【文章內(nèi)容簡介】 于齊次線性方程組的解空間的維數(shù), . 因此可以對角化. 設(shè), . 因此的相似標(biāo)準(zhǔn)型為. 冪等矩陣與對合矩陣的關(guān)系 設(shè)是n階矩陣, 則以下兩個命題等價:（1） 若, 則是冪等矩陣。（2） 若, 則是對合矩陣.證明 (1)(2) , 可變形為. 由(1)有是冪等矩陣, 而, 即是對合矩陣. 同理可證 (2)(1). 原命題得證. 矩陣和都是對合矩陣, 則冪等矩陣.證明 . . 即都是冪等矩陣, 原命題得證. 矩陣是冪等矩陣, 則都是對合矩陣.證明 . 即都是對合矩陣, 原命題得證. 矩陣是對合矩陣, 則是冪等矩陣.證明 是對合矩陣, . , 即是冪等矩陣. 冪等矩陣與投影矩陣 投影矩陣 投影矩陣是研究廣義逆矩陣和最小二乘問題的重要方法與手段. 設(shè)矩陣, 任意矩陣, 若滿足:(1) 。 (2) 。(3) 。 (4) 中的一個或者幾個條件, 都稱為的廣義逆矩陣. 上面四個方程稱為MoorePenrose方程. 向量空間可以分解成子空間與的直和, 即, 則中任意的向量可以唯一的分解成, 其中, 則稱為向量沿著到的投影, 而稱中滿足的變換為沿著到的投影算子或投影變換. 投影算子在的基下的矩陣稱為投影矩陣, 記為. , 在文[7]中有細(xì)致的討論, 如斜投影矩陣, 正交投影矩陣, 加權(quán)正交投影矩陣等, 我們在這里只討論特殊的正交投影矩陣與冪等矩陣的關(guān)系. 對任意矩陣有:（1） 與廣義逆矩陣的選擇無關(guān)。（2） , .證明 (1) 因為, 故存在矩陣, ,于是右端與選擇無關(guān). (2) 記, 可直接證明, 于是. 類似的, 可以證明第二式., 記為向的正交投影陣, 則.證明 , 所含的廣義逆的選擇無關(guān). 設(shè)為一滿足的矩陣, 則對任意向量, 有分解式這里為兩個適當(dāng)維數(shù)的向量. 依的定義我們有 , 對一切成立. 這說明滿足矩陣方程 由()知. 于是. () 代入()得, 即. () 顯然, 此矩陣方程是相容的. 再由相容性定理可知()的解為, 代入()即可得, 定理得證. 設(shè)為兩個正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣。（2） 當(dāng)時, 為向上的正交投影.證明 (1) 充分性顯然. 現(xiàn)證必要性: 設(shè)是一個正交投影陣, 于是, . () 用分別左乘和右乘(), 有: . () . () ()+()得: . 再由()和()可得 . (2) 我們只需證 對, 于是 從可以推出, 證畢. 設(shè)為兩個正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣。（2） 當(dāng)時, 為向上的正交投影. 設(shè)為兩個正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣。（2） 當(dāng)為正交投影陣時, 為向上的正交投影.投影矩陣與冪等矩陣是一一對應(yīng)的, 這兩個定理的證明類似于冪等矩陣的有關(guān)性質(zhì)的證明, 此處略去.結(jié)束語本文采用了直接證明的方式證明了冪等矩陣的伴隨矩陣是冪等的. 采用數(shù)學(xué)歸納法證明了若是冪等矩陣, 則的次冪仍是冪等矩陣. 但在本文中只討論了實數(shù)域內(nèi)的冪等矩陣的等價命題, 還可以推廣到復(fù)數(shù)域。 且僅討論了2次冪等矩陣, 推廣到次會有更多更好的結(jié)果.參考文獻[1] 陳文華. 冪等矩陣與對合矩陣的對角化[J]. 臨滄師范高等專科學(xué)校學(xué)報, , 18(2): 8283. [2] Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix [J]. of Math. Research amp。 Exposition, 1997, 17(3): 335339.[3] 張凱院, 徐仲, 陸全. 矩陣論典型題解及自測題[M]. 西北工業(yè)大學(xué)出版社, : 228234.[4] 樊正恩. 冪等矩陣的幾個注記[J]. 高師理科學(xué)刊, , 31(1): 3639.[5] 王松桂, 吳密霞, 賈忠貞. 矩陣不等式[M]. 科學(xué)出版社, : 2931.[6] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第三版)[M]. 高等教育出版社, : 304.[7] 陳永林. 廣義逆矩陣的理論與方法[M]. 南京師范大學(xué)出版社, 2005: 713.[8] T. Akasaki, idempotent ideals of integral group rings[J]. Algebra, 1972, 23: 343–346.[9] 山軍. 冪等矩陣線性組合可逆性的若干條件[J]. 欽州學(xué)院學(xué)報, , 21(5): 1719.[10] 肖潤梅. 冪等矩陣的概念及性質(zhì)[J]. 雁北師范學(xué)院學(xué)報, ,19(5): 6468.致謝 經(jīng)過近兩個月的努力，本論文終于在我的指導(dǎo)老師李小燕教授的悉心指導(dǎo)下完成了，在寫論文的過程中，從論文的選題，查找資料，擬定提綱，確定論文以來，盡管我遇到了很多的困難，但都在老師和同學(xué)的幫助下順利解決了。從論文選題到搜集資料，從寫稿到反復(fù)修改，期間經(jīng)歷了喜悅、聒噪、痛苦和彷徨，在寫作論文的過程中心情是如此復(fù)雜。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點成就感，但更多的是懷著一顆感恩的心，謝謝各位老師給我的悉心指導(dǎo)，謝謝各位前輩寫出的論文，讓我的思路豁然開朗，謝謝各位同學(xué)的鼓勵，在我迷茫的時候，告訴我放輕松，有一個好的心態(tài)才能寫出更好的論文，也謝謝跟我一組的唐金棟同學(xué)，我們互相鞭策，才得以使論文按時完成。 還要感謝我的家人和朋友，他們的關(guān)心和支持是我最大的財富和動力。最后，我要特別感謝李老師。是她在我畢業(yè)的最后關(guān)頭給了我們巨大的幫助與鼓勵，使我能夠順利完成畢業(yè)論文的撰寫，在此表示衷心的感激。老師們認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我收益匪淺。她無論在理論上還是在實踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高這對于我以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，感謝她耐心的輔導(dǎo)。最后的最后，衷心地感謝在百忙中評閱論文的各位老師、專家、教授！英文原文An Adjoint Matrix of a Real Idempotent MatrixJin Bai Kim(Dept. of Math., West Virginia University Morgantown, WV 26506, USA)Hee Sik Kim(Dept. of Math. Education Chungbuk National University, Chongju 360763, Korea)Seung Dong Kim(Dept. of Math., KongJu National Teachers39。 University, Kongju 314701, Korea)Abstract We prove that an adjoint matrix of