向量的性質(zhì)及在立體幾何中應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-11-12 08:49 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? . 例 3，已知空間四邊形 ABCD 中， E、 F 分別是 AB,AD 的中點(diǎn)吧（如圖 ） 求證： EF//平面 BCD 證：設(shè) n 是平面 BCD 的法向量，連接 BD在△ ABD 中 又因?yàn)?EF 分別是 AB、 AD 的中點(diǎn) 所以 EF ∥ BD ,EF ＝ 21 BD A 又 n ⊥平面 BDC 所以 n ⊥ BD E F ∴ n BD ＝ 0 ∴ n ⊥ EF B D n 又 ∵ EF? 平面 BDC ∴ EF∥ 平面 BDC 圖 C 第三節(jié) 兩平面平行 定理 ]1[ ：如果一個(gè)平面 內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 若不重合的兩平面 ? 與 β ，面 ? 的法向量為 m ，若 m ⊥ β ,則有 ? ∥ β 。 （證明 同 下例 4） 貴陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)論文 4 例 已知， a ? β ， b ? β , a ∩ b =P,a ∥ ? ,b ∥ ? .如圖（ ） 證：設(shè) n 為平面 ? 的法向量， a b 有 n ⊥ ? P 因?yàn)?a ∥ ? ,b ∥ ? ? 所以 a ⊥ n ,b ⊥ n 又 a ∩ b =P, a ? β ,b ? β n ∴ n ⊥ β ? 與 β 不重 合 ? ∴ ? ∥ β 圖 貴陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)論文 5 第 三 章 求角問(wèn)題 第一節(jié) 兩直線所成的角 設(shè)直線 L1 和 L2 的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 111111 p zzn yym xx ????? 222222 p zzn yym xx ????? 那么，方向向量 1s =﹛ 111 , pnm ﹜與 2s =﹛ 222 , pnm ﹜之間的夾角，就是直線 L1 和 L2之間的夾角 ? ，于是， ? 可由 ?cos =cos ＜ 1s ,2s ＞ =222222212121212121 pnmpnm ppnnmm ????? ?? ]2[ 來(lái)確定，同時(shí)，由兩向量平行、垂直的充要條件可立即得到 （?。⒅本€ L1 與 L2 互相平行的充要條件是212121 ppnnmm ?? （ⅱ）、 直線 L1 與 L2 互相垂直的充要條件是 212121 ppnnmm ?? =0 例 已知直線 L1： 7 421 1 ????? zyx ， L2： 131 25 6 ?????? zyx ，求 L1 與 L2 的夾角 ? . 解：直線 L1， L2的方向向量分別是 1s =｛ 1，－ 2,7｝， 2 s =｛ 5,1， ,1｝ 由以上公式有 ?cos = ? ? ? ?222222 115721171251???????????? = 2722 所以 ? =arccos 2722 例 6 ]3[ 、 求兩直線 1 341 1 ????? zyx 與 1222 ????? zyx 間的夾角 . 解：由于兩直線的方向向量為 1s =｛ 1，－ 4， 1｝， 2 s =｛ 2，－ 2，－ 1｝ 貴陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)論文 6 于是，這兩條直線的夾角 ? ，由 ?cos =2121ssss? =229189 ?? 確定，因此 所求的兩直線的夾角為4??? 例 7 ]4[ 、 求直線 L1： 131 12 3 ?????? zyx 與 12 71 2 zyx ???? 的夾角 . 解： L L2 的方向向量分別為 1r =（ 2,1，－ 1）和 2r =（ 1,2,1） 由公式得 ?cos = ? ?? ?222222 121112112112???????????? =21 故所求的夾角為 3??? 第二節(jié) 求線面角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線的夾角 ? （ 0≦ ? ﹤ 2? ）稱為直線與平面的夾角，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面所夾角為 2? .]2[ 設(shè)直線與平面 ? 的方程分別為 L: p ezn bym ax ????? , s =｛ m, n, p｝ 貴陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)論文 7 ? ： 0???? DCzByAx , n =｛ A,B,C｝ 過(guò)直線 L作與平面 ? 垂直的平面與 ? 的交線 L? ,就是直線 L在平面 ? 上的投影直線，直線 L與 L? 的夾角 ? ，就是直線與平面的夾角 .]2[ 直線 L 的方向向量 s =｛ m, n, p｝ ,與平面 ? 的法向量 n =｛ A,B,C｝之間的夾角為 ???2或 ???2. 故有 ???? ns,2?? ，即有 ??? ns,cossin ? 所以222222s in pnmCBACpBnAm????????? ]2[ 由公式可得 直線 L平面 ? 平行的充要條件是 CpBnAm ?? =0 直線 L平面 ? 垂直的充要條件是pCnBmA ?? 例 8 ]3[ 、 求直線 2 432 ????? zyx 與平面 02 ???? pzyx 的夾角 . 解：由于已 知直線的方向向量 s =｛ 1,1,2｝ 已知平面法向量 n =｛ 2， ,1,1｝ 于是直線與平面的夾角為 ? . nsns???sin = 663? =21 確定，由此可得 6??? 貴陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)論文 8 第三節(jié) 求平面與平面的夾角 兩平面的法向量的夾角 為兩平面的夾角 .]3[ 設(shè)有兩平面， 1? : 0111 ???? DzCyBxA 2? : 0222 ???? DzCyBxA 它們的法向量分別是： ? ?1111 , CBAn ? , ? ?2222 , CBAn ? 根據(jù)前面關(guān)于向量的討論，可得出如下結(jié)論 兩平面 1? ， 2? 的夾角 ? ，可由 2121cos nn nn ??? =222222212121 212121 CBACBACCBBAA ???? ?? ]3[ （ 1）、 兩平面垂直的充分必要條件是： 0212121 ??? CCBBAA （ 2）、 兩平面平行的充分必要條件是：
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1