數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文關(guān)于冪零矩陣的幾個注記(編輯修改稿)
2025-02-14 15:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （2）．證明?。?）因為，所以存在可逆矩陣使得，即，若記，則．（2）由（1）所證，記，則?。?[2] 對任何階矩陣，有．3 幾個注記 冪零矩陣的一個命題在本節(jié)，我們將把引言部分題目中蘊涵的結(jié)論進行推廣，給出一個一般性命題：定理1 設(shè)是階矩陣，是維非零列向量，如果，并且線性方程組有解，則（Ⅰ）對任一，線性方程組均有解；（Ⅱ）記的任一解為，那么線性無關(guān)．證明 （Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，線性方程組有解，設(shè)為它的一個解，即．則對，由，知是線性方程組的一個解；（Ⅱ） 根據(jù)（Ⅰ）中的，由引理3得線性無關(guān)．首先考慮線性方程組的通解：由引理4知，由于是它的一個特解，而是齊次線性方程組的一個非零解，它構(gòu)成的一個基礎(chǔ)解系，故線性方程組的任一解可表為形式再考慮線性方程組的通解：由，由于是它的一個特解，而是齊次線性方程組的一個線性無關(guān)的解，它構(gòu)成的一個基礎(chǔ)解系，故線性方程組的任一解可表為形式類似的，有，…，…，…，…，…，…，…由于線性無關(guān)，由引理5即得也線性無關(guān)．注1 根據(jù)定理1及證明，該類解答題的制作思路是：取，其中為任意可逆矩陣，而為矩陣的所有列向量的線性組合，它們就可以保證定理1中的線性方程組有解，且線性無關(guān)． 冪零矩陣的伴隨陣問題在《數(shù)學(xué)研究與評論》期刊2000年第2期發(fā)表了賈利新博士的“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文，該文證明了任何冪零陣的伴隨矩陣或者是2冪零陣，或者是零矩陣．即下面的定理2[3] 設(shè)，如果有正整數(shù)使，則．文獻[3]在證明上述結(jié)論的過程中，是通過考慮矩陣的若爾當標準形，利用極限過程的方法進行的，證明過程顯得過于繁瑣．下面，我們將僅僅利用高等代數(shù)中的幾個常見的基本結(jié)論（引理引理引理8），對定理2予以簡證：定理2的簡證 由，知，且由引理6，得．若，由引理7，得，即得，故；若，由引理7，得，由引理8，得，從而有，即，根據(jù)，知，必有，從而，因此．注2 文獻[3]中由于用到若爾當標準形及極限過程，自然要求矩陣在復(fù)數(shù)域上考慮，根據(jù)我們的證明知道，可以推廣這個結(jié)論到任何
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