廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 取，則滿足4個Penrose方程，所以，是MoorePenrose廣義逆矩陣。設，均滿足四個Penrose方程，則綜上所訴，存在且唯一。滿足四個Penrose方程的所有方程，所以，屬于15類廣義逆矩陣中的任意一類。上面我們證明了的存在性，所以，任意的類廣義逆矩陣都是存在的。對任意的，定義為 （）下面給出{1}逆的一些性質(zhì)。[1] 設，，則（1） ；（2） ；（3） 若S和T非奇異，則；（4） ；（5） 和均為冪等矩陣且與A同秩；（6）（7） 的充要條件是， 的充要條件是；（8） 的充要條件是， 的充要條件是。證 （1）由， 有， 兩邊同時求共軛轉(zhuǎn)置得 ， 即， 由定義知。 （2）, 由{1}逆定義得。 （3）, 由{1}逆定義得， 。 （4）, 故 .。 （5）， 故為冪等矩陣，又由， 故為冪等矩陣， 所以，也即。 同理。 （6）由, 得 ，類似的，由，得。又因為， 所以 。（7）充分性：，所以，由為冪等矩陣且非奇異， 易知 。 必要性：由，故。 另一式同理可證明。（8）充分性：， 所以。所以存在矩陣，使，從而。必要性：，故。另一式同理可證明。性質(zhì)（5）逆命題仍然成立，即 設復矩陣，若存在矩陣， 使為冪等矩陣，且，則矩陣。證明： 冪等，則，而,又， 所以， 存在矩陣, 使得，有，即 。 逆的性質(zhì)因為在Penrose方程（1）（2）中，和的位置是對稱的，所以與是等價的，即和總是互為逆。這與通常矩陣的逆的逆是本身是一樣的。[3] 設矩陣, 又設， 則。證明：，則，，由上2式得。[1] 給定矩陣，若，則的充要條件是。證明： 充分性：若，則，且和冪等，又，所以。，所以。 必要性：，則，又，根據(jù)X為自反廣義逆，有，則所以。三、MoorePenrose 廣義逆矩陣，MoorePenrose 廣義逆矩陣存在且唯一。MoorePenrose 廣義逆矩陣是滿足全部Penrose條件的廣義逆矩陣，其必然有其特殊性，下面給出MoorePenrose 廣義逆矩陣的一些性質(zhì)：[9] 設矩陣，則有（1） ；（2） ；（3） ； ；（4） ； ；（5） 。證明： （1） 由定義，和的位置是對稱的，即是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，那么就是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，又因為唯一，所以。（2） 令，則有，，根據(jù)定義。（3） 令,則有，根據(jù)定義及MoorePenrose 廣義逆矩陣的唯一性知 。同理可證明。（4） 令，則有，，根據(jù)定義及MoorePenrose 廣義逆矩陣的唯一性知。同理可證明 。（5） ，故 。[1] 給定矩陣，則有，其中。證明： 設，則，又因為， ， 所以。 又因為只有一個元素，所以。第3章 廣義逆矩陣的計算廣義逆矩陣在解線性方程組中有著重要作用，而利用廣義逆矩陣解線性方程組首先需要求解相對應矩陣的廣義逆矩陣。167。 一般廣義逆的求解一、{1}逆的求解[9] 設矩陣，有矩陣且，則 。 （）證明： 因為對任意，令，于是有，所以。反之，任取，于是有取，則M有（）式的表示。所以。[14] 設矩陣，存在可逆矩陣和，使，則中的任一矩陣可寫成的形式，其中，，為任意矩陣。證明： 設，則是矩陣，將分塊為：，其中，，，則，因為，所以，所以，即中的任一矩陣可寫成，即中的任一個矩陣可寫成，其中，，為任意矩陣。，要想計算出一個矩陣的{1}逆，必須首先求出可逆矩陣和，使成為標準形，所以可先構(gòu)造分塊矩陣，用行和列初等變換把中的化簡成，同時，化成了，化成了，即，故，于是中的矩陣可寫成。 求矩陣的{1}逆。解 對進行化簡，所以，，當時，得到一個最簡單的。所以， {1,3}逆的求解[9] 設矩陣，那么（1） 若是行滿秩矩陣，則；（2） 若是列滿秩矩陣，則；（3） 若
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