數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文亞正定變換研究張?zhí)m(編輯修改稿)
2025-02-12 17:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 維歐氏空間的一個(gè)亞正定變換，則也是亞正定變換.證明 :若是不可逆的，則存在，使，即此與為亞正定矩陣變換矛盾， 故是可逆變換.從而是滿射的，因此必有,使,則故是亞正定變換.定理3 設(shè)是維歐氏空間的亞正定變換，則也是亞正定變換.證明 由于是亞正定變換，則對(duì)，有，且即對(duì)，有故為亞正定變換. 定理3證畢.定義3[12] 設(shè)是歐氏空間的兩個(gè)線性變換,在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為,若在下的矩陣為,則稱為的共軛變換.定理4 若是維歐氏空間的亞正定變換，則的共軛變換也是亞正定變換.證明 令是維歐氏空間的一個(gè)亞正定變換,為的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)在下的矩陣為，即，根據(jù)共軛變換定義，有因此，由定理1知，當(dāng)是亞正定變換時(shí)，是亞正定矩陣，對(duì)，有，故，即為亞正定矩陣，于是，是亞正定變換.注 由于與互為共軛變換，根據(jù)定理4知，線性變換為亞正定變換的充分必要條件是為亞正定變換.在歐氏空間中，有著名的Cauchy不等式：對(duì)任意，有當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí),等號(hào)才成立.我們通過引入亞正定變換，將對(duì)這一重要不等式進(jìn)行推廣：定理5 設(shè)是維歐氏空間的一個(gè)亞正定變換，對(duì)任意，有 （2）當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立.證明 當(dāng)時(shí),(2)式顯然成立,以下討論的情況:因?yàn)闉閬喺ㄗ儞Q，則對(duì)，有展開，得 （3）由于為亞正定變換，故，（3）式為二次式，故判別式即得 （4） 當(dāng)線性相關(guān)時(shí),由上面證明過程可以看出,或者,. 推論1 設(shè)是一個(gè)歐氏空間，則對(duì)中任意向量，有當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí),等號(hào)才成立.證明 用表示恒等變換，則對(duì)，有，故即是亞正定變換，在定理5中，當(dāng)亞正定變換取恒等變換時(shí)，有即得.以上結(jié)果表明，定理5是Cauchy不等式的一個(gè)推廣.2 正規(guī)變換與正定變換定義4 設(shè)為維歐氏空間的一個(gè)亞正定變換，且是一個(gè)對(duì)稱
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