幾類特殊矩陣的性質(zhì)的探討論文(已改無錯字)
2022-07-25 17:24:04 本頁面
【正文】 冪等矩陣自身的特點：它的秩等于它的跡，所以有，，根據(jù)其自身特點冪等矩陣一定可以對角化，并且冪等矩陣的特征值只能是1或0，所以一定會有一個可逆矩陣，滿足，因此有.當時，即，矩陣不可逆，即.因為，則為冪等矩陣，那么.所以，則，兩邊同時右乘，得.綜上所述：. （2）因.又因為是可逆矩陣，所以就有，在初等變換并不會使矩陣的秩有任何變化，因此就有下式成立 ，所以有 .因為矩陣本身的秩和它的伴隨矩陣之間的內(nèi)在關(guān)系，所以有 等于1或.注意到：當且僅當.因為當且僅當，又且， 當且僅當. 性質(zhì)5 對于階單位矩陣，實數(shù)，和維列向量、那么矩陣 的全部特征值只有兩個，一個為(重)，而另一個是，同時還有它的跡是，進而可以算出它的行列式是. 證明： 矩陣的特征多項式為.（1）當時，則由定理1得.（2）當時，仍然適合上式.綜上可得 .在時，矩陣的重特征值是，其另一個特征值是，矩陣的跡是，它的行列式是. 性質(zhì)6 設(shè)為階可逆矩陣，和是兩個維非零列向量，表示的轉(zhuǎn)置，則多項式有一個根為，其余的根全為0.證明：令，則，則. 當時，顯然成立；當時，由定理1可知.因為同樣適合，所以由可以推出. 因此 單根是，同時重根是. 型矩陣的應(yīng)用 例1 計算下面的行列式 解：（1）當時，令由定理3知，（2） 若，則存在，（3） 此時易求 ，這時①同樣適合. 綜上所述，行列式的計算結(jié)果就是①式. 例2 假設(shè)稱為的代數(shù)余子式，試證明： 證：令 .由定理2可知 ，故.5 正交矩陣 正交矩陣的充要條件 對于矩陣來講，它是正交矩陣的充分必要條件有如下幾個： 條件1 的行（列) 向量組是單位正交向量組； 條件2 的個行（列)向量是維向量空間的一組標準正交基；條件3 的行向量組兩兩正交并且都是單位向量； 正交矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 也是正交矩陣； 性質(zhì)2 （是單位矩陣）； 性質(zhì)3 對于矩陣，它的各行是單位向量并且兩兩正交； 性質(zhì)4 對于矩陣，它的各列也是單位向量并且兩兩正交； 性質(zhì)5 ； 性質(zhì)6 ； 性質(zhì)7 對于階的非零實方陣，假設(shè)的代數(shù)余子式是，那么有如下結(jié)論成立： （1）是行列式為1的正交矩陣的充要條件為：； （2）是行列式為1的正交矩陣的充要條件為：. 證明：（1）必要性：如果是正交矩陣并且它的行列式為1，那么就有成立，因為是正交矩陣，那么由正交矩陣的定義可知 ，所以都是的逆矩陣，而矩陣的逆矩陣是唯一的，所以根據(jù)這一性質(zhì)可知 ，所以. 充分性：由，可知，則，則，所以，又，所以. 于是，因此，是行列式為1的正交矩陣. （2）的證明方法與（1）完全相同. 注：定理3表明可以用矩陣的元素與其代數(shù)余子式之間的關(guān)系來刻化了正交矩陣的特性. 性質(zhì)8 對于階正交矩陣來說，任何的階子式和它的代數(shù)余子式最多只相差一個負號. 證明：我們選取作為維標準單位向量組，也就是說，那么，于.由引理2及是正交陣. 我們使，可以通過互相交換相鄰兩行與兩列的辦法，使得階行列式的前列中的第列調(diào)到前列，同樣的方法再將它的前行中的第行調(diào)到前行，在這種調(diào)動情況下我們可以得到一個新的階行列式.，. 因，所又，且，則. 推論： 設(shè)是階正交陣，則對于滿足的任何以及滿足的任意正整數(shù)，恒有證明：根據(jù)拉普拉斯定理，又因為是階正交陣并且我們結(jié)合定理4的證明過程可以得到.則，故. 性質(zhì)9 對于階可逆矩陣，那么對滿足的任何正整數(shù)和，的任何與，恒有（1）；（2）. 證明：（1）因可逆，所以，則.由定理4 的證明過程可知，.并且，故（1）得證.(2) 由定理4的證明過程，易知 . 正交矩陣的應(yīng)用例1 對于任何一個矩陣來講，設(shè)向的投影矩陣（正交）是，那么會有.證明：對于矩陣，假設(shè)滿足，那么我們選取的任何一個向量，我們可以把進行分解，可得到如下式子.（其中和是恰當?shù)膬蓚€向量）.根據(jù)可得，即符合如下方程，必然有（為一矩陣），從而有，，則有，所以上式得證.6 冪等矩陣 冪等矩陣的性質(zhì) 冪等矩陣的定義：假設(shè)為方陣，如果有，那么稱為冪等矩陣. 冪等矩陣的基本性質(zhì)： 性質(zhì)1 對于冪等矩陣，的轉(zhuǎn)置是矩陣，可以證明同樣也是冪等矩陣. 證明：根據(jù)冪等矩陣的定義，我們有成立，又因為的轉(zhuǎn)置矩陣是，所以有，因此也是冪等矩陣. 性質(zhì)2 對于冪等矩陣，的相似矩陣是，可以證明也是冪等矩陣. 證明：假設(shè)、都是階方陣，因為是冪等矩陣，所以有，并且因為與相似，所以必然有（為可逆矩陣）滿足，因此 性質(zhì)3 對于冪等矩陣，的伴隨矩陣是，則可以證明也是冪等矩陣. 證明：根據(jù)冪
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1