淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-01 10:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 羊的數(shù)目以最大化自己的利潤。 如果購買一只羊的價值為 c ，則第 i 個牧民將得到的利潤就為 cxxVxcxXVxxxxP ini iiiini ???? ?? )()(),...,( 121 ， ni ,...,2,1? 。 O maxX X 圖 2 V 6 于是 為了取得最大利潤，羊的數(shù)量就要 滿足以下一階最優(yōu)化條件 （ *） 0)()( ??????? cXVxXVxP iii， ni ,...,2,1? 。 即使 得每個牧民獲 得最大利潤的羊的 數(shù)目（最優(yōu)飼養(yǎng)量） ix （ ni ,...,2,1? ）必是 此 方程組的解， 我們稱 為最優(yōu)解。這個方程說明了， 每增 加一只羊就會產(chǎn)生 正負(fù)兩 種效應(yīng)，正 效應(yīng)是這只羊本身的價值 )(XV 的增加，負(fù)效應(yīng)是這只羊的增加使之前已有 羊的價值減少（因為 0)( ?? XVxi ）。 從一階最優(yōu)化條件 我們還能得到 ，第 i 個牧民 的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ix 是受其他牧民的飼養(yǎng)數(shù)目影響的，因此 我們 可以認(rèn)為這樣的 ix 是 ),...,2,1( ijnjx j ?? 的函數(shù)，即 ),...,...,( 111 niiii xxxxxx ??? ，我們稱其 為反應(yīng)函數(shù)。 在一階最優(yōu)化條件中對 )( ijxj ? 求導(dǎo)得 0)1)(()()1)(( ??????????????? jiijiji xxXVxxxXVxxXV 。 所以 0)()( )()(2 ????? ???????? XVxXV XVxXVxx i iji 。 這 就表明 第 i 個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ix 是隨 著 其他牧民飼養(yǎng)的數(shù)目的增加而 逐漸 減少 的 。 解方程組（ *）就 可以得到每一個牧民的最優(yōu) 飼養(yǎng)量 *ix ， ni ,...,2,1? 。 因為 以上的計算 中我們考慮的 都是關(guān)于 ix 的 ， 所以， 得到的 *ix 是 指一下情況下的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ，即每個牧民在增加飼養(yǎng)量時考慮的只是對自己的羊的 價值的 影響，而不是對 牧場上 所有羊的 價值的 影響。因此這樣 得出的所以牧民最優(yōu) 飼養(yǎng)量的總和 ???ni ixX 1** 并不一定是整個牧場 總的最優(yōu) 飼養(yǎng)量。 而實際中，整個牧場 的最大利潤 應(yīng)該 是函數(shù) XcXXV ?)( 的最大 值。 它的一階最優(yōu)化條件為 0)()( ???? cXVXXV 。 7 設(shè) *X 是使 整個牧場獲 得 最大利潤 的羊的總量，也就是 整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量。那么 ， 0)()( ****** ???? cXVXXV 。 將（ *）中的 n 個式子相加 得 0)()( *** ???? cXVnXXV 。 通過將以上兩式 相比較，利用 )(XV 和 )(XV? 的單調(diào)減少性質(zhì)就 能 得到 *** XX ? ，即個人最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和 比 整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量 要大 。 這表明 沒有管理的 時候 共有草地有可能 會 被過度使用 ，從而無法取得最大利潤 。這就是 得不到 管理的公共資源的悲劇（ Tragedy of Commons）。 海洋 中 魚類的過度捕撈，森林的亂砍濫伐，大氣污染等 的資源 問題，都是“牧童”經(jīng)濟(jì)學(xué)的案例。 （二）多元函數(shù)條件極值 條件極值問題是 指 在條件組 0),...,( 21 ?nk xxx? ， )(,...,2,1 nmmk ?? 的限制下，求目標(biāo)函數(shù) ),...,( 21 nxxxfy ? 的極值。 在求解的過程中，最傳統(tǒng)的方法是消元法，然而， 利用 Lagrange 數(shù)乘法就可以不直接依賴消元而求解條件極值問題。 數(shù)乘法 我們 以二元函數(shù)為例 來說，想要求 函數(shù) ),( yxfz? 的極值，其中 ),( yx 受 約束 條件 0),(: ?yxC ? ○ 1 的限制。 如果 把條件 C 看 成是 ),( yx 所 在的曲線方程， 設(shè) 曲線 C 上的點 ),( 000 yxP 為 函數(shù) f 在條件下 ○ 1 的極值點， 并 且在點 0P 的某鄰域內(nèi)方程 ○ 1 能唯一 地 確定 一個 可微的隱函數(shù))(xgy? ，則 0xx? 也 必定是 )())(,( xhxgxfz ?? 的極值點。所以 由 f 在 點 0P 可微， g在 點 0x 可微， 我們就 得到 8 0)(),(),()( 000000 ????? xgyxfyxfxh yx 。 ○ 2 又 當(dāng) ? 滿足隱函數(shù)定理 的 條件時 ),( ),()( 00 000 yx yxxg yx?????。 ○ 3 把 ○ 3 代入 ○ 2 后又 可以 得到 0)()()()( 0000 ?? PPfPPf xyyx ?? 。 ○ 4 從而存在某一常數(shù) 0? ，使得在 點 0P 處滿足 ??????????0)(0)()(0)()(0000000PPPfPPfxxxx????? 如果 我們 引入輔助變量 ? 以及 輔助函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxL ??? ?? ， ○ 6 則 ○ 5 中三式就 成為 ?????????????0)(),(0)()(),(0)()(),(000000000000000PyxLPPfyxLPPfyxLyyyxxx???????? ○ 7 這樣 我們 就把 一個 條件極值問題轉(zhuǎn)化 成了討 論函數(shù) ○ 6 的無條件極值問題。這種方法 就是 Lagrange 數(shù)乘法。 我們將 ○ 6 中的函數(shù) L 稱作 Lagrange 函數(shù)，輔助變量 ? 稱作 Lagrange乘數(shù)。 數(shù)乘法的步驟 由二階函數(shù)的 Lagrange 數(shù)乘法我們總結(jié)出多元函數(shù) Lagrange 數(shù)乘法的步驟如下： （ 1）確定目標(biāo)函數(shù)和條件組； 9 （ 2）作 Lagrange 函數(shù) ????mk nkmn xxxfxxxL 1 21121 ),...,(1(),...,...,( ???，其中 k
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