【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻率的塊信號(hào)，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號(hào)分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、 CT 成像、機(jī)械故障 診斷等問(wèn)題。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應(yīng)用。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 Wavelet ，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足： （ ） 時(shí)，則稱為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn) 。另一方面 ，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動(dòng)性。 將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子 亦稱尺度因子 為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則 : （ ） 并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。由于和均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。 定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 設(shè) 是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有 : （ ） 所以此時(shí)頻域窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 由此可見(jiàn)，連續(xù)小波的時(shí)、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有 （ ） 即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是 Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理。將不同、值下的時(shí)頻窗口繪在同 一個(gè)圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖 所示）。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開(kāi)，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： （ ） 其中為的容許性條件。 另外，在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即 : （ ） 由 CWT 的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為 小波變換系數(shù)?？梢?jiàn)小波變換對(duì)函數(shù)在小波基上的展開(kāi)具有多分辨率的特性，這種特性正是通過(guò)縮放因子和平移因子來(lái)得到的。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時(shí)、頻寬度的信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： ① 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。 ② 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。 ③ 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。 ④ 自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的 冗余度〔 redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對(duì)應(yīng)的。 2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的 。 小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降 特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說(shuō)，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。 一個(gè)一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個(gè)，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因?yàn)樗蟮拇鎯?chǔ)量和它代表的信息量都顯著增加了。對(duì)于變量超過(guò)一個(gè)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。 若是一個(gè)二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是： （ ） 其中，表示在兩個(gè)維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： （ ） 同樣的方法可以推廣到兩個(gè)或兩 個(gè)以上的變量函數(shù)上。 離散小波變換 [15] 計(jì)算機(jī)中的圖像信息是以離散信號(hào)形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進(jìn)制離散，一般將這種經(jīng)過(guò)離散化的小波及其變換叫做二進(jìn)小波和二進(jìn)變換。需要注意的是這里的離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對(duì)時(shí)間的。這兒限制尺度因子總是正數(shù)。 （ 1）尺度與位移的離散化 對(duì)連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時(shí)通常對(duì)尺度因子和平移因子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取（為整 數(shù)，但一般都假定），得到離散小波函數(shù)為： （ ） 其對(duì)應(yīng)系數(shù)為： （ ） （ 2）二進(jìn)制小波變換 二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，則有。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。 離散小波變換為： （ ） 離散二進(jìn)小波變換為： （ ） 二維離散小波變 換： 我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： （ ） 設(shè)是與對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： （ ） （ ） （ ） 以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。 多分辨率分析與濾波器組 Mallat 在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法―― Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。多分辨率分析具有如下性質(zhì)[16]： 1 單調(diào)性 ，； （ ） 2 逼近性 ，； （ ） 3 伸縮性 ； （ ） 4 平移不變性 ； （ ） 5 Riesz 基 存在函數(shù)，使得構(gòu)成的 Riesz 基，即對(duì)任一，存在唯一的，使在均方收斂意義下成立 （ ） 且存在，使 （ ） 由以上可以看出，所有的閉子空間都是由同一尺度的函數(shù)伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱為多分辨率分析的尺度函數(shù)。尺度函數(shù)的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數(shù)的傅里葉變換具有高通濾波特性。這樣利用尺度函數(shù)和小波函 數(shù)構(gòu)造信號(hào)的低通濾波器和高通濾波器。則可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行不同尺度下的分解。 多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖 所示）。 圖 嵌套的多分辨率子空間 假設(shè)原信號(hào)的頻率空間為，經(jīng)第一級(jí)分解后被分解成兩個(gè)子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級(jí)分解后被分解成低頻的和高頻的。這種子空間的分解過(guò)程可以記為： （ ） 其中符號(hào)表示兩個(gè)子空間的“正交和”；代表與分辨率對(duì)應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間是的正交補(bǔ)空間；各是反映空間信號(hào)細(xì)節(jié) 的高頻子空間，是反映空間信號(hào)概貌的低頻子空間。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： （ ） 這一結(jié)果表明：分辨率為 20 1 的多分辨率分析子空間可以用有限個(gè)子空間來(lái)逼近。 多分辨率分析的頻帶逐級(jí)剖分還可以直觀地表示為圖 。圖中假設(shè)原信號(hào)的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級(jí)分解后各子空間所占頻帶的變化情況： 、、。 圖 多分辨率頻帶的逐級(jí)剖分 基于上述考慮，我們可以用一對(duì) FIR 濾波器去實(shí)現(xiàn)上述的多分辨率分解。設(shè)和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對(duì)原 始信號(hào) x n （其正半軸歸一頻帶在 之間）的多分辨分解可表示為如圖 所示的樹(shù)形分解。信號(hào)經(jīng)H0 和 H1，濾波后兩支路輸出必定正交（因?yàn)轭l帶不交疊），同時(shí)由于兩支路輸出的帶寬均減半，因此采樣率可以減半而不會(huì)引起信息的丟失。正是因?yàn)槿绱?，圖中在濾波后才可以加入降 2 采樣，降 2 采樣的目的是為了尋求各級(jí)濾波器的一致性。圖 中各級(jí)的低通濾波器和高通濾波器是一樣的。這是因?yàn)榍耙患?jí)的輸出經(jīng)過(guò)了降采樣，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率進(jìn)行的。例如，第一級(jí) H0 的真實(shí)頻帶是（ Ts 為輸入的采樣間隔），其歸一頻率為（注：歸一頻率 真實(shí)頻率 *采樣間隔）。第二級(jí) H0 的真實(shí)頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因?yàn)榈诙?jí)輸入的采樣間隔是 2Ts，所以有。 圖 多分辨率分析的濾波器組分解樹(shù) 多分辨率分析中的這種樹(shù)形分解有其不可替代的優(yōu)點(diǎn)。如果直接采用若干個(gè)帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號(hào) x n 分解到多個(gè)不同的頻帶、?，因各個(gè)濾波器均不相同，因此其設(shè)計(jì)和計(jì)算量都較大，而且，隨著分解級(jí)數(shù)的增加計(jì)算量將成比例增加。然而，采用這里的樹(shù)形分解時(shí)，各級(jí)濾波器是一樣的，其計(jì)算量小。樹(shù)形分解適應(yīng)由粗到精的多分辨率分析的過(guò)程。不過(guò)樹(shù)形分解也有其缺點(diǎn)，就 是當(dāng)樹(shù)形分解的級(jí)數(shù)較大時(shí)，輸出的延時(shí)較長(zhǎng)。 上述信號(hào)經(jīng)過(guò)分解后也可得以重建，其重建過(guò)程是分解過(guò)程的逆過(guò)程：每一支路先進(jìn)行升采樣（即在輸入序列的每?jī)蓚€(gè)相鄰樣本間補(bǔ)一個(gè)零，使數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長(zhǎng)度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對(duì)相應(yīng)級(jí)上濾波后的兩支路進(jìn)行求和。在和為理想濾波器的情況下，重建濾波器仍可采用和在這樣的逐級(jí)重建的過(guò)程中就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)由粗到精的重建。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時(shí)，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關(guān)系。 圖像的 小波變換及其 Mallat 算法 圖像是二維信號(hào)，二維多分辨率分析與一維類似，但空間變成，一 維中引入的尺度函數(shù)變?yōu)椤? 設(shè)是的一個(gè)多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構(gòu)成的一個(gè)多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為 式中：是尺度函數(shù) 一維 。 式 說(shuō)明了二維尺度函數(shù)的可分離性。對(duì)于每一個(gè) ,函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標(biāo) j， n， m 的含義是： （ ） 我們將稱為的可分離多分辨率分析。因、都是低通的尺度函數(shù)，所以平滑的低通空間。 如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個(gè)小波函數(shù)為： （ ） 對(duì)于每一個(gè)，它們的整數(shù)平移系為： （ ） 注意這里的上標(biāo)只是索引而不是指數(shù)。它們構(gòu)成了 的規(guī)范正交基。因此以上的三個(gè)正交基中都至少包含一個(gè)帶通的 或 ，所以它們都是帶通的。也就是說(shuō)這三部分反應(yīng)的都是 細(xì)節(jié)信息。 具體來(lái)說(shuō)，函數(shù)系 ， 是 的正交歸一基，其中均為整數(shù)， 1,2,3 分別對(duì)應(yīng)于水平、垂直和對(duì)角三個(gè)方向。 對(duì)于任一二維圖像信號(hào)，在分辨率下有： （ ） 上式表明，在分辨率上將圖像分解成、 和四個(gè)子圖，其中代表原圖像在分辨率上的近似（即圖像的低頻部分，不妨用 LL 來(lái)表示），則代表這種近似的誤差（即圖像的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分）；對(duì)應(yīng)于垂直方向的高頻成分，即水平的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用 LH 表示）；對(duì)應(yīng)于水平方向的高頻成分，即垂直的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用 HL 表示） ；則對(duì)應(yīng)于對(duì)角方向的高頻成分（不妨用 HH表示）。圖 形象地表示了二維圖像的多分辨率小波分解。圖中符號(hào)的上標(biāo)表示圖像的小波分解層數(shù)，圖中示意了圖像的 2 級(jí)小波分解?？梢钥吹剑诿恳环纸鈱由?，圖像均被分解為 LL, LH, HL 和 HH 的四個(gè)頻帶；下一層的分解僅對(duì)低頻分量 LL 進(jìn)行分解。 圖 二維圖像的小波分解 按照 Mallat 的快速算法，圖像的小波分解算法如圖 所示： 圖 圖像的小波分解算法 圖 示意了圖像的一步小波分解過(guò)程，可以看到：二維圖像的小波分解可以對(duì)圖像依次按行、按列與一維的低通 H 和高通 G 濾波