幾類特殊矩陣的性質(zhì)的探討論文(編輯修改稿)
2024-07-24 17:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 奇異陣時(shí)，因?yàn)?，得?所以. （2）當(dāng)為奇異陣時(shí)，因?yàn)?，所以，從而有等式成? 性質(zhì)3 設(shè)均為階可逆矩陣，那么 證明：因?yàn)?，所以也可逆，并且；又因?yàn)?，由，可以得到? 性質(zhì)4 如果是階方陣，那么. 證明：（1）如果是非奇異陣時(shí)，所以有又因?yàn)椋?，? （2）如果是奇異陣，設(shè)，所以. 推論：（1）如果矩陣是非奇異矩陣，且是常數(shù)，那么. （2）設(shè)是階方陣，設(shè)都是階方陣，那么當(dāng)然會(huì)有 . （3）設(shè)都為階方陣，那么. （4）設(shè)都為階可逆方陣，那么 （5）設(shè)是階非奇異矩陣，那么. 注：上述推論均可以通過(guò)定理進(jìn)行論證，有興趣的同學(xué)不妨一試.性質(zhì)4 設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，那么對(duì)于任意的來(lái)講，它的特征向量也是的特征向量.證明：（1）， 一特征向量，也就是說(shuō)，則，所以有，是的屬于特征值的特征向量. （2），則有，這種情況下就可以表示成，(其中是維非零列向量). （i）如果的屬于特征值的特征向量是，就會(huì)有存在，那么，又因?yàn)?，故而成立，因此的屬于特征?的特征向量同時(shí)也是的屬于非零特征值的特征向量. （ii）如果的屬于特征值0的任一特征向量是，就會(huì)有存在，在的情況下，的各列都是的屬于特征值0的特征向量，又因?yàn)榭梢员硎緸?，所以同樣可以說(shuō)明的屬于特征值的特征向量同時(shí)也是的屬于特征值0的特征向量. （3）時(shí)，則有，也就是說(shuō)，那么顯然的特征值都為0. 設(shè)的屬于任意特征值的一個(gè)特征向量是，的屬于特征值0的特征向量同時(shí)也是的特征向量. 綜其（1）（2）（3）可知，對(duì)于任意階方陣來(lái)講，其伴隨矩陣的特征向 量同時(shí)也是的特征向量. 性質(zhì)5 對(duì)于任意階方陣，其伴隨矩陣為，那么都可以表示成方陣的多項(xiàng)式. 證明：（1）在的情況下，根據(jù)哈密頓—?jiǎng)P萊定理，如果的特征多項(xiàng)式為那么 . 因?yàn)槭强赡婢仃嚕?又因?yàn)?，因? （2）當(dāng)時(shí)，令. 因?yàn)?，則，任取，集合是數(shù)域上方陣空間的子空間.對(duì)任取的，都有，那么，又，，則有與的解空間都是一維的，令是解空間的一組基，是解空間的一組基，（其中），則中的任一元素都可以寫成的形式，是一維的線性空間. 設(shè)的最小多項(xiàng)式為，，因，，則一定存在非零常數(shù)，使得，也就是說(shuō)是的多項(xiàng)式.（3）當(dāng)時(shí)，，顯然可表示為的多項(xiàng)式.綜上可知，任意階方陣的伴隨矩陣都可以表示成方陣的多項(xiàng)式. 推論 如果是循環(huán)矩陣，是的伴隨矩陣，那么也是循環(huán)矩陣.證：由上述定理知，伴隨矩陣可以表示成矩陣的多項(xiàng)式，因?yàn)橛啥ɡ硪字獌蓚€(gè)循環(huán)陣的和是循環(huán)陣，任意兩個(gè)循環(huán)矩陣的積同樣也是循環(huán)矩陣，所以也是循環(huán)矩陣. 伴隨矩陣的應(yīng)用例1 假設(shè)是的伴隨矩陣，為4階，且是一個(gè)可逆矩陣，如果說(shuō)符合條件，那么解： 法1 針對(duì)，我們將同時(shí)右乘其兩邊，于是，又根據(jù)，所以，從而有，再將左乘在等式的兩側(cè)，通過(guò)，于是有，通過(guò)計(jì)算簡(jiǎn)化可得：，.所以綜上可知，是一個(gè)可逆矩陣，所以將同時(shí)左乘在的兩邊，于是有.法2 根據(jù)上面的計(jì)算方式，我們可以得到，我們將同時(shí)乘在的兩邊，所以有.而根據(jù)，將其簡(jiǎn)化，于是，.所以可知也可逆，將和同時(shí)乘在的左側(cè)和右側(cè)，于是可知.4 型矩陣 型矩陣的性質(zhì) 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、另設(shè)的轉(zhuǎn)置為. 在研究形如的矩陣的時(shí)候我們用到了分塊矩陣的初等變換思想，.性質(zhì)1 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，我們可以得到這些性質(zhì)： （1）； （2）時(shí)，矩陣和均可逆，且；.證明：假設(shè)是階單位矩陣. （1）根據(jù)分塊矩陣的乘法法則，我們有如下結(jié)論.則 ；.故 . （2）時(shí)，由（1）知矩陣和都可逆. 因?yàn)榈玫? ①.又因?yàn)?，那么可? ②.對(duì)比①②兩式，由逆矩陣的唯一性可知，與之相對(duì)應(yīng)分量相等，可得.性質(zhì)2和性質(zhì)3都可以通過(guò)定理1論證得到. 性質(zhì)2 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，且用表示的伴隨矩陣, 則有 . 證明：（1）時(shí)，由定理1可得. （2）時(shí)，令，則存在，使得時(shí)，有，且多項(xiàng)式是連續(xù)函數(shù)，則令，得到 .綜上可得定理2成立. 性質(zhì)3 對(duì)于矩陣，和均為階矩陣，的轉(zhuǎn)置為，那么 （1）； （2）當(dāng)可逆，即時(shí)，和均可逆且；.其中表示階單位矩陣. 證明：（1） . （2）若，因?yàn)?，由?）可知，故可逆.因?yàn)?則 ①. 又，則…………………………………………………………………………………………②. 對(duì)比①②兩式，可得 . 性質(zhì)4 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，的伴隨矩陣為，那么 （1）；（2）為1或，且當(dāng)且僅當(dāng). 證明：（1）(i)當(dāng)時(shí)，由定理1知. (ii) 首先證明：若為階冪等矩陣且，那么有.因?yàn)槭请A冪等矩陣，也就是說(shuō)恒成立，所以有，等價(jià)于，因此也是冪等矩陣.由于，則 ，于是 ，那么同樣也有也是冪等矩陣.由于，故而，又因?yàn)?
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