【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 tf f )(),(11)( 2 ?? () 存在幾種擴(kuò)展的可能性，一種可能性是選擇小波 )()( 2 nRLtf ? 使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ， )()(? ???? ? () 并且其相容性條件變?yōu)? 共 47 頁 第 9 頁 ??? ?? tdttC 0 22 )()2( ??? () 對(duì)所有的 )(, 2 ngLgf ? 。 fCdbbaWbaWada gfn ???? ? ?),(),(0 1 () 這里， ),( baWf =〈 ba,? 〉， )()( 2/,a btat nba ?? ? ??，其中 0, ?? ? aRa 且 nRb? ，公式（ ）也可以寫為 ? ?? ??? 0 ,11 ),( dbbaWadaCf baR fn n ?? () 如果選擇的小波 ? 不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移。例如，在二維時(shí)，可定義 ))(()( 11, a btRatba ?? ?? ?? ?? () 這里， 2,0 Rba ?? ， ???????? ?? ?? ??? c ossin sinc osR，相容條件變?yōu)? ?? ??? ? ?? ????? 20 202 )s i n,c os(?)2( drrrdrC () 該等式對(duì)應(yīng)的重構(gòu)公式為 ? ????? 0 20 ,31 ),(2 ? ?? ??? dbaWdbadaCf bafR () 對(duì)于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。 離散小波變換 在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù) a和連續(xù)平移參數(shù) b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量 t的。這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)： )()( 2/1, a btatba ?? ? ?? 這里 Rb? ， ??Ra ，且 0?a ， ? 是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)? ??? ?? ????? dC 0 )(? () 通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a和平移參數(shù) b的離散公式分別取作000 , bkabaa jj ?? ，這里 Zj? ，擴(kuò)展步長(zhǎng) 10?a 是固定值，為方便起見，總是假定 10?a（由于 m可取正也可取負(fù)，所以這個(gè)假定無關(guān)緊要）。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù) )(, tkj? 共 47 頁 第 10 頁 即可寫作 )()()(002/00 002/0, kbtaaa bkatat jjjjjkj ???? ??? ??? () 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 ???? ???? kjkjkj fdtttfC ,* , ,)()( ?? () 其重構(gòu)公式為 ? ???? ???? )()( , tCCtf kjkj ? () C是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇 0a 和 0b ，才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密（即 0a 和 0b 盡可能?。?，因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用 的小波函數(shù) )(, tkj? 和離散小波系數(shù) kjC, 就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。 實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子值和位移參數(shù)值計(jì)算 CWTa,b 值，加之實(shí)際的觀測(cè)信號(hào)都是離散的，所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換 (DwT)。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按 2的冪次進(jìn)行離散。最有效的計(jì)算方法是 s． Mallat 于 1988年發(fā)展的快小波算法 (又稱塔式算法 )。對(duì)任一信號(hào)，離散小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分〔稱為近似部分 )和離散部分 (稱為 細(xì)節(jié)部分 )。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算。不過這時(shí)尺度因子已經(jīng)改變。依次進(jìn)行到所需要的尺度。除了連續(xù)小波 (CWT)、離散小波 (DWT)，還有小波包（ Wavelet Packet）和多維小波。 小波包分析 短時(shí)傅立葉變換對(duì)信號(hào)的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時(shí)間分辨率較差，即對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分（具有等Q 結(jié)構(gòu)）。小波包分析能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更精細(xì)的分析方 法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨率分析沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了時(shí) 頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。 關(guān)于小波包分析的理解，我們這里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說明，其小波包分解樹如圖 AA2 DA2 AD2 DD2 A1 D1 S 共 47 頁 第 11 頁 圖 小波包分解樹 圖 中， A 表示低頻， D 表示高頻，末尾的序號(hào)數(shù)表示小波分解 的層樹（也即尺度數(shù)）。分解具有關(guān)系 ： S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。 小波包的定義 在多分辨分析中，jzj WRL ???)(2 ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把Hilbert 空間 )(2RL 分解為所有子空間 )( ZjWj ? 的正交和的。其中， jW 為小波函數(shù))(t? 的閉包（小波子空間）?，F(xiàn)在，我們希望幾擬議部對(duì)小波 子空間 jW 按照二進(jìn)制分式進(jìn)行頻率的細(xì)分，以達(dá)到提高頻率分辨率的目的。 一種自然的做法是將尺度空間 jV 和小波子空間 jW 用一個(gè)新的子空間 njU 統(tǒng)一起來表征，若令 jjjjWUVU???????10 Zj? 則 Hilbert 空間的正交分解 jjj WVV ???1 即 可用 njU 的分解統(tǒng)一為 100 1 jjj UUU ??? Zj? () 定義子空間 njU 是函數(shù)是函數(shù) )(tUn 的閉包空間，而 )(tUn 是函數(shù) )(2 tUn 的閉包空間，并令 )(tUn 滿足下面的雙尺度方程： ??????????????ZknnZknnktukgtuktukhtu)2()(2)()2()(2)(122 () 式中， )1()1()( khkg k ??? ，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng) n=0 時(shí)，以上兩式直接給出 ?????????????ZkkZkkktugtuktuhtu)2()()2()(0100 () 與在多分辨分析中， )()( tt ?? 和 滿足雙尺度方程： ?????????????ZkkZkkktgtktht)2()()2()(???? ? ?? ? 22lglhZkkZkk ???? () 相比較， )(0tu 和 )(1tu 分別退化為尺度函數(shù) )(t? 和小波基函數(shù) )(t? 。式（ ）是式（ ）的等價(jià)表示。把這種等價(jià)表示推廣到 ??Zn （非負(fù)整數(shù)）的情況，即得到（ ）AAA3 DDA3 ADA3 DDA3 AAD3 ADA3 ADD3 DDD3 共 47 頁 第 12 頁 的等價(jià)表示為 121 ?? ?? njnjnj UUU Zj? ； ??Zn () 定義（小波包） 由式（ ）構(gòu)造的序列 ? ?)(tun （其中 ??Zn ）稱為由基函數(shù) )(0tu = )(t?確定的正交小波包。當(dāng) n=0 時(shí)，即為（ ）式的情況。 由于 )(t? 由 kh 唯一確定，所以又稱 ? ? Znn tu ?)( 為關(guān)于序列 ??kh 的正交小波包。 小波包的性質(zhì) 定理 1 設(shè)非負(fù)整數(shù) n 的二進(jìn)制表示為 ?????112iiin ? ， i? =0 或 1 則小波包 )(wun? 的傅立葉變換由下式給出： ???? ?1 )2/()( ijn wmwui? () 式中： ?????????kjk wekhwHwm )(21)()(0 ????? ??? k jk wekgwGwm )(21)()(1 定理 2 設(shè) ? ? Znn tu ?)( 是正交尺度函數(shù) )(t? 的正交小波包，則 klnn ltuktu ?????? )(),( ，即 ? ? Znn tu ?)( 構(gòu)成 )(2RL 的規(guī)范正交基。 小波包的空間分解 令 ? ? Znn tu ?)( 是關(guān)于 kh 的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族?，F(xiàn)在令 n=1，2，?； j=1， 2，?，并對(duì)（ ）式作迭代分解，則有 7 26 25 25 24 22 13 12 11, ?????? ?? ???????jjjjjjjjjj UUUUUU UUUW 因此，我們很容易得到小波子空間 jW 的各種分解如下： 726252423121????????????jjjjjjjjUUUUWUUW ? ??? ??? 122 kk kjkjj UUW ? 11 22 ?? ?? ?? kk kjkj UU ? ??? ?12020 jj UUW j ? ? 120 1??jU jW 空間分解的子空間序列可寫作 mjlU??21 ， m=0， 1，?， l2 1； l=1， 2，?。子空間序列 mjlU??21 的標(biāo)準(zhǔn)正交基為 ? ?Zkktu ljmjl ?????? :)2(2 22/)1(。容易看出，當(dāng) l=0 和 m=0時(shí)， 共 47 頁 第 13 頁 子 空 間 序 列 mjlU??21 簡(jiǎn)化為 1jU = jW ， 相 應(yīng) 的 正 交 基 簡(jiǎn) 化 為)2(2)2(2 2/12/ ktktu jjjj ??? ???? ?，它恰好是標(biāo)準(zhǔn)正交小波族 ? ?)(, tkj? 。 若 n 是一個(gè)倍頻程細(xì)劃的參數(shù)，即令 n= l2 +m，則我們有小波包的簡(jiǎn)略記號(hào)?)(, tnkj? )2(2 2/ ktjnj ??? ? ，其中， )2(2)( 22/ tut lmln l ??? 。我們把 )(, tnkj? 稱為既有尺度指標(biāo) j、位置指標(biāo) k 和頻率指標(biāo) n 的小波包。將它與前面的小波 )(, tkj? 作一比較知，小波只有離散尺度 j 和離散平移 k 兩個(gè)參數(shù)，而小波包除了這兩個(gè)離散參數(shù)外，還增加了一個(gè)頻率參數(shù) n= l2 +m。正是這個(gè)頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分辨率低的缺陷，于是，參數(shù) n表示 )2(2)(22/ tut lmln l ???函數(shù)的零交叉數(shù)目， 也就是其波形的震 蕩次數(shù)。 定義（小波庫(kù)） 由 )(tn? 生成的函數(shù)族 )(, tnkj? （其中 ??Zn ； j， Zk? ）稱為由尺度函數(shù) )(t? 構(gòu)造的小波庫(kù)。 推論 對(duì)于每個(gè) j=0， 1， 2，? jZj WRL ???)(2=? ????? ? 302020 UUWW ? () 這時(shí)，族 { )(, ktuu nkj ? |j=?， 1， 0； n=2， 3，?且 Zk? } () 是 )(2RL 的一個(gè)正交基。 隨著尺度 j 的增大，相應(yīng)正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低，這正是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨 j 增大而變寬的頻譜窗口進(jìn)一步分割變細(xì)的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的不足。 小波包可以對(duì) jW 進(jìn)一步分解，從而提高頻率分辨率，是一種 比多分辨分析更加精細(xì)的分解方法，具有更好的時(shí)頻特性。 小波包算法 下面給出小波包的分解算法和重構(gòu)算法。設(shè) njnj Utg ?)( ，則 njg 可表示為 ? ?? l jnnjlnj ltudtg )2()( , () 小波包分解算法 由 ? ?njld ,1? 求 ? ?njld2, 與 ? ?12, ?njld ?????????k klklk klknjlnjnjnjdbddad,112,1222,