矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用畢業(yè)論文終稿(編輯修改稿)
2024-11-12 03:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????? ?? ??????????????（ ）（ ） 111 1 0 0nTJ T B TJ T B????? 由 nB 我們很容易求出 nx 。 例 3 在數(shù)列 ??nx 中，有 12= =1xx， 且 21 + 6 + 5 ( 1 , 2 , 3 )n n nx x x n???? ，,求 nx 的通項(xiàng)。 解：令 211165n n nnnx x xxx????? ? ??? ?? 取 1610A ???????0 50B ??????? 2 60EA? ? ?? ? ? ? ? 得 1232??? ??， ,即 A 有兩個(gè)不相等的特征根。韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 7 頁 共 18 頁 當(dāng) 1 3?? 時(shí)， A 的特征向量為 62?????? 當(dāng) 2 2??? 時(shí)， A 的特征向量為 21??????? 令 6221T ???????? 則 1 1212610T ? ??? ????? 1111 16 2 1 2 1301 2 1 2 6 110 0 ( 2 )nn nT J T B??? ?? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???11 11 1 2 12 3 ( 2 ) 2 6 11 0 1 0 6 3 4 ( 2 )nn nn?? ????? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 21100 213 1 06 2 1 2 512 1 2 6 010 0 ( 2) 1niiniiT J T B???????????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???????11 110 2510 5 3 ( 2)33nn???????? ? ? ? ? ??? 1 1 1 1 1 11 1 0 2 5 1 1 1 1 56 3 4 ( 2 ) 5 3 ( 2 ) ( 2 ) 31 0 3 3 1 5 1 0 6n n n n n nnx ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 利 用矩陣的方法求線性循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè) k 階線性循環(huán)數(shù)列 ??nx ，滿足循環(huán)方程 1 1 2 2 + 1 , 2n n n k n kx a x a x a x n k k? ? ?? ? ? ? ? ?， 其中 1,2,iai?（ ） 為常數(shù) ,且 0ka? .求數(shù)列 ??nx 的通項(xiàng)。 方程組 1 1 2 2112211+,.n n n k n knnnnn k n kx a x a x a xxxxxxx? ? ?????? ? ? ?? ? ??? ??????????，韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 8 頁 共 18 頁 可表示為 矩陣形式11 2 112211 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 nnkkn k n kn k n kxxa a a axx???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? (1) 令 1121=nnnknknkxxxx???????????????????????? 1 2 1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 kka a a aA???????????? 121=nnnknknkxxxx?????????????????????? 則 (1) 式寫成 1n k n kA??? ? ?? 由上式遞推得 21 1 1nkn k n k n kA A A? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 于是 nx 就歸納為求 1nk??? ,也就是求 nkA? 例 4 對于數(shù)列 ??nx ，如果已知 1 2 31, 2, 3x x x? ? ?,并且通項(xiàng) nx 滿足 1 2 322n n n nx x x x? ? ?? ? ?則求通項(xiàng)公式 nx 。 解：因?yàn)閿?shù)列 ??nx 是 3 階線性循環(huán)數(shù)列，則方程組 1 2 3112222n n n nnnnnx x x xxxxx? ? ?????? ? ???????? 矩陣形式 112232 1 21 0 00 1 0nnxx ????? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 令 2 1 21 0 00 1 0A????????,由上式遞推關(guān)系得 331212=nnnnxxx A xxx???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 由 322 1 21 0 2 2 001EA?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??,求得 1 2 3=1 =1 = 2? ? ?， ，韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 9 頁 共 18 頁 則 1 2 3? ? ?， ， 對應(yīng)的特征向量分別為1 2 31 1 41 1 21 1 1P P P? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， 令 ? ?1 2 31 1 41 1 21 1 1P P P P???????? ，則 113 3 6 1 0 011 3 2 0 1 062 0 2 0 0 2P A P P???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 33 1 331 0 0 1 1 4 1 0 0 3 3 610 1 0 1 1 2 0 ( 1 ) 0 1 3 260 0 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2nnnnA P P?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 32 1 2 2 13 2 3 3 23 +( 1) 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 21 3 +( 1) + 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 26 3 +( 1) + 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 2n n n n nn n n n nn n n n n? ? ?? ? ?? ? ?????????? 所以，通項(xiàng)公式為 ? ?3 3 33 2 131 3 + ( 1 ) 2 + 3 3 ( 1 ) + 6 + 2 ( 1 ) 262 1 1 2 = + ( 1 )3 6 3n n n n nnnnx x x x? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? 韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 10 頁 共 18 頁 3 矩陣在求分式線性遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 分式線性遞推數(shù)列不僅難度系數(shù) 大，而且又是考察的重點(diǎn)。 下面就是應(yīng) 用 矩陣、特征根 等理論 來解決 這類 分式遞推數(shù)列 的 問題，這類方法 會(huì)使其變 得簡單而有趣。 、特征向量求分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式 在求 分式
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