反對稱矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 14:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 A的任r+1階主子式全為0.不妨設(shè)位于A的左上角（否則可同時調(diào)換行與相應(yīng)的列，使之位于左上角，這不影響行列式的值為0與否），記加A中第i行與第j列元素所成的加邊行列式為=.考慮r+2階主子式C=.|C|是含的一個r+2階主子式，據(jù)已知，|C|=0，進而知r（C*）≤1，故C*的2階主子式=0=0，但與均是A的含的r+1階主子式，都為0；另一方面，=；故||2=0=，A的含的任一加邊子式全為0，所以r（A）=r.性質(zhì)11: 設(shè)A是反對稱矩陣，若A的所有r+1階與r+2階主子式均為0，則r（A）≤r.證明: 對r用數(shù)學(xué)歸納法。 當r=0時，即已知A的對角元與2階主子式均為0，所以對任何的i，j，,但，所以時結(jié)論成立。假設(shè)r=k時，結(jié)論成立，即當A的所有k+1階與k+2階主子式均為0時，r（A）≤=k+1時，已知A的所有k+2階與k+3階主子式均為0，此時若A的所有k+1階主子式也均為0，則由歸納法假設(shè)可得：r（A）≤kk+1。如果A有一個k+1階主子式≠0,則由已知條件知：所有含的k+2階與k+3階主子式均為0，于是r（A）=k+1，結(jié)論成立。由歸納法原理，結(jié)論對r≥0的整數(shù)成立。性質(zhì)12： 設(shè)A是秩為r的反對稱矩陣，則A至少有一個r階主子式不為0.證明： 因為r（A）=r，所以A的所有r+1階子式全為0，當然A的所有r+1階主子式也全為0，此時若A的所有r階主子式全為0，則可知：r（A）≤r1，矛盾，因此A至少有一個r階主子式不為0.例4． F上兩個n階反對稱矩陣合同的充要條件是它們有相同的秩。證明： 設(shè)A,B是數(shù)域F上兩個n階反對稱矩陣。 充分性： 若秩A=秩B，根據(jù)性質(zhì)9，存在可逆矩陣P和Q，使PTAP=C,QTBQ=(*)的矩陣。因秩(A)=秩(B)，所以C和C1主對角線上的分塊的塊數(shù)必相同，即C=C1。這樣A與C合同，而C與B合同，根據(jù)合同的傳遞性，A與B合同。必要性: 若A,B合同，根據(jù)性質(zhì)9，A必與具有（*）形式的矩陣C合同，這樣，秩（A）=秩（C）=秩(B).注：合同矩陣有相同的秩。根據(jù)合同的定義可直接的出。例5． 求證：若A為反對稱矩陣，則秩（A）為偶數(shù)。證明： 設(shè)秩（A）=r，由性質(zhì)12可知A必有一個r階主子式不為0，但A的任一主子式仍為反對稱矩陣，因此r為偶數(shù)。例6． 設(shè)A為n階實可逆反對稱矩陣，b為n元實列向量，則秩=n.分析：本題涉及到反對稱矩陣、秩，應(yīng)先考慮反對稱矩陣秩的相關(guān)性質(zhì)，由以上性質(zhì)可知應(yīng)用性質(zhì)12。A為實可逆反對稱矩陣，故n為偶數(shù)且|A|≠0。要證秩=n，只需證=0即可。證明：是n+1階反對稱矩陣，因為n+1為奇數(shù)，所以==+===0，又因為，根據(jù)性質(zhì)12，所以秩=n. 反對稱矩陣特征值的性質(zhì)及證明性質(zhì)13： 實的反對稱矩陣的特征值為純虛數(shù)或零。證明： 設(shè)A是實反對稱矩陣，為特征向量，則，即：得：,.所以，為純虛數(shù)或零。性質(zhì)14： 設(shè)是反對稱矩陣A的特征值，則也是A的特征值。證明： 由于是反對稱矩陣A的特征值，所以.,從而，其中n是A的階，所以也是A的特征值。性質(zhì)15: 若實矩陣A為反對稱矩陣，則可逆。證明： 由性質(zhì)13可知不是A的特征值，所以，所以可逆。例7. 設(shè)A是n階實反對稱矩陣，B是n階可逆實對稱矩陣，且AB=BA，則A+B是可逆矩陣。分析： 要求A+B可逆，就需求證|A+B|≠0，又A+B=B(E+B1A),則只需求證|E+B1A|≠0，即1不是B1A的特征值，由反對稱矩陣特征值相關(guān)性質(zhì)即可求證。證明： 由AB=BA及B可逆知：AB1=B1A ，又A反對稱，B對稱，故（AB1）T=（B1）TAT=B1A=AB1,所以AB1=B1A是實反對稱矩陣，從而知B1A的特征值是0或純虛數(shù)，當然1不是B1A的特征值，故|E+B1A|≠|(zhì)A+B|=|B+A|=|B(E+B1A)|=|B||E+B1A|≠0,因此A+B是可逆矩陣。由例3和例7可知，應(yīng)注意：有關(guān)特征值方面的問題，1不是A的特征值，則|E+A|≠0經(jīng)常用到。用反對稱矩陣研究線性變換:例8. 歐式空間中的線性變換A:稱為反對稱變換，：反對稱當且僅當在一組標準正交基的矩陣是反對稱矩陣.證 充分性：設(shè)A=是線性變換在標準正交基，…,下的矩陣，且反對稱，即，任給,V，記=(，…,)X,=( ，…,)Y，則有A=(，…,)AX, A=( ，…,)AY，那么，所以為反對稱變換.必要性：設(shè)是反對稱變換，且，其中矩陣A=， ( ，…,)為的標準正交基，那么，.因此(A,)=,(,A)=，所以=(,A)=(A,)=.小結(jié)：有本例題可知，若求證一線性變換是反對稱變換，只需要求出其在（1，0，…,0）,(0,1,0,…,0),…,(0,…,0,1)下的矩陣是反對稱矩陣即可。本文從基礎(chǔ)理論和實際應(yīng)用方面討論了反對稱矩陣的基本性質(zhì)，給出反對稱矩陣有關(guān)秩及特征值方面的性質(zhì)，并引入了相關(guān)應(yīng)用，對此我們要仔細琢磨和思考，努力掌握好反對稱矩陣的相關(guān)問題.參考文獻[1][M].北京：高等教育出版社，215236，296319.[2]劉玉森，[M].北京：地質(zhì)出版社，401431.[3][M].哈爾濱：黑龍江教育出版社,.[4]樊惲，錢吉林，岑嘉評等。代數(shù)學(xué)詞典[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，.[5]（自然科學(xué)版），2003，1
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1