廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用畢業(yè)論文(文件)
【正文】 若存在矩陣， 使為冪等矩陣，且，則矩陣。[3] 設(shè)矩陣, 又設(shè)， 則。，所以。證明： （1） 由定義，和的位置是對稱的，即是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，那么就是的MoorePenrose 廣義逆矩陣，又因為唯一，所以。（4） 令，則有，，根據(jù)定義及MoorePenrose 廣義逆矩陣的唯一性知。證明： 設(shè)，則，又因為， ， 所以。 一般廣義逆的求解一、{1}逆的求解[9] 設(shè)矩陣，有矩陣且，則 。[14] 設(shè)矩陣，存在可逆矩陣和，使，則中的任一矩陣可寫成的形式，其中，為任意矩陣。解 對進(jìn)行化簡，所以，當(dāng)時，得到一個最簡單的。 (3) ，又，所以。證明： （1）令,則，又，所以。 求矩陣的。綜上。同理可證明。 求矩陣的MoorePenrose 逆矩陣。（3） 如果方程組（）不相容，則不存在通常意義下的解，但在許多實際問題中，需要求出極值問題 （）的解x，其中為歐氏范數(shù)，稱這個極值問題為求矛盾方程組的最小二乘問題，相應(yīng)的x稱為矛盾方程組的最小二乘解。 相容方程組的求解 相容方程組的通解與{1}逆對于線性方程組（），若系數(shù)矩陣非奇異，則就是方程組的唯一解，但當(dāng)是奇異方陣或長方矩陣時，它的逆不存在或無意義，但是我們可以利用廣義逆矩陣來求方程組的解。設(shè)x是方程組的任意解，則是方程組的解，因此，方程組的任意解都可以改寫成式（）的形式，所以，式（）是方程組（）的通解。[1] 設(shè)方程組（）相容，則是極小范數(shù)解，其中。167。 極小范數(shù)最小二乘解與 方程組（）不相容，則方程有唯一的極小范數(shù)最小二乘解。 求方程組的最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解，其中。 “” 若，則等號兩邊同時左乘，右乘，得，即。對于不相容方程組（），極小范數(shù)最小二乘解，是使方程組成立的所有x構(gòu)成的集合中范數(shù)最小的一個，即滿足條件：，其中。由，所以，而對給定的方程組，為定值，所以。自然科學(xué)報,2008.[7],[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2009.[8]尹釗,鐘衛(wèi)民,[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,1999.[9][M].南京師范大學(xué)出版社,2005年.[10][J].四川文理學(xué)院學(xué)報,2008.[11]馬秀珍,[J].沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2005.[12][J].江西科學(xué),1985.[13][J].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報.[14][M]同濟大學(xué)出版社，2005.[15]James Allen Fill and Donniell MoorePenrose Generalized Inverse for Matrices[J].September 18,1998.[16] RAO and SUJIT KUMAR inverse of a matrix and its applications[J].601608.致 謝畢業(yè)臨近，心中充滿留戀和感慨，在此，我要感謝所有曾經(jīng)指導(dǎo)過我的老師，幫助過我的同學(xué)，一直支持著我的家人，是你們在我的人生中扮演著不同的角色，幫我解決學(xué)習(xí)中存在的問題，生活中的磕絆，使我不斷進(jìn)步，你們對我的教誨、幫助和鼓勵我會永遠(yuǎn)記在心里。同時，我要感謝我的舍友和其他好友，因為有你們，我的大學(xué)四年才那么充實和快樂，感謝你們給我的幫助和鼓勵，讓我們永遠(yuǎn)彼此珍惜。其次，我要感謝理學(xué)院所有曾經(jīng)擔(dān)任過數(shù)學(xué)0601班的任課老師，老師們教會我的不僅僅是專業(yè)知識，更多的的對待學(xué)習(xí)，對待生活的態(tài)度。本論文主要目標(biāo)為線性方程組的求解，利用常見廣義逆矩陣逆，逆，逆和MoorePenrose 廣義逆矩陣對線性方程組求解，分別利用上述廣義逆矩陣求相容方程組的通解、極小范數(shù)解和不相容廣義逆矩陣的最小二乘解、極小范數(shù)最小二乘解。證明： 若在處最小，則對任意， ，對t在0時求導(dǎo)，得 ，對任意的，有 （）在式（）中，替代y為iy，則有 ，即， （）由式（），（）知，由y的任意性知，即，而可逆，所以。而若方程組（）不相容，則是方程組的極小范數(shù)最小二乘解。最小二乘解為極小范數(shù)最小二乘解為 若存在矩陣，且，可逆，則，的充要條件為。因而方程組（）的極小范數(shù)最小二乘解就是方程組（）的極小范數(shù)解。證明： 因為，而，所以， ()其中是歐氏范
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