高等代數(shù)--第四章矩陣的對(duì)角化(編輯修改稿)
2024-11-12 06:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?2221( 2 ) ( 2 ) ( 4 )2? ? ??? ? ? ? ??A 1 2 34 , 2? ? ?? ? ? ?從而矩陣 的特征值 (1) 對(duì)于 1 4? ??1237 2 12 2 2 03 6 3xxx??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?得到 1123?????????????23 2????1231 2 12 4 2 03 6 3xxx??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?2210?????????????3101????????????(2) 對(duì)于 得到 從而矩陣 A 可以對(duì)角化 167。 4 實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 實(shí) n 維向量空間的內(nèi)積 ? 施密特正交化方法 ? 正交矩陣 ? 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 實(shí) n 維向量空間 ? R 表示實(shí)數(shù)集 , 表示實(shí)數(shù)集上的所有 n 維向量，對(duì)于向量 的加法、數(shù)乘構(gòu)成 n 維向量空間 ? ?? ?1 2 1 2, , , , , ,n nnR a a a a a a R?? ? ? 中向量的內(nèi)積 ? 任取 , 實(shí)數(shù) (1) 稱為 與 的內(nèi)積 , 記作 . nR),(,),( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??1 1 2 2 nna b a b a b? ? ?? ?),( ??它具有以下性質(zhì) : ),(),( ???? ?),(),( ???? kk ?),(),(),( ??????? ???0),( ???0?? 0),( ???(1) (2) (3) (4) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) , 在 n=3時(shí)， (1)式就是幾何空間中向量的內(nèi)積在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式。 基本性質(zhì) : 定義中條件 1)表明內(nèi)積是對(duì)稱的。 因此，與 2),3)相當(dāng)?shù)鼐陀? ).,(),(),)(39。3).,(),)(39。2??????????????? kk 由條件 4)，有 . 在幾何空間中 ,向 量 的長(zhǎng)度為 類似地， 定義 5 非負(fù)實(shí)數(shù) 稱為向量 的 長(zhǎng) 度 ，記為 顯然，向量的長(zhǎng)度一般是正數(shù)，只有零向量的長(zhǎng)度才是零 . 0),( ???? ),( ??),( ?? ??向量的長(zhǎng)度 事實(shí)上， | | , (2 )kk?? ?2( , ) ( , ) | | . ( 3 )k k k k k? ? ? ? ? ?? ? ?? 長(zhǎng)度為 1的向量稱為 單位向量 . ? 如果 ，由 (2)式，向量 就是一個(gè)單位向量 . 通常稱為把 單位化 . 0?? 1???單位向量 在解析幾何中，向量 的夾角 的余弦可以通過(guò)內(nèi)積來(lái)表示： ??, ?? ?? ,)4(.|||| ),(,c o s ?? ???? ???向量的夾角 為了在 中利用 (4)引入夾角的概念，我們需要證明不等式 ( , )1.?????這就是所謂的 柯西 布涅柯夫斯基不等式 ， nR 對(duì)于任意的向量 有 當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立 . | ( , ) | . ( 5 )? ? ? ????,??柯西 布涅柯夫斯基不等式 證明 當(dāng) ， (5)式顯然成立。 以下設(shè) 。 令 t是一個(gè)實(shí)變數(shù)，作向量 由 4)可知，不論 t取何值，一定有 即 0??0??.??? t??.0),(),( ???? ?????? tt)6(.0),(),(2),( 2 ??? tt ??????取 代入 (6)式，得 即 兩邊開(kāi)方便得 .),( ),( ?? ????t,0),( ),(),(2?? ?? ????).,)(,(),( 2 ?????? ?| ( , ) | .? ? ? ??當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)顯然成立。 反過(guò)來(lái)，如果等號(hào)成立，由以上證明 過(guò)程可以看出，或者 ，或者 ??,0??,0),( ),( ?? ??? ???也就是說(shuō) 線性相關(guān)。 ??, (5)式是 :柯西不等式 .||22221222212211nnnnbbbaaabababa?????????????定義 6 非零向量 的夾角 規(guī)定為 ??, ?? ?? ,.,0,|||| ),(c o s, 1 ????? ???? ??????? ?兩個(gè)非零向量的夾角 因?yàn)? ( 7 )? ? ? ?? ? ?2222( , )( , ) 2 ( , ) ( , )2( ) .? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ???所以 ( 7 )? ? ? ?? ? ? 向量的正交 定義 7 如果向量 的內(nèi)積為零，即 那么 稱為 正交或互相垂直， 記為 . 顯然，這里正交的定義與解析幾何中對(duì)于正交的說(shuō)法是一致的。兩個(gè)非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為 . 由定義立即看出，只有零向量才與自己正交。 ??,.0),( ?????, ?? ?2?在歐幾里得空間中同樣有勾股定理 ,即當(dāng) 正交時(shí)， 不難把勾股定理推廣到多個(gè)向量的情形，即如果向量 兩兩正交，那么 m??? , 21 ?.|||||||| 22221221 mm ?????? ??????? ????,.|||||| 222 ???? ???正交向量組 定義 8 中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一 正交向量組 . 按定義，由單個(gè)非零向量所成的向量組也是正交向量組 . nR正交向量組是線性無(wú)關(guān)的 事實(shí)上，設(shè)正交向量組 令 用 與等式兩邊作內(nèi)積，即得 m??? , 21 ?.02211 ???? mmkkk ??? ?0),( ?iiik ??i?由 ，有 ，從而 。這就證明了 是線性無(wú)關(guān)的 . 這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，在 中，兩兩正交的非零向量不能超過(guò) n個(gè)。這個(gè)事實(shí)的幾何意義是清楚的。例如，在平面上找不到三個(gè)兩兩垂直的非零向量；在空間中，找不到四個(gè)兩兩垂直的非零向量。 0?i? 0),( ?ii ??),2,1(0 mik i ??? m??? , 21 ?nR 施密特正交化方法 定理 8 設(shè) 是一組線性無(wú)關(guān)的向量組 , 12, , , s? ? ?11???2 , 12 2 111()( , )??? ? ????? ?? 則我們得到一個(gè)正交向量組 , 再單位化 1 , 2 , ,||iii
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