數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文關(guān)于冪零矩陣的幾個(gè)注記-文庫(kù)吧資料
2025-01-24 15:34本頁(yè)面
【正文】 以回答以上問(wèn)題．對(duì)試題中的矩陣，通過(guò)計(jì)算可得，但，滿足該性質(zhì)的矩陣稱(chēng)之為冪零矩陣．定義1[2] 設(shè)，若存在正整數(shù)，使，則稱(chēng)是冪零指數(shù)為的冪零矩陣，也稱(chēng)是冪零矩陣．本文將把上述試題中蘊(yùn)涵的結(jié)論進(jìn)行推廣，給出一個(gè)一般性命題，該命題可以補(bǔ)充為冪零矩陣的一個(gè)新性質(zhì)．除此之外，本文還將對(duì)《大學(xué)數(shù)學(xué)》期刊2006年第5期“冪等和冪零陣的伴隨陣的反問(wèn)題”一文中，關(guān)于冪零矩陣提出的一個(gè)的論斷予以否定；對(duì)《數(shù)學(xué)研究與評(píng)論》期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中，關(guān)于冪零矩陣的一個(gè)主要結(jié)果給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明方法，并且同時(shí)推廣這個(gè)結(jié)論到任何的無(wú)限域；最后還將給出矩陣為冪零的一個(gè)等價(jià)條件，借助該結(jié)論簡(jiǎn)化了一些高等代數(shù)研究生試題的證明．更重要的是，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)，在這些試題中關(guān)于“矩陣可對(duì)角化”的限制是可以取消的．本文用表示數(shù)域，表示上的階矩陣的集合，表示矩陣的秩，表示單位矩陣，表示的伴隨矩陣．2 幾個(gè)引理關(guān)于冪零矩陣的一些常見(jiàn)性質(zhì)，在許多文獻(xiàn)中都有論述，本文僅羅列如下兩個(gè)基本性質(zhì)，以備后文中引用，對(duì)于它們的證明及其它性質(zhì)，本文不再贅述．引理1[2] 設(shè)，是冪零矩陣的特征值全為零．引理2[2] 設(shè)，是冪零矩陣的最小多項(xiàng)式為．為了后面結(jié)論的證明，我們?cè)俳讉€(gè)引理：引理3 設(shè)階矩陣滿足，則對(duì)使的維列向量，向量組線性無(wú)關(guān)．證明 由引理１知，則存在維列向量，使，下面證明向量組線性無(wú)關(guān)：設(shè)，對(duì)該等式兩邊以左乘之，得，故，再對(duì)等式以左乘之，得，故，同理可得，因此向量組線性無(wú)關(guān)．引理4 設(shè)是階矩陣，并且滿足，則，．證明 因?yàn)?，所以的最小多?xiàng)式是，故的不變因子為，故的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為因此存在階可逆矩陣，使得，這里為階單位矩陣，經(jīng)過(guò)計(jì)算得由此得，．引理5 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量組如下定義：則向量組也線性無(wú)關(guān)．證明 把向量等式寫(xiě)成矩陣形式上式右端的上三角矩陣可逆，由線性無(wú)關(guān)，即得也線性無(wú)關(guān)．引理6[2] 如果、都是一個(gè)矩陣，則．引理7[2] 如果是矩陣()，那么引理8 如果是一個(gè)矩陣，時(shí)，則（1）；
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