復(fù)習(xí)：關(guān)于線性方程組的兩個重要定理：(存儲版)
【正文】 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???= , , ,由（ 3）即依次可得 11 1 1 1 222 2 1 2 212,nrnrr n rr r rbx b bbx b bbx b b?????? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??= , , ,從而求得（ 3） 〔 也就是（ 1） 〕 的 n–r 個解 . 11 12 112121 0 00 1 00 0 1nrr r r n rnrb b bb b b= , , , = .? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 下面證明 ξ1， ξ2， … ， ξn–r就是解空間 S的一個基 . 首先，由于 ( xr+1, xr+2, … , xn )T所取的 n－ r 個 n－ r維的向量 1 0 00 1 00 0 1, , ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?線性無關(guān)，所以在每個向量的前面添加 r 個分量而得到的 n– r 個 n 維向量 ξ1， ξ2， … ， ξn–r也線性無關(guān) . 其次，證明（ 1）的任一解 11???????????????? ????????????rrnx都可由 ξ1， ξ2， … ， ξn–r線性表示 .為此，作向量 η = λr+1 ξ1 + λr+2 ξ2 + … + λnξn–r ， 由于 ξ1， ξ2， … ， ξn–r 是（ 1）的解，故 η 也是（ 1）的解， 比較 η 與 ξ ，知它們的后面 n– r 個分量對應(yīng)相等，由于 它們都滿足方程組（ 3），從而知它們的前面 r個分量亦必 對應(yīng)相等 〔 方程組（ 3）表明任一解的前 r 個分量由后 n– r 個分量唯一決定 〕 ，因此 η ＝ ξ ，即 ξ = λr+1 ξ1 + λr+2 ξ2 + … + λnξn–r ， 這樣就證明了 ξ1， ξ2， … ， ξn–r是解空間 S的一個基， 從而知解空間 S 的維數(shù)是 n–r. 根據(jù)以上的證明，我們就得到如下的定理 . 定理 8 n元齊次線性方程組 Am nx = 0 的全體解所構(gòu)成 的集合 S是一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩 R(Am n) = r 時， 解空間的維數(shù)為 n–r. 1）解空間 S的基不是唯一的 . 2）解空間 S的基又稱為方程組（ 1）的基礎(chǔ)解系 . 3） 當(dāng) R(A) = n 時，方程組（ 1）只有零解，因而 沒有基礎(chǔ)解系（此時解空間 S只有一個零向量，為 0維 的向量空間） .而當(dāng) R(A) = r n時，方程組 (1)必含有 n–r個向量的基礎(chǔ)解系 .設(shè)求得的基礎(chǔ)解系為 ξ1， ξ2， … ， ξn–r 則（ 1）的解可表示為 x = k1ξ1+k2ξ2+ … + kn–rξn–r， 其中 k1,k2,… ,kn–r為任意實數(shù) .上式稱為方程組 (1)的通解 . 方程組（ 1）的解空間可表示為 S = {x = k1ξ1+k2ξ2+ … + kn–rξn–r| k1,k2,… ,kn–r ∈ R}. 例 1 求齊次線性方程組
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