廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 取，則滿足4個(gè)Penrose方程，所以，是MoorePenrose廣義逆矩陣。設(shè)，均滿足四個(gè)Penrose方程，則綜上所訴，存在且唯一。滿足四個(gè)Penrose方程的所有方程，所以，屬于15類廣義逆矩陣中的任意一類。上面我們證明了的存在性，所以，任意的類廣義逆矩陣都是存在的。對(duì)任意的，定義為 （）下面給出{1}逆的一些性質(zhì)。[1] 設(shè)，，則（1） ；（2） ；（3） 若S和T非奇異，則；（4） ；（5） 和均為冪等矩陣且與A同秩；（6）（7） 的充要條件是， 的充要條件是；（8） 的充要條件是， 的充要條件是。證 （1）由， 有， 兩邊同時(shí)求共軛轉(zhuǎn)置得 ， 即， 由定義知。 （2）, 由{1}逆定義得。 （3）, 由{1}逆定義得， 。 （4）, 故 .。 （5）， 故為冪等矩陣，又由， 故為冪等矩陣， 所以，也即。 同理。 （6）由, 得 ，類似的，由，得。又因?yàn)椋?所以 。（7）充分性：，所以，由為冪等矩陣且非奇異， 易知 。 必要性：由，故。 另一式同理可證明。（8）充分性：， 所以。所以存在矩陣，使，從而。必要性：，故。另一式同理可證明。性質(zhì)（5）逆命題仍然成立，即 設(shè)復(fù)矩陣，若存在矩陣， 使為冪等矩陣，且，則矩陣。證明： 冪等，則，而,又， 所以， 存在矩陣, 使得，有，即 。 逆的性質(zhì)因?yàn)樵赑enrose方程（1）（2）中，和的位置是對(duì)稱的，所以與是等價(jià)的，即和總是互為逆。這與通常矩陣的逆的逆是本身是一樣的。[3] 設(shè)矩陣, 又設(shè)， 則。證明：，則，，由上2式得。[1] 給定矩陣，若，則的充要條件是。證明： 充分性：若，則，且和冪等，又，所以。，所以。 必要性：，則，又，根據(jù)X為自反廣義逆，有，則所以。三、MoorePenrose 廣義逆矩陣，MoorePenrose 廣義逆矩陣存在且唯一。MoorePenrose 廣義逆矩陣是滿足全部Penrose條件的廣義逆矩陣，其必然有其特殊性，下面給出MoorePenrose 廣義逆矩陣的一些性質(zhì)：[9] 設(shè)矩陣，則有（1） ；（2） ；（3） ； ；（4） ； ；（5） 。證明： （1） 由定義，和的位置是對(duì)稱的，即是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，那么就是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，又因?yàn)槲ㄒ?，所以。?） 令，則有，，根據(jù)定義。（3） 令,則有，根據(jù)定義及MoorePenrose 廣義逆矩陣的唯一性知 。同理可證明。（4） 令，則有，，根據(jù)定義及MoorePenrose 廣義逆矩陣的唯一性知。同理可證明 。（5） ，故 。[1] 給定矩陣，則有，其中。證明： 設(shè)，則，又因?yàn)椋?， 所以。 又因?yàn)橹挥幸粋€(gè)元素，所以。第3章 廣義逆矩陣的計(jì)算廣義逆矩陣在解線性方程組中有著重要作用，而利用廣義逆矩陣解線性方程組首先需要求解相對(duì)應(yīng)矩陣的廣義逆矩陣。167。 一般廣義逆的求解一、{1}逆的求解[9] 設(shè)矩陣，有矩陣且，則 。 （）證明： 因?yàn)閷?duì)任意，令，于是有，所以。反之，任取，于是有取，則M有（）式的表示。所以。[14] 設(shè)矩陣，存在可逆矩陣和，使，則中的任一矩陣可寫成的形式，其中，，為任意矩陣。證明： 設(shè)，則是矩陣，將分塊為：，其中，，，則，因?yàn)?，所以，所以，即中的任一矩陣可寫成，即中的任一個(gè)矩陣可寫成，其中，，為任意矩陣。，要想計(jì)算出一個(gè)矩陣的{1}逆，必須首先求出可逆矩陣和，使成為標(biāo)準(zhǔn)形，所以可先構(gòu)造分塊矩陣，用行和列初等變換把中的化簡(jiǎn)成，同時(shí)，化成了，化成了，即，故，于是中的矩陣可寫成。 求矩陣的{1}逆。解 對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，所以，，當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)最簡(jiǎn)單的。所以， {1,3}逆的求解[9] 設(shè)矩陣，那么（1） 若是行滿秩矩陣，則；（2） 若是列滿秩矩陣，則；（3） 若
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1