用矩陣的初等行變換求n個整數(shù)的最大公因子數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-09 14:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 保持不變.引理2[9] 設(shè)＞0，則有引理3 （） （）.注1 引理2表明，求一組數(shù)的最大公因子時，可以通過提出這組數(shù)的公因子的方法來逐步求出．例如：注2 引理3表明，求多個數(shù)的最大公因子，可以由求兩個數(shù)的最大公因子來逐步求出．例如： 由以上三式得：.定理1 若b是任一整數(shù)，則(0,b)=b.證明：∵b|0 ,b|b. ∴b是0與 b的公因子. 又∵b的最大公因子是b. ∴0 與b的最大公因子就是b. 即（0，b）=b.推論1 若b 是任意整數(shù)，則（0，b ）=|b|.推論2 若b 是任意整數(shù)，則（0,0,…,0,b）=|b|.注 推論.定理2[10] 設(shè)、b 、c是三個不全為0的整數(shù)，且 = bq + c，則(,b)=( ,c).證明：設(shè)=（,b）, =(b,c)， 則 ,. ∴bq.（整除的性質(zhì)） 又∵=bq+c. ∴c=bq， ∴|c. ∴是b與c的公因子 (∵,|c )， ∴=(b,c)≤ , 即 ≤. (公因子小于或等于最大公因子) ① 下面證明 ≥. ∵ =（b,c）. ∴|b, |c， ∴|bq+c， ∴|， ∴是與 b 的公因子， (∵| , |b) ∴≤(,b)=. 即 ≥. (公因子小于或等于最大公因子) ②由①、②得 =. 即（,b）=(b,c). 注 c 滿足0≤c≤b 或者c≥b均可.3主要結(jié)果及證明定理 設(shè)是一個一行n列整數(shù)矩陣，是一個n級單位矩陣，A= B=那么整數(shù)矩陣A經(jīng)過有限次的矩陣初等行變換，一定可以化為整數(shù)矩陣B，且.注1 矩陣B中，除第一列的元素以外，其它的元素是任意的，它們不一定相同.注2 不全為0.（如果全為0，那么求n個數(shù)的最大公因子是沒有意義的）.證明：假設(shè)，將這n個整數(shù)逐步化小，
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