【文章內容簡介】 移，設其伸縮因子 (又稱尺度因子 )為 a，平移因子為 ? ，令其平移伸縮后的函數為 )(, ta?? ，則有 ? ? Raatata ???????? ?? ? ???? ? ,0,2/1, (21) 稱 )(, ta?? 為依賴于參數 ?,a 的小波基函數，由于尺度因子 a、平移因子 ? 是取連續(xù)變化的 值，因此稱 )(, ta?? 為連續(xù)小波基函數。它們是由同一母函數)(t? 經伸縮和平移后得到的一組函數系列。定義小波母函數 )(t? 窗口寬度為 t? ，窗口中心為 0t ，則相應可求得連續(xù)小波 )(, ta?? 的窗口中心為?? ?? 0, atta ，窗口寬度為 tata ??? ?, 。同樣，設 ???? 為 )(t? 的傅立葉變換，其頻域窗口中心為 0? ，窗口寬度為 ?? ，設 )(, ta?? 的傅立葉變換為)(, ??a? ，則有 ? ? ? ??? ??? aea ja ??? ?21, (22) 所以， 其頻域窗口中心為0, 1?? ? aa ? 窗口寬度為 ??? ??? aa 1, 可見，連續(xù)小波 )(, ta?? 的時、頻域窗口中心及寬度均隨尺度 a 的變化而伸縮，若我們稱 ????t 為窗口函數的窗口面積，由于 ????? ???????? tatat aa 1, (23) 哈爾濱理工大學學士學位論文 8 所以連續(xù)小波基函數的窗口面積不隨參數 ?,a 而 變。這正是海森堡測不準原理證明的： ???t 大小是相互制約的，乘積21???? ?t，且只有當)(t? 為 Gaussian 函數時，等式才成立。由此可得到如下幾點結論： (1)尺度的倒數a1在一定意義上對應于頻率 ? ，即尺度越小，對應頻率越高，尺度越大，對應頻率越低。如果我們將尺度理解為時間窗口的話，則小尺度信號為短時間信號，大 尺度信號為長時間信號； (2)在任何 ? 值上，小波的時、頻窗口的大小 t? 和 ?? 都隨頻率 ? (或者a1 )的變化而變化。這是與 STFT 的基的不同之處； (3)在任何尺度 a 、時間 ? 上，窗口面積 ????t 保持不變，也即時間、尺度分辨率是相互制約的不可能同時提的很高； (4)由于小波母函數在頻域具有帶通特性，其伸縮和平移系列就可以看作是一組帶通濾波器。通常將通帶寬度與中心頻率的比值稱為帶通濾波器的品質因數，通過計算可以發(fā)現，小波基函數作為帶通濾波器，其品質因數不隨尺度 a 而變化，是一組頻率特性等 Q 的帶通濾波器組 [6]。 連續(xù)小波變換 將任意 ??RL2 空間中的 函數 )(tf 在小波基下進行展開，稱這種展開為函數 )(tf 的連續(xù)小波變換 (Continue Wavelet Transform,簡記為 CWT)，其表達式為 ? ? dtattfattfaWT Raf ?????? ??? ? ???? ? )(1),(),( , (24) 由 CWT 的定義可知，小波變換同傅立葉變換一樣，都是一種積分變換，同傅立葉變換相似，稱 ? ??,aWTf 為小波變換系數。由于小波基不同于傅立葉基，因此小波變換和傅立 葉變換有許多不同之處。其中最重要的是，小波基具有尺度 a、平移 ? 兩個參數。因此，將函數在小波基下展開就意味著將一個時間函數投影到二維的時間 尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特點，將函數投影到小波變換域后，有利于提取函數的某些本質特征。 與 STFT 不同的是，小波變換是一種變分辨率的時頻聯合分析方法。當分析低頻 (對應大尺度 )信號時，其時間窗很大，而當分析高頻 (對應小尺度 )信號時，其時間窗減小。這恰恰符合實際問題中高頻信號的持續(xù)時間短、低頻信號持續(xù)時間較長的規(guī)律 [7]。 哈爾濱理工大學學士學位論文 9 離散小波變換 由連續(xù)小波的概念知道，在連續(xù)變化的尺度 a 及時間 ? 值下，小波基函數 )(, ta?? 具有很大的相關性，體現在不同點上的 CWT 系數滿足重建核方程，因此信號 ??tf 的連續(xù)小波變換系數 ? ??,aWTf 的信息量是冗余的。雖然在某些情況下，其冗余性是有益的 (例如在去噪，進行數據恢復及特征提取時，常采用 CWT，以犧牲計算量、存儲量為代價來獲得最好的結果 )，但在很多情況下，我們希望在不丟失原信號 ??tf 信息的情況下，盡量減小小波變換系數的冗余度。 減小小波變換系數冗余度的作法是將小波基函數的 a 、 ? 限定在一些離散點上取值。一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級數進行離散化，即取 mm aa 0? (m 為整數， 10?a ，一般取 20?a )。 關于位移的離散化，當 120 ??a 時， ? ? ? ???? ? ?? tta, 。通常對 ? 進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸。為了不丟失信息，要求采樣間隔 ? 滿足 Nyquist 采樣定理，即采樣頻率大于等于該尺度下頻率通常的 2 倍。每當 m 增加 1，尺度 a 增加 一倍，對應的頻帶減小一半，可見采樣率可以降低一半，也就是采樣間隔可以增大一倍。因此，如果尺度 0?m 時 ? 的間隔為 sT ，則在尺度為 m2 時，間隔可取為 smT2 。此時 ??ta??, 可表示為 [7] ? ? ? ?ntt mmnm ?? ?? 22 2, ?? Znm?, (25) 任意函數 ??tf 的離散小波變換為 ? ? ? ? ? ?dtttfnmWTnmRf , ??? (26) 二進小波變換 對于尺度及位移均離散變化的小波序列，若取離散柵格的 20?a ，0??? ，即相當于連續(xù)小波只在尺度上進行了二進制離散，而位移仍取連續(xù)變化 ，我們稱這類小波為二進小波，表示為 ?????? ?? ? kk tk 22 2,2??? ? (27) 二進小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，它只是對尺度參量進行了離散化，而在時間域上的平移量仍保持連續(xù)變化，因此二進小波仍具有連續(xù)小波變換的時移共變性，這是它較之離散小波變換所具有的獨特優(yōu)點 [7]。 二進小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，它只是對尺度參量進行了離散化，而在時間域上的平移量仍保持連續(xù)變化，因此二進小波仍具有連續(xù)小波變換的時移共變 性，這是它較之離散小波變換所具有的獨特優(yōu)點 [7]。 哈爾濱理工大學學士學位論文 10 多分辨率分析與離散小波快速算法 多分辨率分析 多分辨率分析 (MultiResolution Analysis——MRA)，又稱為多尺度分析是建立在函數空間 [3]概念上的理論。但其思想的形成來源于工程，其創(chuàng)建者 是在研究圖像處理問題時建立這套理論。當時研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，并將結果進行比較，以取得有用的信息。 Meyer 正交小波基的提出，使得 Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性將圖像展開，以得 到圖像不同尺度間的 “信息增量 ” [8]。這種想法導致了多分辨率分析理論的建立。 MRA 不僅為正交小波基的構造提供了一種簡單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據。其思想又同多采樣濾波器組不謀而合，可將小波變換同數字濾波器的理論結合起來。因此多分辨率分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位。 若把尺度理解為照相機的鏡頭的話，當尺度由大到小變化時，就相當于將照相機由遠及近的接近目標，在大尺度空間里，對應遠鏡頭下觀察到的目標，可觀測到目標的細微部分。因此隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗及精的 觀察目標。這就是多尺度 (即多分辨率 )的思想。 W1W2 W 3 V 3V 0 ? V 1 ? V 2 ? V 3 圖 22 小波空間和尺度空間的包含關系 多分辨率分析是指滿足下列性質的一系列閉子空間 ? ? ZjVj ?, ： (1)一致單調性： ???????????? ?? 21012 VVVVV (2)漸近完全性： ??0?? jZj V?； ? ?RLVjZj 2??? (3)伸縮規(guī)則性： ? ? 02)( VtfVtf jj ??? Zj? (4)平移不變性： ? ? ? ? 00 VntfVtf ???? ，對所有 Zn (5)正交基存在性： 存在 0V?? ，使得 ? ?? ? znnt ??? 是 0V 的正交基，即 ? ?? ?nts p anVn ?? ?0， ? ? ? ?nmR dtmtnt ,??? ???? 哈爾濱理工大學學士學位論文 11 小波空間和尺度空間的包 含關系如圖 22 所示 [7]。 尺度函數和尺度空間 若一個函數 ?? ? ?RLt 2?? ， 它的的整數平移系列 ? ? ? ?kttk ???? 滿足 ? ? ? ? Zkktt kkkk ??? ?? , ,??? (28) 則 ??t? 可定義為尺度函數 (scale function)。 定義由 ??tk? 在 ??RL2 空間張成的閉子空間為 0V 稱為零尺度空間： ? ? Zkts panV kk ?? ,}{0 ? (29) 則對于任意 ?? 0Vtf ? ，有 ? ?tatf kk k???)( (210) 同小波函數相似，假設尺度函數 ??t? 在平移的同時又進行了尺度的伸縮，得到了一個尺度和位移均可變化的函數集合： ? ? )2(22)( 2, tktt jkjjkj ??? ??? ??? (211) 則稱每一固定尺度 j 上的平移系列 ? ?tj2? 所張成的空間 jV 為尺度為 j 的尺度空間： ? ? Zkts pa nV jkkj ?? ? ,}2{? 對于任意 ?? jVtf ? ，有 ? ? ? ? ? ??? ??? ???kjkjjkk k ktatatf 2222 ?? (212) 由此，尺度函數 ??t? 在不同尺度上其平移系列張成了一系列的尺度空間ZjjV ?}{ 。由式 (211)隨著尺度 j 的增大，函數 ??tkj,? 的定義域變大，且實際的平移間隔 )2( ??j 也變大，則它的線性組合式 (212)不能表示函數 (小于該尺度 )的細微變化，因此其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號。相反隨著尺度 j 的減小，線性組合便能表示函數的更細微 (小尺度范圍 )變化，因此其張成的尺度空間所包含的函數增多 (包括小尺度信號的大尺度緩變信號 )，尺度空間變大。也即隨著尺度的減小，其尺度空間增大 [6]。 離散小波變換的快速算法 對于任意函數 0)( Vtf ? ，可以將它分解為細節(jié)部分 1W 和大尺度逼近部分 1V ，然后將大尺度逼近部分 1V 進一步分解。如此重復就可以得到任意尺度 (或分辨率 )上的逼近部分和細節(jié)部分。這就是多分辨率分析的框架。 設 ??tf js 為函數 )(tf 向尺度空間 jV 投影后所得到的 j 尺度下的概貌信號 哈爾濱理工大學學士學位論文 12 ? ? ? ? ? ?tctctf k kjkjk jkkjis ?? ???? ? , 2， Zk? (213) 其中 ? ? ? ?ttfckjkj , ,??，稱為尺度展開系數。 若將函數 )(tf 向不同尺度的小波空間 jW 投影，則可得到不同尺度下的細節(jié)信號 ??tfjd ： ? ? ? ? ? ? Zktdtdtf kjk kjjkk kjjd ??? ?? ? ,2 , ?? (214) 其中 ? ?ttfd kjkj , ),( ?? ，稱為小波展開系數。 若將 ? ? ? ?RLtf 2? 按以下空間組合展開： ? ? jJj j VWRL ?? ????2 (215) 其中 J 為任意設定的尺度，則 ? ? ? ? ? ?tctdtf kjk kjkjJj k kj , ??? ?? ? ??????? ???? ? (216) 當 ??J 時，上式變?yōu)? ? ? ? ?tdtfkjj k kj , ?? ?????????? (217) 即對應于 1??BA 時的離散小波變換綜合公式 (或逆小波變換 )。1??BA 時的小波框架為正交小波基，所以常稱式 (216)、 (217)為離散正交小波變換綜合公式。 由此可知，離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理論為正交小波變換提供了數學上的