有(或)，則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值(或最小值)。例1 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。解：由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，最小值為0。定理1（最大、最小值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)，使是在上的最大值，又至少有一點(diǎn)，使是在上的最小值。注意，不是任何函數(shù)都有最大值和最小值。例如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)既無最大值又無最小值。 有界性定理根據(jù)定理1可知，函數(shù)在其連續(xù)區(qū)間上一定存在最大值和最小值，使任一滿足。該式表明，函數(shù)在區(qū)間上有上界和下界，因此函數(shù)在區(qū)間上有界。定理2 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。 零點(diǎn)定理定理3 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。例2 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。證明：設(shè)，則在閉區(qū)間上連續(xù)，并且，根據(jù)零點(diǎn)定理，在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。從而說明了方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。 介值性定理定理4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若181。為介于與之間的任何實(shí)數(shù)(或)，則至少存在一點(diǎn),使得。 極值的判定定理 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)對一切有，則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大（?。┲?，稱點(diǎn)為極大（?。┲迭c(diǎn)。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的極值點(diǎn)，那只就附近的一個(gè)局部范圍來說，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點(diǎn)，都有則是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果對附近的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值, 對應(yīng)的極值點(diǎn)就是（，）。如果就的整個(gè)定義域來說，不一定就是最大值或最小值。定理5（費(fèi)馬定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)。若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有。定理6（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。（1） 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極小值；（2） 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得極大值。 ????? 例3 判斷函數(shù)在的單調(diào)性。解：函數(shù)有正有負(fù)。定理7（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且。（1）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極小值。證明：在情形（1），由于，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性，存在的某個(gè)去心鄰域，在該鄰域內(nèi)有 ； 則在時(shí)，在時(shí)。由極值的定義可知，函數(shù)在處取得極大值。同理，可證明（2）當(dāng)，函數(shù)在處取得極小值。例4 設(shè)函數(shù)由方程所確定，且。問在處是否取得極值？若取得極值，是極大值還是極小值？解：因?yàn)椋?，即?。函數(shù)單調(diào)性的判別 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別在最初對函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。在對這些函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們主要結(jié)合了函數(shù)的圖像來判斷函數(shù)的單調(diào)性。 一次函數(shù)單調(diào)性的判別一次函數(shù)的解析式：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。 二次函數(shù)單調(diào)性的判別二次函數(shù)的解析式，其圖形形式為拋物線。其中當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線在時(shí)，函數(shù)有最小值，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)；其中當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)
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