復(fù)習(xí)：關(guān)于線性方程組的兩個(gè)重要定理：(文件)
【正文】 ???137723521111A ～ 便得等價(jià)的方程組 1 3 42 3 423775477??????? ????x x xx x x?????????????000045701111～ ～ ,0000747510737201????????????????????即 1 3 42 3 4334423775477???????????????x x xx x xxxxx亦即 123434237754771001,? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?xxxxxx從而，基礎(chǔ)解系為： 12237754771001,??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?方程組的通解為： ? ?. R , ,10747301757221214321?????????????????????????????????????????????????ccccxxxx例 2 證明 R(ATA) = R(A). 證 設(shè) A為 m n 矩陣， x為 n維列向量 . 若 x 滿足 Ax = 0,則有 AT(Ax) = 0,即 (ATA)x = 0 ； 若 x滿足 (ATA)x = 0,則 xT(ATA)x = 0,即 (Ax)T(Ax) = 0， 從而推知 綜上可知方程組 Ax = 0 與 (ATA)x = 0同解，因此 R(ATA) = R(A). Ax = 0 . 二、非其次線性方程組 設(shè)有非其次線性方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 4)nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x b a x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??其向量方程為 Ax = b (5) 性質(zhì) 3 設(shè) x = η 1及 x = η2 都是（ 5）的解， 則 x = η1－ η2為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 Ax = 0 (6) 的解 . 證 因?yàn)? Ax = A( η1－ η2) = A η1－ A η2 = b－ b ＝ 0 故 x = η1－ η2是的解 Ax = 0 的解 . 性質(zhì) 4 設(shè) x = η是方程（ 5）的解， x = ξ是方程（ 6） 的解，則 x = ξ + η仍是方程（ 5）的解 . 證 因?yàn)? Ax = A(ξ + η ) = A ξ + Aη = 0 +b = b 故 x = ξ + η 是 Ax = b的解 . 由性質(zhì) 3 可知，若求得（ 5）的一個(gè)特解 η*，則（ 5）的任
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