【文章內(nèi)容簡介】 可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號分解成不同頻率的塊信號，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語音識別、計算機視覺、 CT 成像、機械故障 診斷等問題。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應(yīng)用。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 Wavelet ，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足： （ ） 時，則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點 。另一方面 ，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動性。 將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子 亦稱尺度因子 為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則 : （ ） 并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。由于和均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。 定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 設(shè) 是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有 : （ ） 所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有 （ ） 即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是 Heisenberg 測不準(zhǔn)原理。將不同、值下的時頻窗口繪在同 一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖 所示）。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時，其逆變換為： （ ） 其中為的容許性條件。 另外，在小波變換過程中必須保持能量成比例，即 : （ ） 由 CWT 的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為 小波變換系數(shù)。可見小波變換對函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現(xiàn)對信號的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： ① 線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。 ② 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。 ③ 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。 ④ 自相似性：對應(yīng)于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的 冗余度〔 redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面： 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應(yīng)的。 2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的 。 小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降 特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。 一個一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。對于變量超過一個的函數(shù)來說，這個變換的維數(shù)也將增加。 若是一個二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是： （ ） 其中，表示在兩個維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： （ ） 同樣的方法可以推廣到兩個或兩 個以上的變量函數(shù)上。 離散小波變換 [15] 計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進(jìn)制離散，一般將這種經(jīng)過離散化的小波及其變換叫做二進(jìn)小波和二進(jìn)變換。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對時間的。這兒限制尺度因子總是正數(shù)。 （ 1）尺度與位移的離散化 對連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時通常對尺度因子和平移因子按冪級數(shù)進(jìn)行離散化，即?。檎?數(shù)，但一般都假定），得到離散小波函數(shù)為： （ ） 其對應(yīng)系數(shù)為： （ ） （ 2）二進(jìn)制小波變換 二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，則有。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。 離散小波變換為： （ ） 離散二進(jìn)小波變換為： （ ） 二維離散小波變 換： 我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： （ ） 設(shè)是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： （ ） （ ） （ ） 以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。 多分辨率分析與濾波器組 Mallat 在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法―― Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。多分辨率分析具有如下性質(zhì)[16]： 1 單調(diào)性 ，； （ ） 2 逼近性 ，； （ ） 3 伸縮性 ； （ ） 4 平移不變性 ； （ ） 5 Riesz 基 存在函數(shù)，使得構(gòu)成的 Riesz 基，即對任一，存在唯一的，使在均方收斂意義下成立 （ ） 且存在，使 （ ） 由以上可以看出，所有的閉子空間都是由同一尺度的函數(shù)伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱為多分辨率分析的尺度函數(shù)。尺度函數(shù)的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數(shù)的傅里葉變換具有高通濾波特性。這樣利用尺度函數(shù)和小波函 數(shù)構(gòu)造信號的低通濾波器和高通濾波器。則可以對信號進(jìn)行不同尺度下的分解。 多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖 所示）。 圖 嵌套的多分辨率子空間 假設(shè)原信號的頻率空間為，經(jīng)第一級分解后被分解成兩個子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級分解后被分解成低頻的和高頻的。這種子空間的分解過程可以記為： （ ） 其中符號表示兩個子空間的“正交和”；代表與分辨率對應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間是的正交補空間；各是反映空間信號細(xì)節(jié) 的高頻子空間，是反映空間信號概貌的低頻子空間。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： （ ） 這一結(jié)果表明：分辨率為 20 1 的多分辨率分析子空間可以用有限個子空間來逼近。 多分辨率分析的頻帶逐級剖分還可以直觀地表示為圖 。圖中假設(shè)原信號的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級分解后各子空間所占頻帶的變化情況： 、、。 圖 多分辨率頻帶的逐級剖分 基于上述考慮，我們可以用一對 FIR 濾波器去實現(xiàn)上述的多分辨率分解。設(shè)和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對原 始信號 x n （其正半軸歸一頻帶在 之間）的多分辨分解可表示為如圖 所示的樹形分解。信號經(jīng)H0 和 H1，濾波后兩支路輸出必定正交（因為頻帶不交疊），同時由于兩支路輸出的帶寬均減半，因此采樣率可以減半而不會引起信息的丟失。正是因為如此，圖中在濾波后才可以加入降 2 采樣，降 2 采樣的目的是為了尋求各級濾波器的一致性。圖 中各級的低通濾波器和高通濾波器是一樣的。這是因為前一級的輸出經(jīng)過了降采樣，而濾波器的設(shè)計是根據(jù)歸一頻率進(jìn)行的。例如，第一級 H0 的真實頻帶是（ Ts 為輸入的采樣間隔），其歸一頻率為（注：歸一頻率 真實頻率 *采樣間隔）。第二級 H0 的真實頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因為第二級輸入的采樣間隔是 2Ts，所以有。 圖 多分辨率分析的濾波器組分解樹 多分辨率分析中的這種樹形分解有其不可替代的優(yōu)點。如果直接采用若干個帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號 x n 分解到多個不同的頻帶、?，因各個濾波器均不相同，因此其設(shè)計和計算量都較大，而且，隨著分解級數(shù)的增加計算量將成比例增加。然而，采用這里的樹形分解時，各級濾波器是一樣的，其計算量小。樹形分解適應(yīng)由粗到精的多分辨率分析的過程。不過樹形分解也有其缺點，就 是當(dāng)樹形分解的級數(shù)較大時，輸出的延時較長。 上述信號經(jīng)過分解后也可得以重建，其重建過程是分解過程的逆過程：每一支路先進(jìn)行升采樣（即在輸入序列的每兩個相鄰樣本間補一個零，使數(shù)據(jù)長度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對相應(yīng)級上濾波后的兩支路進(jìn)行求和。在和為理想濾波器的情況下，重建濾波器仍可采用和在這樣的逐級重建的過程中就實現(xiàn)了對信號由粗到精的重建。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關(guān)系。 圖像的 小波變換及其 Mallat 算法 圖像是二維信號，二維多分辨率分析與一維類似，但空間變成，一 維中引入的尺度函數(shù)變?yōu)椤? 設(shè)是的一個多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構(gòu)成的一個多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為 式中：是尺度函數(shù) 一維 。 式 說明了二維尺度函數(shù)的可分離性。對于每一個 ,函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標(biāo) j， n， m 的含義是： （ ） 我們將稱為的可分離多分辨率分析。因、都是低通的尺度函數(shù)，所以平滑的低通空間。 如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個小波函數(shù)為： （ ） 對于每一個，它們的整數(shù)平移系為： （ ） 注意這里的上標(biāo)只是索引而不是指數(shù)。它們構(gòu)成了 的規(guī)范正交基。因此以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的 或 ，所以它們都是帶通的。也就是說這三部分反應(yīng)的都是 細(xì)節(jié)信息。 具體來說，函數(shù)系 ， 是 的正交歸一基，其中均為整數(shù)， 1,2,3 分別對應(yīng)于水平、垂直和對角三個方向。 對于任一二維圖像信號，在分辨率下有： （ ） 上式表明，在分辨率上將圖像分解成、 和四個子圖，其中代表原圖像在分辨率上的近似（即圖像的低頻部分，不妨用 LL 來表示），則代表這種近似的誤差（即圖像的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分）；對應(yīng)于垂直方向的高頻成分，即水平的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用 LH 表示）；對應(yīng)于水平方向的高頻成分，即垂直的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用 HL 表示） ；則對應(yīng)于對角方向的高頻成分（不妨用 HH表示）。圖 形象地表示了二維圖像的多分辨率小波分解。圖中符號的上標(biāo)表示圖像的小波分解層數(shù)，圖中示意了圖像的 2 級小波分解?？梢钥吹?，在每一分解層上，圖像均被分解為 LL, LH, HL 和 HH 的四個頻帶；下一層的分解僅對低頻分量 LL 進(jìn)行分解。 圖 二維圖像的小波分解 按照 Mallat 的快速算法，圖像的小波分解算法如圖 所示： 圖 圖像的小波分解算法 圖 示意了圖像的一步小波分解過程，可以看到：二維圖像的小波分解可以對圖像依次按行、按列與一維的低通 H 和高通 G 濾波