關(guān)于逆矩陣求法的討論【畢業(yè)論文設(shè)計】-文庫吧資料
2025-01-22 10:30本頁面
【正文】 ；分配律 ，；數(shù)與乘法的結(jié)合律 ；當(dāng)，均為階方陣時，有；；.[3]性質(zhì)4 矩陣乘法不滿足交換律：例 1 已知，.求和.解 ，. 定義 設(shè)為階矩陣，如果存在階矩陣，使得成立，那么矩陣稱為可逆矩陣，此時矩陣稱為的逆矩陣，那么稱為不可逆矩陣.的逆矩陣記作，即如果，那么. 性質(zhì)1 如果矩陣可逆的，那么的逆矩陣是唯一的.證明 設(shè)，都是的逆矩陣，那么有，所以的逆矩陣是唯一的.性質(zhì)2 如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)3 如果可逆，數(shù)，那么可逆，且.性質(zhì)4 如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)5 如果，都是階可逆矩陣，那么可逆，且.證明 因為 所以可逆，且.[4] 3 逆矩陣的求法設(shè)是一個階矩陣，如果存在階矩陣，使，則稱矩陣是可逆矩陣，并稱是的逆矩陣.[5]例2 已知階矩陣滿足，證明可逆，并求出它的逆矩陣.證 由，得，則，即且，由定義可知，可逆且. 設(shè)是階矩陣，稱矩陣稱為的伴隨矩陣，記作，其中是中元素的代數(shù)余子式，即.定理 階矩陣可逆的充要條件是，且在可逆時，.，但對于階數(shù)較低（一般不超過3），應(yīng)注意以下幾點： .是的代數(shù)余子式，不是余子式，且，因此計算時千萬不要遺漏代數(shù)符號.此定理不僅給出了方陣可逆的條件，同時也給出了求逆矩陣的公式.[6] 例3 判定矩陣是否可逆，若可逆，求. 解 因為，所以可逆，又，所以. 由階矩陣，作一個矩陣，如果此矩陣可以經(jīng)過初等行變換化為，那么矩陣可逆，當(dāng)可逆時，. 例4 用初等行變換求逆矩陣的逆矩陣. 解 ，故. 類似地，如果階矩陣可逆，則作一個的矩陣，然后對此矩陣施以初等列變換，使矩陣化為單位矩陣，此時可化為，即.[7]例5 用初等列變換求矩陣的逆矩陣.解 ，所以. 、列變換設(shè)可逆，則對施行一系列的行、，使，則 令，所以，對施行一系列行、列初等變換把變成，此時同樣的初等列變換把單位矩陣變成，而同樣的初等行變換把單位矩陣變成， .例 6 設(shè)，求. 解 ， . 在進行高階矩陣運算時，經(jīng)常將高階矩陣按某種規(guī)則分成若干塊，并視每一小塊是矩陣的元素，按照矩陣的運算法則進行計算，二小塊之間的運算同樣是按矩陣的運算法則進行運算，我們有，若為可逆矩陣，且，則
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