【文章內(nèi)容簡介】 1 2( , ) ( , )abf t t t t dt dt?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?1 2 1 21 2 , 1 2,1( , ) ( )ab t t b bf t t dt dtaa?? ? ? ?? ? ? ??? ?? （ ） 上式中 a0,其逆變換為 ： 31 2 1 2 , 1 2 1 21( , ) ( , , ) ( , )f a bf t t a w a b b t t d a d b d bC? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? （ ） , 1 2( , )abtt? 是一個二維基本小波 。 小波函數(shù)的選取不是任意的，通常 要求小波函數(shù)是歸一化的 且 具有單位能量的解析函數(shù) ,所以要滿足以下的條件： （ 1） 在定義域的一個很小的區(qū)域之外，函數(shù)值要求全部為零，即定義域要求是緊支撐的，函數(shù)具有速降的特性。 （ 2） 平均值要為零，即 ( ) 0t dt????? ??，而且 ()t? 的高階矩陣也要為零 。 小波變換具有如下三條性質(zhì)： （ 1）線性性質(zhì)：若 ,( ) ( ) , ( ) ( )a b a bW f f t W g g t? ? ? ?且 ( ) ( ) ( )z t f t g t???? ，則 , , ,( ) ( ) ( )a b a b a bW z W f W g???? （ ） （ 2）位移定理 ：若 , ( ) ( )abW f f t?? 且 0( ) ( )z t f t t??，則0,( ) ( )a b a b tW z aW f?? （ ） （ 3）頻域表示：若 ( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]f F f t F t? ? ? ??? 則12, 1( ) ( ) ( )2 jbabW f a f a e d?? ? ? ?? ????? ? （ ） 3 第二代小波分析的基本理論 第一代小波的的重要特點就是利用特殊函數(shù)的伸縮和平移而得到。而在復頻域，伸縮與平移運算就變成了代數(shù)運算，因此第一代小波變換的很多性質(zhì)是通過傅里葉變換來進行描述。然而，在某些情況下伸縮與平移運算并不能解決問題，相反，很有可能會帶來一些限制因素，此時就需要對信號進行延拓。 維姆（ Wim Sweldens）提出了一種具有更廣泛意義的小波，該種不僅小波保留了第一代小波的優(yōu)良性質(zhì)，而且 不必通過對一個 特殊 函數(shù) 2()LR進行平移和伸縮 ,因此獲得了具有更為廣泛意義的性質(zhì)。第二代小波變換又稱為提升小波變換。 提升 算法的基本方法 提升小波變換 （ 5） 的主要步驟可以分為三步：分裂、預測和提升。有正向提升過程和逆向提升過程倆種方法。 （ 1） 正向提升方法的過程 : ○ 1 分裂過程：將原始數(shù)據(jù)集合 a0分解為不相交的倆個集合 a1， c1。即： 0 1 1 1 1,a a c a c? ? ? ? ? （ ） 分解的方法有多種，比如將前一半的數(shù)據(jù)劃分為 a1，后一半的數(shù)據(jù)作為 c1； 也可以將 偶數(shù)點劃分到 a1，奇數(shù)點劃分到 c1。 ○ 2 預測過程：用 a1中的數(shù)據(jù)來預測 c1中的數(shù)據(jù)，預測算子記作 P，用預測值與真實值的 差 來替代原來的 c1，即： 1 1 1()c c P a?? （ ） 預測形成新的 c1。 ○ 3 提升過程：用 c1中的數(shù)據(jù)來提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? （ ） 與預測過程一樣用新的提升值來代替原來的提升值 a1。 其原理可如圖所示： 圖 提升格式示意圖 （ 2）逆向提升方法的基本過程： 逆向提升方法其實是一個還原過程，即由 a1和 c1來還原 a0。步驟為： ○ 1 提升過程：用 c1中的數(shù)據(jù)來提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? ○ 2 預測過程：用 a1中的數(shù)據(jù)來預測 c1中的數(shù)據(jù)，預測算子記作 P，即： 1 1 1()c c P a?? ○ 3 還原過程：將 a1中的數(shù)據(jù)和 c1中的數(shù)據(jù)合并為 a0，即 : 0 1 1a a c?? Lazy 提升 在原始數(shù)據(jù)集中 0 0,{ | }ka a k z??， 因為對于多數(shù)信號而言其局部數(shù)據(jù)是相關的，因此，相鄰的樣本點比較遠的樣本點更為相似，因此可以按照下標 k的奇、偶性進行索引抽樣。 第一部分 :分裂過程： 1 , 0, 2 1 , 0, 2 1,k k k ka a c a k Z?? ? ? 第二部分 :預測過程 ：假設奇樣本點的 值是 相鄰的倆個偶樣本點的平均值，即：1 , 1 , 1 , 1 , 11 ()2k k k kc c a a ?? ? ?。 此時構(gòu)建預測算子 P的模型是分段線性函數(shù)，其間隔為 2，假如原始信號與此模型相吻合，則 1c 的所有系數(shù)為 0，若果不符合，則 1c 是原始信號的高頻部分， 1c 中元素稱為小波系數(shù)。 第三部分：提升過程：假如用相鄰的小波系數(shù)提升，則1 , 1 , 1 , 1 , 1()k k k ka a A c c ?? ? ?。 計算 A可按照能量保持原則， 即： 1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 0 , 2 12 ( 1 2 ) 2k k k k kk k ka a A c A a A a ?? ? ? ? ?? ? ?，如果期望1, 0,12kkkkaa???， 則 A=14 。 這種按照下標 k的奇、偶性進行索引抽樣稱為 Lazy 抽樣， 1c 稱為 Lazy 小波。 提升算法的基本過程 第一代小波變換分解成提升小波變換可由如下三步組成： ○ 1 Lazy 小波 : (0)1,1 0,21SS? 。 (0)1,1 0,21 1ds?? 。 ○ 2 級連的提升與 對偶提升過程： ( ) 1 ( ) ( 1 )1,1 1,1 1,1i i i ikkkd d p s?????? ( ) ( 1 ) ( ) ( )1,1 1,1 1,1i i i ikkks s u d? ???? 上表 i 表示第 i 級提升， () (),iikkpu為提升計算使用的系數(shù)，假設級聯(lián)一共有 M級。 ○ 3 比例計算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1/,MMs s k d d k?? 反變換是 正向變換 按照 相反的次序分別進行的逆運算。具體過程為： ○ 1 比例計算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1,/MMs ks d d k??； ○ 2 級連的提升與對偶提升反變換過程： 1 ( ) ( ) ( 1 )1,1 1,1 1,1i i i ikkkd d p s?????? ( 1 ) ( ) ( ) ( )1,1 1,1 1,1i i i ikkks s u d? ????； ○ 3 反 Lazy 變換： ( 0 ) ( 0 )0 ,2 1 1,1 0 ,2 1 1 1,1,s s s d???； 通過上述的分析我們可知，提升變換與第一代小波變換相比有較為明顯的特點： 一 同址計算。 不需要輔助存儲器，原圖像可被小波變換的結(jié)果所覆蓋。 二 更快的小波變換 。 傳統(tǒng)的快速小波變換是把信號分解成高通部分與低通部分，并在這種情況下進行抽樣，然后對低通部分重復上述 過程 ，直 到所需級數(shù) 。 三 不需要借助傅里葉分析就可以獲得逆變換的結(jié)果。 只要稍微調(diào)整正變換中的正負號就可以實現(xiàn)。下面是 在 Daubechies 9/7 小波提升算法下的實驗結(jié)果。 （ 1）原圖