矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-08 07:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???332221110 ，則1?T AT=???????????400020002 ． 說(shuō)明 ：對(duì) {? ?39。AE?? ， E}做初等變換使 化為 {D(? ),P(? )}的過(guò)程中， 收 到了特征值和特征向量 同步求解的效果，而且 可逆矩陣 T和對(duì)角矩陣的求解可以分別從最終的 ? 矩陣 P（ i? ）和 D（ i? ）“讀”出來(lái) ． 解法三 ： 由 上知 2 和 4 是矩陣 A 的全部互異的特征值，我們可以計(jì)算得到 6 ? ?? ? ????????????????????????????????????????00000000036324212136322212724 EAEA ，從而矩陣 A 可以對(duì)角化 ． 由于 2 是二重特征根，則矩陣 A 的屬于 2 的特征向量是矩陣 A+4E 列向量組的前 2 列；矩陣 A 的屬于 4 的特征向量是矩陣 A2E 列向量組的前一列 ． 由此可得到可逆矩陣 T= ????????????363222127 ,使得1?T AT=???????????400020002 ． 說(shuō)明 ： 相比起來(lái)這種方法在具體對(duì)角化的過(guò)程中運(yùn)算量沒有明顯減少，但因其步驟簡(jiǎn)單 ，可以作為數(shù)學(xué)軟件求解的理論依據(jù) ． 例如在 Matlab 中求解特征值和矩陣相乘只 分別 需要 eig（ A）和 C=A*B一行簡(jiǎn)單的代碼即可完成 ． 上述三種方法各有利弊，在使用的時(shí)候須結(jié)合矩陣本身的特點(diǎn)加以區(qū)分對(duì)待，靈活把握 ． 4. 矩陣對(duì)角化的應(yīng)用 本節(jié)探討矩陣對(duì)角化在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用 ． 在 反求矩陣 方面的應(yīng)用 ． 已知 n級(jí)矩陣 A的特征值和特征向量反求矩陣 A時(shí)，若矩陣 A可對(duì)角化，則有簡(jiǎn)單的方法 ． 事實(shí)上，當(dāng) n級(jí)矩陣 A可對(duì)角化時(shí)，存在由矩陣 A的 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量組成的可逆矩陣 T，使得 1?T AT=B,其中 B是由 A的所有特征值組成的對(duì)角矩陣，則 A=TB 1?T 即為所求 ． 例 2 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 1? =1， 2? =1， 3? =1． 對(duì)應(yīng)于 1? 的特征向量為 1P =? ?39。1,1,0 ,求矩陣 A． 分析 ：由 矩陣可對(duì)角化的條件知，實(shí)對(duì)稱矩陣 A是可對(duì)角化的，為了得到可逆矩陣 P，還須求出對(duì)應(yīng)于 2? =1， 3? =1 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，這還要利用 到 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交的 這一 性質(zhì) ． 解 ：設(shè)對(duì)應(yīng)于 2? =1， 3? =1 的特征向量為 ? ?39。3,2,1 xxx?? ，它應(yīng)與特征向量 1P 正交，即 0 1x + 2x + 3x =0。得到基礎(chǔ)解系為 ? ?39。2 0,0,1?? 和 ? ?39。3 1,1,0 ??? ，它們即是對(duì)應(yīng)于 2? =1， 3? =1 的線性無(wú)關(guān)的特征向量 ． 7 取 P=( 1P , 3,2?? )=???????????101101010 ,B=???????????100010001 ，則 APP1? =B． 于是 A= 1?PBP =????????????010100001 ． 求方陣的高次冪 求方陣的高次冪 kA （ k 為正整數(shù)），若直接計(jì)算 ?32,AA ,按歸納法來(lái)尋求 kA的規(guī)律有時(shí)是很困難的 ． 若矩陣 A 可對(duì)角化，計(jì)算矩陣 A 的高次冪 kA 就有簡(jiǎn)單的方法 ． 事實(shí)上，若有 1?T AT=B，其中 B= ???????????????????????????????????n???00000021 =diag ? ?n??? , 21 ??? ， 有 A= TB 1?T ． 則有 kA = ? ? ? ?11 ?? ??? TBTTBT = ? ? ? ? ? ? 1111 ???? ??? BTTTTTBTTTB = 1?TTBk ，而 kB =diag? ?knkk ??? , 21 ??? 。則有 kA =T???????????????????????????????????knkk???000000211?T ． 例 3 設(shè) A=??????????????163053064 ，求10A ． 解 ：由 ???????????
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