【文章內容簡介】 可見該方法更具有一般性，應用它可計算任何 n階矩陣的高次冪。 利用數(shù)學歸納法求方陣的冪 數(shù)學歸 納法 1. 第一數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與自然數(shù) n有關的命題 P(n），有如下步驟： （ 1）證明當 n 取第一個值 0n 時命題成立。 0n 對于一般數(shù)列取值為 0 或 1，但也有特殊情況； （ 2）假設當 n=k（ 0nk? ,k為自然數(shù)）時命題成立，證明當 n=k+1 時命題也成立。 綜合（ 1）（ 2），對一切自然數(shù) n（ 0nk? ），命題 P(n）都成立。 2． 第二數(shù)學歸納法 對 于某個與自然數(shù)有關的命題 P(n）， （ 1）驗證 0nn? ， 1nn? 時 P(n）成立； （ 2）假設 n≤k時命題成立，并在此基礎上，推出 n=k+1 命題也成立。 綜合（ 1）（ 2），對一切自然數(shù) n（ 0nk? ），命題 P(n）都成立。 3． 倒推歸納法 又名反向歸納法 （ 1）驗證對于無窮多個自然數(shù) n 命題 P(n）成立（無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術幾 何不等式的證明，可以是 k2 ， k≥1）； （ 2）假設 P(k+1）（ 0nk? ）成立，并在此基礎上，推出 P(k）成立， 綜合（ 1）（ 2），對一切自然數(shù) n（ 0nk? ），命題 P(n）都成立； 4． 螺旋式歸納法 哈爾濱學院學士學位論文 11 對兩個與自然數(shù)有關的命題 P(n）， Q(n）， （ 1）驗證 0nn? 時 P(n）成立； （ 2）假設 P(k）（ 0nk ? ）成立， 能推出 Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 綜合（ 1）（ 2），對一切自然數(shù) n（ 0nk? ） ， P(n）， Q(n）都成立。 利用數(shù)學歸納法求方陣的冪 該方法的思路是通過計算2A，3等，從中發(fā)現(xiàn)kA的元素的規(guī) 律，再用數(shù)學歸納法證明。 例 5 已知矩陣100100A??????????，試求kA（ 為自然數(shù)）． 解 可求得2222210200??????,323 3 23330300A? ? ?????, 觀察這些矩陣的規(guī)律 可以發(fā)現(xiàn) , 2A的第 1行元素是2( 1)??展開式的三項元素 ,而3A的第 1行元素是3( 1)??展開式的前三項，由此推測，kA的第 1行元素應該 是( 1)k??的展開式的前三項元素，k，k??，2( 1)2 kkk ? ??。 現(xiàn)假設121( 1 )2000k k kk k kkkkkAk? ? ?????????，顯然當 2k?時是成立的； 則1211( 1 )1020 0 10 0 0 0k k kk k k kkkkkA A A k? ? ? ?? ? ???????????? ????? ? ????????? 11( 1 )( 1 )20 ( 1 )k k kkkkkkkk? ? ????????，即 1k?時結論也成立， 故由歸納假設法知上述結論正確。 哈爾濱學院學士學位論文 例 6 設???????????100010101A，求nA。 解 因 為????????????1000102012 AAA，????????????10001030123 AAA，????????????10001040134 AAA 觀察上述規(guī)律，可推得???????????10001001 nA n 而驗證該結論是否正確，還需用數(shù)學歸納法來證明，假設 kn?時成立， ???????????10001001 kA k 當 1??kn時 , ?????????? ?????????????????????????100010101100010101100010011kkAAA kk 故 1??kn時結論也成立，所以上述結果正確。 例 7 設2n,10102101???????????? 而A為整數(shù)，求12 ?? nn AA。 解 .02,220204020222 ???????????????? AAAAAA 即 假設02,2 2121 ??? ???? AAAA nnnn 即 則,22222 122221 AAAAAAAA nnnnnn ????? ????????即 。 利用遞推公式方法求方陣的冪 設 n階方陣 A的特征矩陣? ?AI??的伴隨矩陣為? ???AI?，它的逆矩陣就為 ? ? ? ?AI AIAI ???? ?? ??? 1，因為? ?I的每個元素的代數(shù)余子式都是次數(shù)不超過 n1 次的 ?多項式，所以設 ? ? 012211 BBBBAI nnnn ?????? ????? ???? ? 該式中0,121 , BBBB nn ???為待定的 n 階常數(shù)矩陣。同時將AI?展開為 的多項式，為哈爾濱學院學士學位論文 13 ? ? 0111 aaaAIf nnn ??????? ?? ????? ?， 式中0121 , aaaa nn ???為待定常數(shù)。 所以可得到 ? ?? ? IAIAIAI ???? ? ???， 最后整理得： ? ? ? ? 0101121 ABABBABBB nnnnn ????? ???? ??? ? ? ?Iaaaannnnn 012211 ????? ???? ???? ? 得到????????????????????IaABIaABBIaABBIaABBIBnnnn001102211122?。 例 8 設 A=0121??????，求mA。 解 設nnnnnabA cd???????，則 110121n n n nn n n na b a bc d c d??? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?， 則 1 1 1 1 1 1, 2 , , 2n n n n n n n n n na c c c a b d d d b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?1 1 22n n n nc c c c? ?? ? ? ??? =? ?2 2122cc? ??， ? ? ? ??? ???? ???????? ni nniinnnn cc 1 111 3 212212 ?， 同理 ? ?1213 nnnd ? ???， 即 ? ? ? ?? ? ? ? ????????????? ????? ????mmmmmmmmmA12212 1221231 1111。 用該方法在計算方陣 A的高次冪時，若方陣 A的較低次冪可以算出，或者從方陣 A的較低次冪的表達式中能夠明顯發(fā)現(xiàn)其運算規(guī)律性時，則可以利用遞推的方法來求出方陣 A的高次冪。 利用二項式法求方陣的高次冪 定理 2：若 n階矩陣 A可分解為 A F G??,且矩陣 F與 G的高次冪容易計算，并且 FG?（即 F與 G可交換，否則二項展開公式不成立），則有 1 1 2 2 2 1()k k k k k k k kk k kF G F C F G C F G C FG G? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 哈爾濱學院學士學位論文 例 9 矩陣100100A??????????，將矩陣 A分解為 0 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0A E H????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，其中0 1 00 0 1000H ???， 則可以驗證矩陣 H滿足20 0 1000H ?，且34 0HH? ? ?， ( ) ( )E H H H E? ? ???,即 E與 H可交換。 由二項式展開公式得： 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )k k k k kkkA E H E C E H C E H? ? ? ???? ? ? ? ? 121 2 2 1( 1 )2( 1 )02 00k k kk k k k kkkkkkkE k H H k? ? ?? ? ? ? ????? ? ???????? ? ? ?????． 所以若 n階矩陣 A主對角元素相同，這樣 A可表示為一個純量矩陣 kE與另一個矩陣G之和，即 kE G??，且 G的高次冪容易計算，則采用該方法比較直觀。 若 A是主對角線元素不同的某些特殊 n階矩陣時（如三角陣等），則先考慮將 A分解為 BaE??，其中 B為冪零陣（即對 2?有 0nB?），或者 B為秩? ? 1?Br的矩陣，且1nnB K B??，其中常數(shù) K等于列向量與行向量內積的值。 根據(jù)數(shù)量矩陣與任何矩陣乘法可交換定理，所以利用二項式定理展開得? ? ? ?0nn n kn k knkA aE B C aE B??? ? ? ?。 秩為 1 的方陣的高次冪的求解 定義 2：由于矩陣的秩為 1,所以矩陣 A至少有一行元素不為零 ,且其余各行元素都屬于它的，于是秩為 1的 nn?矩陣的一般形式為 : ?????????????nnnnnnbababababababababaA???????212221212111 哈爾濱學院學士學位論文 15 設? ? ? ? ? ? ,,2,1, 2121 TniTn bbbniaaaa ??? ??? ?? 為非零實數(shù) ? ?,2,1 nib i ??為非零實數(shù) 則???? TnnT bababatrAaA ??????? ?2211, 記 有? ?? ? ? ? ? ???????? TTTTkA ?? ?? ? ? ? TkTTT a ??????? 1???? =Tka ??1?= Aak，即trAaAa kk ?? ? 其中,1 例 10 設? ? ? ?.,31,21,1,3,2,1 為正整數(shù)求 kAA kTTT ??? ????????? 解 由于??????????????????1233321231211TA ?? ? ? ????? ?? TtrAaAr 記 AA kk 13 ???????????????????????????12112113233323323233kkkkkkkkk 例 11 已知2 4 0 01 2 0 00 0 2 00 0 4 2A????? ????，求nA（ 為自然數(shù)）． 解 矩陣 A可分塊為00B C?????,其中2 4 2 0,1 2 4 2BC? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 于是00nnnBA C?，下面求nB與nC， 由于? ?2 4 2 1 , 21 2 1 TB ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，其中21,12??? ? ?? ? ?? ? ?， 于是11114 2 4( ) 4 4 4 2nnn T n nnnBB?????????? ? ? ?? ??? 又有20 242C E G?