【文章內(nèi)容簡介】 論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論。 1965 年， Calderon 給出了再生公式。 1974 年， Calfmann 對 Hardy 空間 pH 給出了原子分解。 1975 年， Calderon用他早先提出的再生公式給出了 1H 的原子分解，其形式已接近小波展開。 1981 年，Stromberg 對 Haar 系進行了改造，為小波分析奠定了基礎(chǔ)。 1984 年， Morlet 在分析 地震波的局部性時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier 變換不具有時 頻局部性，很難達(dá)到實際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號分解中。隨后， Grossman對 Morlet 的方法進行了研究。 1985 年， Meyer 創(chuàng)造性地構(gòu)造出了規(guī)范正交基，后被稱為 Meyer 基。 1986 年 Meyer 和 Lemarie 提出了多尺度分析的思想。后來信號分析專家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法 —— Mallat 算法。 Mallat 算法的提出標(biāo)志著小波理論獲得突 破性進展，從此，小波分析從理論研究走向了應(yīng)用研究。通過小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號分解成不同頻率的塊信號，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語音識別、計算機視覺、 CT 成像、機械故障診斷等問題。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應(yīng)用。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 (Wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)??t? 為一 平方可積函數(shù)，即 ? ? ? ?RLt 2?? ，若其傅立葉變換 ? ?w?? 滿足： ? ? ?? ? ?dwC R ww 2?? （ ） 時，則稱 ??t? 為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點 。另一方面，根據(jù)可容許 性條件可知 ? ? 00 ??ww?，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動性。 將小波母函數(shù) ??t? 進行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子 (亦稱尺度因子 )為 a ，平移因子為 b ，并記平移伸縮后的函數(shù)為 ??tba,? ，則 : ? ? ? ? 0。,21, ??? ?? aRbaat atba ??? （ ） 并稱 ??tba,? 為參數(shù) a 和 b 小波基函數(shù)。由于 a 和 b 均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù) ??t? 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。 定義小波母函數(shù) ??t? 的窗口寬度為 t? ，窗口中心為 0t ，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù) ??tba,? 的窗口中心及窗口寬度分別為： tatbatt aba ????? ?,0, , （ ） 設(shè) ? ?w?? 是 ??t? 的傅立葉變換，頻域窗口中心為 0w ，窗口寬度為 w? ， ??t? 的傅立葉變換為 ? ?wba,? ，則有 : ? ? ? ?aweaw jw bba ?? ??, （ ） 所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為： w abaaba ???? 1,01, , （ ） 由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子 a 的函數(shù)，均隨著a 的變化而伸縮，并且還有 wtwt baba ??????? , （ ） 即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是 Heisenberg 測不準(zhǔn)原理。將不同 a 、 b 值下的時頻窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖 所示）。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將 ??RL2 空間的任 意函數(shù) ??tf 在小波基下進行展開，稱其為函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： ? ? ? ? ? ?dttffbaWT a btRabaf ?????? ? ?? 1, （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時，其逆變換為： ? ? ? ? ? ??? ???? ????? ?? dbbaWTtf a btfadaC ?? ,21 （ ） 其中 ? ? ?? ? ?dwCR ww 2??為 ??t? 的容許性條件。 另外，在小 波變換過程中必須保持能量成比例，即 : ? ? ? ???? ? RR fR ada dxxfCdbbaWT 22,2 ? （ ） 由 CWT 的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中? ?baWTf , 為小波變換系數(shù)?？梢娦〔ㄗ儞Q對函數(shù) ??tf 在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子 a 和平移因子 b 來得到的。根據(jù) a 、 b 的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現(xiàn)對信號 ??tf 的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： ① 線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。 ② 平移不變性：若 ??tf 的小波變換為 ? ?baWTf , ，則 ? ???tf 的小波變換為? ???baTWf , 。 ③ 伸縮共變性：若 ??tf 的小波變化為 ? ??,aWTf ，則 ? ?ctf 的小波變換為 ? ? 0,1 ?cccaWT fc ? 。 ④ 自相似性：對應(yīng)于不同尺度因子 a 和不同平移因子 b 的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔 redundancy〕，小波 變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面： 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號 ??tf 的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應(yīng)的。 2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù) ??tba,? 并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的 )。 小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊 支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。 一個一維函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比 ??tf 多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。對于變量超過一個的函數(shù)來說，這個變換的維數(shù)也將增加。 若 ??tf 是一個二維函數(shù)， 則它的連續(xù)小波變換是： ? ? ? ? ? ?dx dyttfbbaWT abyabxayxf yx ?????? ????? ?? , 211 ? （ ） 其中， xb ， yb 表示在兩個維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： ? ? ? ? ? ?yxabyabxyxfadaC dbdbbbaWTyxf yx? ?? ???? ????????? , 01 3 ?? （ ） 同樣的方法可以推廣到兩個或兩個以上的變量函數(shù)上。 離散小波變換 [15] 計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而 最基本的離散化方法就是二進制離散，一般將這種經(jīng)過離散化的小波及其變 換叫做二進小波和二進變換。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子a 和連續(xù)平移因子 b 的，而不是針對時間 t 的。這兒限制尺度因子 a 總是正數(shù)。 （ 1）尺度與位移的離散化 對連續(xù)小波基函數(shù) ??tba,? 尺度因子 a 和平移因子 b 進行離散化可以得到離散小波變換 ? ?baWTf , ，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時通常對尺度因子 a和平移因子 b 按冪級數(shù)進行離散化，即取 mm bbaa 00 , ?? （ m 為整數(shù)， ,10?a 但一般都假定 10?a ），得到離散小波函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?0011, 00 000 nbtat maa bnatanm mm ??? ?? ??? （ ） 其對應(yīng)系數(shù)為： ? ? ? ? ? ?dtttftfC nmnmnm , , ?? ????????? （ ） （ 2）二進制小波變換 二進小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù) 20?a ， 10?b ，則有 ? ?ntmnm m ?? ?? 22 2, ?? 。該二進尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進行了研究證明。 離散小波變換為： ? ? ? ? ? ?dtttfnmnmWTnmf ? ???????? , ? （ ） 離散二進小波變換為： ? ? ? ? ? ?dtttfnmnmWT nmf ? ???????? , ? （ ） 二維離散小波變換： 我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： ? ? ? ? ? ?2121, xxxx ??? ?? （ ） 設(shè) ? ?ix? 是與 ? ?ix? 對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： ? ? ? ? ? ?21211 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21212 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21213 , xxxx ??? ? （ ） 以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。 多分辨率分 析與濾波器組 Mallat 在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法—— Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。多分辨率分析具有如下性質(zhì) [16]： (1) 單調(diào)性 jj VV ??1 ， Zj? ； （ ） (2) 逼近性 ? ?0?? ? jZj V ， )(2 RLV jZj ?? ? ； （ ） (3) 伸縮性 ZjVxfVxf jj ???? ? ,)2()( 1； （ ） (4) 平移不變性 ZnVnxfVxf ????? ,)()( 00 ； （ ） (5) Riesz 基 存在函數(shù) )(x? )(2 RL? ，使得 ? ?Znnx ?? ),(? 構(gòu)成 0V 的 Riesz 基，即對任一0)( Vxf ? ，存在唯一的 ? ?Zn ?, ，使在均方收斂意義下成立 )()( nxcxf Zn n ?? ?? ? （ ） 且存在 0, ?BA ，使 dxxfBcdxxfA RZn nR 222 )()( ??? ?? ? （ ） 由以上可以看出，所有的閉子空間 ? ?ZjVj ?, 都是由同一尺度的函數(shù) ? ?0V??? 伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱 ??t? 為多分辨率分析的尺度函數(shù)。尺度函數(shù)??t? 的傅里葉變換 ??w?? 具有低通濾波的特性，小波函數(shù) ??x? 的傅里葉 變換 ??w?? 具有高通濾波特性。這樣利用尺度函數(shù) ??t? 和小波函數(shù) ??x? 構(gòu)造信號的低通濾波器和高通濾波器。則可以對信號進行不同尺度下的分解。 多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖 所示）。 圖 嵌套的多分辨率子空間 假設(shè)原信號的頻率空間為 0V ，經(jīng)第一級分解后 0V 被分解成兩個子空間：低頻的1V 和高頻的 1W ；經(jīng)第二級分解后 1V 被分解成低頻的 2V 和高頻的 2W 。這種子空間的分解過程可以記為： NNN WVVWVVWVVWVV ???????? ? 1332221110 , ? （ ） 其中符號 ? 表示兩個子 空間的“正交和”； fV 代表與分辨率 j?2 對應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間 jW 是jV 的正交補空