【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小波基函數(shù)的相平面（2）連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開(kāi)，稱(chēng)其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為： （）當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： （）其中為的容許性條件。另外，在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即: （）由CWT的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為小波變換系數(shù)。可見(jiàn)小波變換對(duì)函數(shù)在小波基上的展開(kāi)具有多分辨率的特性，這種特性正是通過(guò)縮放因子和平移因子來(lái)得到的。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時(shí)、頻寬度的信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：① 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。② 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。③ 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。④ 自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對(duì)應(yīng)的。2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說(shuō)，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。一個(gè)一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個(gè)，因此稱(chēng)連續(xù)小波變換是超完備的，因?yàn)樗蟮拇鎯?chǔ)量和它代表的信息量都顯著增加了。對(duì)于變量超過(guò)一個(gè)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。若是一個(gè)二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是： （）其中，表示在兩個(gè)維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： （）同樣的方法可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量函數(shù)上。 離散小波變換[15] 計(jì)算機(jī)中的圖像信息是以離散信號(hào)形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進(jìn)制離散，一般將這種經(jīng)過(guò)離散化的小波及其變換叫做二進(jìn)小波和二進(jìn)變換。需要注意的是這里的離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對(duì)時(shí)間的。這兒限制尺度因子總是正數(shù)。（1）尺度與位移的離散化對(duì)連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時(shí)通常對(duì)尺度因子和平移因子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即?。檎麛?shù)，但一般都假定），得到離散小波函數(shù)為： （）其對(duì)應(yīng)系數(shù)為： （）（2）二進(jìn)制小波變換二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，則有。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。離散小波變換為： （）離散二進(jìn)小波變換為： （）二維離散小波變換：我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： （）設(shè)是與對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： （） （） （）以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。 多分辨率分析與濾波器組Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨率分析（MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法——Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。多分辨率分析具有如下性質(zhì)[16]：(1) 單調(diào)性，； （）(2) 逼近性，； （）(3) 伸縮性； （）(4) 平移不變性； （）(5) Riesz基存在函數(shù)，使得構(gòu)成的Riesz基，即對(duì)任一，存在唯一的，使在均方收斂意義下成立 （）且存在，使 （）由以上可以看出，所有的閉子空間都是由同一尺度的函數(shù)伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱(chēng)為多分辨率分析的尺度函數(shù)。尺度函數(shù)的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數(shù)的傅里葉變換具有高通濾波特性。這樣利用尺度函數(shù)和小波函數(shù)構(gòu)造信號(hào)的低通濾波器和高通濾波器。則可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行不同尺度下的分解。多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（）。W1W2W3V3 嵌套的多分辨率子空間假設(shè)原信號(hào)的頻率空間為，經(jīng)第一級(jí)分解后被分解成兩個(gè)子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級(jí)分解后被分解成低頻的和高頻的。這種子空間的分解過(guò)程可以記為： （）其中符號(hào)表示兩個(gè)子空間的“正交和”；代表與分辨率對(duì)應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間是的正交補(bǔ)空間；各是反映空間信號(hào)細(xì)節(jié)的高頻子空間，是反映空間信號(hào)概貌的低頻子空間。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： （）這一結(jié)果表明：分辨率為20=1的多分辨率分析子空間可以用有限個(gè)子空間來(lái)逼近。圖中假設(shè)原信號(hào)的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級(jí)分解后各子空間所占頻帶的變化情況：、、。0 V3 W3 W2 W1V2V1V0 多分辨率頻帶的逐級(jí)剖分 基于上述考慮，我們可以用一對(duì)FIR濾波器去實(shí)現(xiàn)上述的多分辨率分解。設(shè)和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對(duì)原始信號(hào)x(n)（其正半軸歸一頻帶在 之間）。信號(hào)經(jīng)H0和H1，濾波后兩支路輸出必定正交（因?yàn)轭l帶不交疊），同時(shí)由于兩支路輸出的帶寬均減半，因此采樣率可以減半而不會(huì)引起信息的丟失。正是因?yàn)槿绱?，圖中在濾波后才可以加入降2采樣，降2采樣的目的是為了尋求各級(jí)濾波器的一致性。這是因?yàn)榍耙患?jí)的輸出經(jīng)過(guò)了降采樣，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率進(jìn)行的。例如，第一級(jí)H0的真實(shí)頻帶是（Ts為輸入的采樣間隔），其歸一頻率為（注：歸一頻率=真實(shí)頻率*采樣間隔）。第二級(jí)H0的真實(shí)頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因?yàn)榈诙?jí)輸入的采樣間隔是2Ts，所以有。H1H022H1H022H1H022x(n)V0V1V2V3 多分辨率分析的濾波器組分解樹(shù)多分辨率分析中的這種樹(shù)形分解有其不可替代的優(yōu)點(diǎn)。如果直接采用若干個(gè)帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號(hào)x(n)分解到多個(gè)不同的頻帶、…，因各個(gè)濾波器均不相同，因此其設(shè)計(jì)和計(jì)算量都較大，而且，隨著分解級(jí)數(shù)的增加計(jì)算量將成比例增加。然而，采用這里的樹(shù)形分解時(shí)，各級(jí)濾波器是一樣的，其計(jì)算量小。樹(shù)形分解適應(yīng)由粗到精的多分辨率分析的過(guò)程。不過(guò)樹(shù)形分解也有其缺點(diǎn)，就是當(dāng)樹(shù)形分解的級(jí)數(shù)較大時(shí)，輸出的延時(shí)較長(zhǎng)。 上述信號(hào)經(jīng)過(guò)分解后也可得以重建，其重建過(guò)程是分解過(guò)程的逆過(guò)程：每一支路先進(jìn)行升采樣（即在輸入序列的每?jī)蓚€(gè)相鄰樣本間補(bǔ)一個(gè)零，使數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長(zhǎng)度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對(duì)相應(yīng)級(jí)上濾波后的兩支路進(jìn)行求和。在和為理想濾波器的情況下，重建濾波器仍可采用和在這樣的逐級(jí)重建的過(guò)程中就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)由粗到精的重建。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時(shí)，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關(guān)系。 圖像的小波變換及其Mallat算法 圖像是二維信號(hào)，二維多分辨率分析與一維類(lèi)似，但空間變成，一維中引入的尺度函數(shù)變?yōu)?。設(shè)是的一個(gè)多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構(gòu)成的一個(gè)多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為 ()式中：是尺度函數(shù)(一維)。式()說(shuō)明了二維尺度函數(shù)的可分離性。對(duì)于每一個(gè),函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標(biāo)j，n，m的含義是： （）我們將稱(chēng)為的可分離多分辨率分析。因、都是低通的尺度函數(shù)，所以平滑的低通空間。如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個(gè)小波函數(shù)為： （）對(duì)于每一個(gè)，它們的整數(shù)平移系為： （）注意這里的上標(biāo)只是索引而不是指數(shù)。它們構(gòu)成了 的規(guī)范正交基。因此以上的三個(gè)正交基中都至少包含一個(gè)帶通的 或 ，所以它們都是帶通的。也就是說(shuō)這三部分反應(yīng)的都是細(xì)節(jié)信息。具體來(lái)說(shuō)，函數(shù)系 ， 是 的正交歸一基，其中均為整數(shù)，=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于水平、垂直和對(duì)角三個(gè)方向。 對(duì)于任一二維圖像信號(hào)，在分辨率下有： （）上式表明，在分辨率上將圖像分解成、 和四個(gè)子圖，其中代表原圖像在分辨率上的近似（即圖像的低頻部分，不妨用LL來(lái)表示），則代表這種近似的誤差（即圖像的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分）；對(duì)應(yīng)于垂直方向的高頻成分，即水平的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用LH表示）；對(duì)應(yīng)于水平方向的高頻成分，即垂直的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用HL表示）；則對(duì)應(yīng)于對(duì)角方向的高頻成分（不妨用HH表示）。圖中符號(hào)的上標(biāo)表示圖像的小波分解層數(shù)，圖中示意了圖像的2級(jí)小波分解?？梢钥吹剑诿恳环纸鈱由?，圖像均被分解為L(zhǎng)L, LH, HL和HH的四個(gè)頻帶；下一層的分解僅對(duì)低頻分量LL進(jìn)行分解。f (x , y)LL11LL2LH2HL2HH2LH1HL1HH1(a) 圖像的小波樹(shù)形分解LL2 HL2 LH2 HH2 HL1 LH1 HH1(b) 圖像小波分解的塔型結(jié)構(gòu) 二維圖像的小波分解按照Mallat的快速算法，：GHGHGHX與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器從兩列中取一列從兩行中取一行 圖像的小波分解算法，可以看到：二維圖像的小波分解可以對(duì)圖像依次按行、按列與一維的低通(H)和高通(G)濾波器作卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，在卷積之后進(jìn)行相應(yīng)的降2采樣。HGXGHHG與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器在相鄰兩列間插入一列零在相鄰兩行間插入一行零 圖像的小波重構(gòu)算法，小波分解圖像的重構(gòu)是先對(duì)列或行進(jìn)行升2采樣(在相鄰列或行間插入一零列或零行)，然后再按行、按列與一維的低通或高通濾波器進(jìn)行卷積，這樣遞推下去便可重構(gòu)原圖像。二維圖像的這種行、列可分離性簡(jiǎn)化了圖像的小波變換。 圖像的雙正交小波變換 在進(jìn)行圖像的小波分解時(shí)，可以采用一維的CQF（Conjugate Quadrature Filter：共軛正交濾波器）濾波器組、Daubechies小波濾波器組等。CQF濾波器具有很強(qiáng)的正交性，所以也叫正交濾波器。采用這些正交濾波器，可以方便地實(shí)現(xiàn)二維圖像的正交小波變換及其逆變換。我們知道，在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的FIR濾波器，那么對(duì)稱(chēng)和精確重建是不可能同時(shí)滿足的（Haar小波除外）。Daubechies也證明，如果、是多尺度分析的尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)，、是實(shí)的和緊支的，且有一個(gè)對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)軸，則一定是一個(gè)Haar小波。然而Haar小波過(guò)于簡(jiǎn)單，多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合其性能不佳。也就是說(shuō)，除了Haar小波外，緊支集正交小波不可能具有任何對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)與其對(duì)應(yīng)的FIR濾波器H和G不可能具有線性相位，這樣就會(huì)產(chǎn)生相位失真。盡管用正交濾波器實(shí)現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的引用，并在圖像處理（如圖像降噪、圖像邊緣檢測(cè)、圖像紋理分析、圖像壓縮編碼等）中取得了良好的效果；同時(shí)正交濾波器組也有許多優(yōu)點(diǎn)，例如分解的正交性、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單——分解和重構(gòu)濾波器相同等；但是由于用于正交小波變換的正交濾波器不具有線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會(huì)引起圖像中邊緣的失真。而圖像的邊緣是圖像的一個(gè)重要特征。為了彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，于是就出現(xiàn)了雙正交小波的理論。 在雙正交小波的情形下，采用兩個(gè)不同的小波基和，用來(lái)分解，用來(lái)重構(gòu)。和彼此對(duì)偶且相互正交（雙正交）。同時(shí)，也采用兩個(gè)尺度函數(shù)和，二者相互對(duì)偶且正交，一個(gè)用來(lái)分解，另一個(gè)用來(lái)重構(gòu)。與之對(duì)應(yīng)，雙正交小波分解和重構(gòu)的濾波器可以有四個(gè)：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構(gòu)低通濾波器和重構(gòu)高通濾波器。與正交小波變換不同的是，雙正交小波變換的重構(gòu)濾波器與分解濾波器不相同。雙正交小波對(duì)正交作出了“讓步”，以求得對(duì)稱(chēng)性和緊支性，并且使用FIR濾波器可以進(jìn)行精確重構(gòu)。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設(shè)計(jì)帶來(lái)更大的靈活性。關(guān)于雙正交小波濾波器的構(gòu)造設(shè)計(jì)方法、完全重構(gòu)條件