【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Fourier(法國(guó)數(shù)學(xué)家 )于 1822 年提出了 Fourier 理論。 Fourier 分析方法的應(yīng)用使科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域發(fā)生了極大的變化，目前在信號(hào)處理方面 Fourier 變換是不可缺少的分析工具。但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位是完全準(zhǔn)確的 (即頻域分辨率最高 )，而在時(shí)域無任何定位 (或分辨能力 )，即傅里葉變換所反映的是 整個(gè)信號(hào)全部時(shí)間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻域信息，只適用于平穩(wěn)信號(hào)的分析。 相反，當(dāng)一個(gè)函數(shù)用 δ函數(shù) 1 ()() 20 ( )txtttttt236。 163。239。239。= 237。239。 239。238。 展開的時(shí)候，它在時(shí)間域的定位是完全準(zhǔn)確的，而在頻域卻無任何定位性 (或分辨能力 )即 δ函數(shù)分析所反映的是信號(hào)在全部頻率上的整體時(shí)域特性，而不能提供任何頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。 實(shí)際中，一些常見的非平穩(wěn)信號(hào)的頻域特性都隨時(shí)間而變換，因此也可稱為時(shí)變信號(hào)，對(duì)時(shí)變信號(hào)的分析通常需要 提取某一時(shí)間段的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。因此，信號(hào)處理人士長(zhǎng)期以來努力尋求一種介于傅里葉分析和 δ分析之間的，并具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時(shí)變信號(hào)。 為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍的特性， 1946 年 Gabor提出了著名的Gabor 變換，之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅里葉變換 (STFT)。目前， STFT 變換已在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但由于 STFT 的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持固定不變，這對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)來說是不利的。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間短，而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí) 間長(zhǎng)，因此，我們( ) ( ) e x p ( )F j f t j t d tww+??=242。第 1章 緒論 5 期望對(duì)于高頻信號(hào)采用小時(shí)間窗、對(duì)低頻信號(hào)則采用大時(shí)間窗分析，在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，這種變時(shí)間窗的要求同 STFT 的固定時(shí)窗的特性是相矛盾的。這些不足之處恰恰是小波變換的特長(zhǎng)之所在，小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT 的局部化的思想，而且克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交基的特點(diǎn)，是一種理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。 但是，需要指出小波理論的思想來源于 Fourier 分析，它不能代替傅立葉分析，它是傅立葉分析的新發(fā)展。 Fourier 分析和小波分析分別適用于不同的應(yīng)用場(chǎng)合，在實(shí)際應(yīng)用中，將兩者 結(jié)合起來才能取得理想的效果。 腦電信號(hào)去噪 腦電 (EEG)中蘊(yùn)涵著豐富的生理、心理及病理信息，腦電信號(hào)的分析及處理無論是在臨床上對(duì)一些腦疾病的診斷和治療 ,還是在腦認(rèn)知科學(xué)研究領(lǐng)域都是十分重要的。 由于腦電信號(hào)存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干擾 ,特別是工頻干擾。 因此如何消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲以更好地獲取反映大腦活動(dòng)和狀態(tài)的有用信息是進(jìn)行腦電分析的一個(gè)重要前提。 幾十年來，人們已積累了大量腦電信息處理與提取方面的經(jīng)驗(yàn)，提出了一系列電腦信息處理理論和方法，但很少有突破性進(jìn)展。 近年來，隨著電子技術(shù)的迅猛 發(fā)展，信息獲取的手段、精度、速度都有了很大的提高。特別是在非平穩(wěn)信號(hào)分析理論上的一系列重大進(jìn)展為非平穩(wěn)信號(hào)提供了新的處理與分析手段。小波分析理論則是這一系列重大進(jìn)展中的一個(gè) 。小波變換對(duì)于信號(hào)的高頻成分使用逐漸尖銳的時(shí)間分辨率以便移近觀察信號(hào)的快變成分，對(duì)于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以便移遠(yuǎn)觀察信號(hào)的慢變成分 (整體變化趨勢(shì) )。小波這種 “既見樹木又見森林 ”的信號(hào)分析表示特征對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的。利用小波變換的多分辨率特性，將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，得到不同頻帶的子帶信號(hào)。然后對(duì)含有 工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理，以達(dá)到去除工頻干擾及其它噪聲的目的。 隨著小波變換的不斷發(fā)展 ,國(guó)內(nèi)外許多研究者將小波分析用于生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的提取及去噪處理。 小波變換是一種把時(shí)間和頻率兩域結(jié)合起來的時(shí)燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 頻分析方法 ,在時(shí)頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 小波變換具有以下幾個(gè)特點(diǎn) : 1) 多分辨率 (多尺度 ) ； 2) 品質(zhì)因素 ,即相對(duì)帶寬 (中心頻率與帶寬之比 )恒定； 3) 選擇適當(dāng)?shù)幕拘〔?,可使小波在時(shí)、頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 利用小波變換的多分辨率特性 ,將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解 ,得到不同頻 帶的子帶信號(hào)。 然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理 ,以達(dá)到去除工頻干擾的目的。 第 2章 小波變換 時(shí)頻分析方法 信號(hào)分析的主要目的就是尋求一種簡(jiǎn)單而有效的方法來描述信號(hào)，以便讓信號(hào)所包含的主要信息顯示出來。經(jīng)典的表示方法是采用三角函數(shù)系和Haar 系， Haar 系中函數(shù)的時(shí)域是完全局部化的，可它在頻域局部性極差，三角函數(shù)系在頻域里完全局部化，但無任何時(shí)間 (空間 )局部性，上述兩種方法說明不可能同時(shí)獲得時(shí)域和頻域局部化最佳。如果頻率分辨率提高，時(shí)域分辨率將下降，反之亦然；任何能量有限信號(hào)可由其 Fourier 變換來表示，并且有其明確的物理意義，因而決定了 Fourier 分析成為信號(hào)分析的主要工具。然而， Fourier 變換反映的是信號(hào)整個(gè)時(shí)域?qū)︻l率的貢獻(xiàn)，如果一個(gè)信號(hào)在某一刻的一個(gè)小的鄰域中發(fā)生了變化，信號(hào)的整個(gè)頻率就會(huì)受到影響，本質(zhì)上說是由于 Fourier 變換中的積分和平滑了信號(hào)的突變部分，無法確定信號(hào)發(fā)生變化的時(shí)間位置和變化的劇烈程度，即不能刻畫信號(hào)的局部奇異性。在實(shí)際問題處理中，卻常常需要刻畫局部時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻譜信息，也就是我們常說的局部化時(shí)－頻分析。經(jīng)過人們的共同探索，在時(shí)頻分析方法上取得 顯著的成效，其主要方法有：短時(shí) Fourier 變換、 W－ V 分布和小波分析。 短時(shí)傅立葉變換 (STFT) 短時(shí)傅立葉變換亦稱加窗傅立葉變換， 它起初是在一九四六年 第 1章 緒論 7 為了對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)頻局部化分析而提出來的，其基本思想是：用一個(gè)有限區(qū)間外恒等于零的光滑函數(shù) (稱之為窗函數(shù) )去截取所要研究的信號(hào)，然后對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換，從而可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻局部化分析。它的這一思想本質(zhì)上是將所研究的信號(hào)分解成一系列短時(shí)信號(hào)的疊加，每一短時(shí)信號(hào)是通過窗函數(shù)的不同位置作用所研究信號(hào)而得到，且通過窗函數(shù)的選取，每 一短時(shí)信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)信號(hào)，可用傅立葉變換進(jìn)行分析，從而實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的時(shí)頻局部化分析。 對(duì)信號(hào) ( ) ( )2f t L R206。 ，其加窗傅立葉變換定義為： ( ) ( ) ( ) ( )?, jF f f t g t e d twtw t w t t+? ?= = 242。 其中 g(t)為窗函數(shù)， ω 為瞬時(shí)角頻率。 直觀上講，如果要求信號(hào) f (t)在時(shí)域和頻域上都是局部的，那么 f (t)與它的傅立葉變換 F(ω )應(yīng)該都具有緊支集，然而我們根據(jù)解析函數(shù)理論可知，不存在這樣的能量有限信號(hào)，因而僅能在概率分布定義上去劃刻信號(hào)的時(shí)頻局部性，為此人們引入時(shí)－相 平面來分析信號(hào)的時(shí)頻局部性。 式 (31)表明，隨著參數(shù) (ω,τ )的變化，加窗傅立葉變換 F(ω,τ )實(shí)現(xiàn)了信號(hào) f (t)的時(shí)間頻率局部化，但其頻率與所選擇的窗口有關(guān)，而窗的分辨率可用窗的面積大小來衡量，面積越小，窗的時(shí) 頻局部化能力越強(qiáng)，然而受Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理影響，窗口不可能任意的小，因而限制了加窗傅立葉變換的應(yīng)用。 測(cè)不準(zhǔn)原理：如果 ( ) ( )2g t L R206。 ， ( ) ( )2?G L Rw 206。 且為一個(gè)窗函數(shù)，則? 1/ 2gGDD ? ，且等號(hào)成立的充分必要條件是： ( ) ( ) ( )( )1 / 2 21 / 2 e x p / 2j a tg t c e a t b ap = 式中 0, 0ca? ，且 ,ab R206。 。 測(cè)不準(zhǔn)原理認(rèn)為時(shí)間 頻率局部化是一對(duì)基本矛盾，如果時(shí)域分辨率提高，頻域分辨率就會(huì)下降，反之亦然，時(shí)域局部化的最佳窗為高斯窗。 加窗傅立葉變換從純時(shí)域分析和純頻域分析向時(shí)－頻局部化分析大大邁進(jìn)了一步，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)－頻局部化分析，然而加窗傅立葉變換存在其固燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 有的缺點(diǎn)，其一，在加窗傅 立葉變換中，窗函數(shù)一旦取定，窗口的大小就隨之而確定下來，而與窗口的位置無關(guān)，因此，加窗傅立葉變換不適于分析同時(shí)包括低頻和高頻信息的信號(hào)；其二，在具體實(shí)際處理中，常采用離散加窗傅立葉變換，離散加窗傅立葉變換的局部化特性在整個(gè)時(shí)－相平面上是均勻分布的，為此在對(duì)頻域?qū)挘l率變化劇烈的信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，要正確獲得信號(hào)的高頻信息，時(shí)間局部化參數(shù)要取得很小，即窗口選的很小，要取得相當(dāng)多的樣本點(diǎn)，這樣將大大加大計(jì)算的耗時(shí)，并且窗口太小時(shí)，會(huì)降低低頻信號(hào)的分辨率，不適于低頻信號(hào)的分析；其三，無論采用什么樣的方案對(duì)加窗傅立葉變 換進(jìn)行離散化，均得不到一組離散正交基，因而不能用快速算法給予實(shí)現(xiàn)。鑒于上述理由，加窗傅立葉變換未能得到廣泛的應(yīng)用，只適合分析所有特征大致相同的信號(hào)，對(duì)奇異信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)不是很有效，因而需求一種新的時(shí)頻分析工具來適于信號(hào)時(shí)－頻分析的要求。 WignerVille 分布 WignerVille 分布 (簡(jiǎn)稱 WV)是一種二次型非線性子時(shí) 頻分析方法對(duì)連續(xù)時(shí)間數(shù)值函數(shù) ( ) ( )2x t L R206。 ，其 WV 變換定義為： ( ) *11, 22 jW t x t x t e d twtw t t+? ? 驏驏琪琪= + 桫桫242。 如果記 ( ) ( ) ( )*, / 2 / 2x t x t x tg t t t= + ，則 W(t,ω )是 ( ),x tgt 對(duì) t 的傅立葉變換，從而有： ( ) ( ), jxW t t e dwtw g t w+? ?=242。 并且有： ( ) ( ) 2,W t d t d x t d tww+ ? ? ? ? ? ?=蝌 ? (34) WV 變換是信號(hào)在時(shí) 頻二維空間上的分布， ( ),Wtw 可解釋為信號(hào)在時(shí)頻相平面的 “能量密度 ”，但 WV 變換未必 總為正的，為此在解釋 WV變換的含義過程中遇到了困難。 WV 變換有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在時(shí)頻分析中起了很大的積極作用，然而它是在全實(shí)軸上定義的，不便于實(shí)時(shí)分析處理，實(shí)際問題僅能對(duì)短數(shù)據(jù)進(jìn)第 1章 緒論 9 行分析處理，為此人們引入了偽 WV 變換，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)加一個(gè)隨時(shí)間移動(dòng)的窗函數(shù)。 WV 變換的優(yōu)良性質(zhì)在許多領(lǐng)域都有人研究，如雷達(dá)、聲納、地震和圖像處理等方面，但還不很成熟，原因在于 WV 變換存在一些難以克服的問題，如交叉問題，目前解決交叉項(xiàng)人們提出了許多方法，例如：時(shí)頻兩軸卷積法，采用原始信號(hào)的解析信號(hào)進(jìn)行分析等。但未能 找到一種比較好的解決交叉項(xiàng)的方法。雖然 WV 變換提供了信號(hào)能量在時(shí)間 頻率相平面上的分布，但給出的信息不完整。并且 WV 變換與加窗傅立葉變換一樣，在時(shí)間－頻率相平面上的頻率分辨率是相同的，不隨信號(hào)頻率的變化而改變，因而在處理非平穩(wěn)信號(hào)和突變信號(hào)時(shí)造成困難，人們尋求一種新的時(shí)頻分析工具，以滿足信號(hào)時(shí)頻分析的要求，小波變換正是在這種環(huán)境下產(chǎn)生的一種新的時(shí)頻分析方法。 小波變換的思想 小波變換繼承和發(fā)展了 Gabor 的加窗傅立葉變化的局部化思想，并克服了加窗傅立葉變換窗口大小不能隨頻率變化的不足， 其基本思想來源于可變窗口的伸縮和平移。 小波變換利用一個(gè)具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù) (成為母子波 )，然后將其伸縮和平移得到了一個(gè)函數(shù)族 (稱之為小波基函數(shù) )，以便在一定的條件下，任一能量有限信號(hào)可按其函數(shù)族進(jìn)行時(shí)－頻分解，基函數(shù)在時(shí) 頻相平面上具有可變的時(shí)間 頻率窗，以適應(yīng)不同分辨率的需求。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 圖 21 小波變換的時(shí)頻平面的劃分 在加窗傅立葉變換中，一旦窗函數(shù)選定，在時(shí)頻相平面中窗口的大小是固定不變的，不隨時(shí)頻位置 (t， f)而變化，所以加窗傅立葉變換的時(shí) 頻分辨率是固定不變的，小波變換的時(shí)頻相平面如圖 21 所示，窗函數(shù)在時(shí)頻相平面中隨中心頻率變換而改變，在高頻處時(shí)窗變窄，在低頻處頻窗變窄，因而滿足對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí) 頻分析的要求。它非常適合于分析突變信號(hào)和不平穩(wěn)信號(hào)。況且小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)和帶通濾波器的特性，并且可用快速算法實(shí)現(xiàn)，因而常用于濾波、降噪、基頻提取等。但對(duì)平穩(wěn)信號(hào)來說，小波分析的結(jié)果不如傅立葉變換直觀，而且母小波的不唯一性給實(shí)際應(yīng)用帶來了困難。 小波分析屬于時(shí)頻分析的一種。傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)之上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，只提供信號(hào)的頻域信息，而不提供信 號(hào)的任何時(shí)域信息，因此無法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。 第 1章 緒論