克萊姆法則及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 17:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的系數(shù)行列式。由克萊姆法則可得，方程組（226）的解存在且唯一。方程組（224）的一組非零解為方程組（226）的解與的組合。 克萊姆法則的一個(gè)新證明我們已經(jīng)在論文的第一章中對克萊姆法則做了詳細(xì)的介紹。下面介紹一個(gè)新的克萊姆法則證明方法。 假設(shè)一個(gè)方程組中方程個(gè)數(shù)為與未知量個(gè)數(shù)都為。其中是系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)，是未知量。方程組的系數(shù)矩陣用表示，系數(shù)矩陣行列式的值用表示。用常數(shù)項(xiàng)列向量來替換系數(shù)矩陣的的第列，變換后的新方陣用表示。若，則線性方程組存在解向量，解向量的值唯一確定。證明：已知，因此是可逆的，將進(jìn)行初等變換，轉(zhuǎn)換為單位矩陣，用表示將線性方程組進(jìn)行初等變換，把其對應(yīng)的矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚒Ｓ捎?，可知具有以下形式：?jīng)過初等變換所得到的線性方程組的解相同，單位矩陣具有唯一解向量存。對于任意正整數(shù)，成立，所以任意正整數(shù)，始終滿足下列等式：注意到所以對于任意，滿足，且為單位矩陣，所以由此得線性方程有唯一的解向量第三章 克萊姆法則的推廣通過前兩章介紹可以看出，克萊姆法則適用范圍較窄，所求方程個(gè)數(shù)必須與未知數(shù)一致。當(dāng)方程系數(shù)行列式為非0時(shí)，利用克萊姆法則能夠獲得該線性方程組的解。當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不等、或行列式為0時(shí)，該法則便不再適用。除此之外，利用該法則求解方程的計(jì)算量也比較大。針對其局限性，我們現(xiàn)在將克萊姆法則進(jìn)行改進(jìn)，推廣到對于廣義行列式也同樣成立。如果 ，則非齊次線性方程組：有唯一解。在上文中已經(jīng)有詳細(xì)的介紹，利用克萊姆法則便能求解，但如果現(xiàn)給定一個(gè)長方形線性方程組，則需要將克萊姆法則推廣為廣義克拉默法則。 首先將它寫成矩陣的形式：這里公式中為一個(gè)的實(shí)矩陣，為一個(gè)的實(shí)矩陣。且系數(shù)行列式如果方程組的系數(shù)行列式，則該方程的解存在且唯一確定： 其中是用方程組的常數(shù)列來代替的第列元素，其余行列式不變，從而得到的階行列式。第四章 克萊姆法則的應(yīng)用 克萊姆法則在解線性方程組中的應(yīng)用首先通過兩個(gè)具體例子來介紹克萊姆法則在低階線性方程組中的應(yīng)用。情形1：方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，即。：系數(shù)行列式不為零（)例1 求解下列方程組：解 ,方程組的解存在，利用克萊姆法則得所以原方程組的解為推論：例2 求解下列方程組： 解 ,利用克拉默法則 ,所以原方程組的解為. 系數(shù)列式等于零（)例3 求解下列方程組：解 ，不能直接利用克萊姆法則，方程組解的個(gè)數(shù)利用增廣矩陣的秩來判斷，首先對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：由于，故原方程組無解。例4 求解下列方程組：解 經(jīng)初等行變換化為：由于，故原方程有無窮多解。情形2 方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不一致這一類問題的求解需要利用克萊姆法則的推廣，也可以直接使用方程組的增廣矩陣來求解。例5 求解下列方程組： 解：線性方程組中，系數(shù)矩陣為一個(gè)型矩陣，因此該方程組的解存在，且唯一。對方程組做矩陣變換 =整理得解得： 如果方程組的解有無窮多組，克萊姆法則失效，在解題過程中改用增廣矩陣的秩來判斷方程組解的個(gè)數(shù)。例6 求解下列方程組：解 經(jīng)初等行變換化為由于,所以原方程組有無窮多解。應(yīng)用:利用解的個(gè)數(shù)來對方程組中的未知系數(shù)進(jìn)行求解。推論： 例7： 解 克萊姆法則的實(shí)際應(yīng)用 克萊姆法則的使用需要被求解的方程組滿足兩個(gè)條件：方程組個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，方程組的系數(shù)行列式不為零。 礦料級配完全符合克萊姆法則的求解條件。所以我們可以在這一實(shí)際問題中應(yīng)用克萊姆法則來進(jìn)行礦料級配的設(shè)計(jì)。假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中，需要四種礦料來進(jìn)行摻配，則著四種礦料在摻配總量中所占的比例為方程組的四個(gè)未知數(shù)，選擇四個(gè)決定性的篩孔，利用篩孔的參數(shù)得到四個(gè)方程，從而得到一個(gè)方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)都為4的方程組。 在計(jì)算機(jī)中添加設(shè)定程序?qū)Ψ匠探M進(jìn)行求解，可以極大的簡化原料的試配過程。 本文以SMA13 瀝青舉例，介紹利用克萊姆法則來實(shí)現(xiàn)這一混合料配料設(shè)計(jì)的過程。 首先對混合料所需配料展開篩分，通過查表獲得了SMA13 混合料的級配規(guī)范要求和用料比例，我們選定了幾個(gè)關(guān)鍵性的篩孔的合成通過率來建立方程組，并利用克萊姆法則對方程組進(jìn)行求解，從而獲得完成混合料所需要的每種配料和填料的比例。SMA13混合料目標(biāo)配合比設(shè)計(jì)的規(guī)范要求如表1所示，列出配料級配上下限范圍。我們在設(shè)計(jì)中一般采用范圍要求的中值。首先對關(guān)鍵性篩孔的通過率進(jìn)行選擇，在規(guī)定范圍的上、中、下方分別進(jìn)行選取幾組數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行一系列的比較) 。選擇4個(gè)關(guān)鍵篩孔，依次為公稱最
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