【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的局部性質(zhì)，于是引入了“小波”的概念對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。隨后，理論物理學(xué)家 Grossman 對(duì) 11 Morlet 給出的小波進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了小波按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮，平移系展開(kāi)的可行性，為小波分析的形成開(kāi)了先河。真正的小波熱開(kāi)始于 1986 年，Mallat 和 Meryer 提出了多分辨分析的理論框架，而且 Meyer 創(chuàng)造性地構(gòu)造了具有一定衰減性的光滑函數(shù) ψ ，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成 L2(R)的規(guī)范正交基，為小波基的構(gòu)造提出了有效的途徑，并打破了人們長(zhǎng)期以來(lái)所認(rèn)為的此類(lèi)函數(shù)不可能存在的設(shè)想，因此激起了科學(xué)家們研究小波的極大熱情。在 Meyer 提出了小波變換之后，Lemarie 和 Battle 又分別的給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。Mallat 于 1987 年巧妙地將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函數(shù)的構(gòu)造及信號(hào)按小波變換的分解及重構(gòu)，成功地統(tǒng)一了由 Meyer、Lemarie 和 Battle 提出的具體小波函數(shù)的構(gòu)造，研究了小波變換的離散化形式，并將相應(yīng)的算法——Mallat 算法有效應(yīng)用于信號(hào)的分解與重構(gòu)。與此同時(shí)，Daubechies 構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基，并把信號(hào)處理的概念與泛函分析理論聯(lián)系起來(lái)了，成為小波研究領(lǐng)域中的經(jīng)典文獻(xiàn)之一。這時(shí)，小波分析的系統(tǒng)理論就得到了初步的建立。Ameodo 及 Grasseau 等人于 1988 年將小波變換應(yīng)用于混沌動(dòng)力學(xué)以及分形理論來(lái)研究湍流及分形生長(zhǎng)現(xiàn)象。1990 年，崔錦泰和王建中構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)，并討論了具有局部化性質(zhì)的多尺度分析的生成函數(shù)及相應(yīng)的小波函數(shù)。同時(shí)，Beylkin、Coifman 等將小波變換應(yīng)用于算子理論。1991 年，Jaffard 及 Laurencot 將小波變換應(yīng)用于求解偏微分方程數(shù)值解的問(wèn)題中，而 Wickerhanser 等進(jìn)一步深化了 Mallat 算法，從而得到了小波包算法。1992 年，Donoho 給出了插值小波和小波變換等。 1993 年，Steffen M帶小波。1994 年，基于 r 元的多分辨分析由 Goodman 等人提出，并建立小波的基本理論框架，給出樣條多小波的例子。1996 年，Unser M.，Th233。renaz Aldroubi ，使小波理論更加完善。小波分析經(jīng)過(guò)許多學(xué)科領(lǐng)域十多年的共同探討研究，已經(jīng)建立了重要的數(shù)學(xué)形式。理論基礎(chǔ)的堅(jiān)實(shí)使得應(yīng)用更為廣泛和深入；相反，這些應(yīng)用研究也大大的推動(dòng)了小波理論的不斷豐富和完善。 小波圖像去噪技術(shù)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和研究熱點(diǎn)20 世紀(jì) 80 年代中后期發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)學(xué)工具——小波變換具有低嫡性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等特點(diǎn)，利用它對(duì)含噪圖像進(jìn)行處理可以保留信號(hào)的高頻信息，能夠有效地濾除噪聲，另外，利用它的良好的時(shí)頻局部化性質(zhì)不僅可以將圖像的結(jié)構(gòu)和紋理分別表現(xiàn)在不同分辨率層次上，而且具有檢測(cè)邊緣或是局域突變的能力，因此，利用小波變換在去除噪聲時(shí)，還可提取并保存對(duì)視覺(jué)起主要作用的邊緣信息，能夠得到對(duì)原圖像的最佳恢復(fù)，其中對(duì)高斯噪聲的去除效果更好?；谛〔ㄗ儞Q的圖像去噪技術(shù)己成為圖像去噪的一個(gè)重要方法，并具有實(shí)際的意義。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，小波變換應(yīng)用于圖像去噪的研究已相對(duì)成熟，而探索小波去噪的新理論和新方法也已經(jīng)成為一個(gè)非常活躍并富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。目前，小波圖像去噪方法的熱點(diǎn)主要有以下幾個(gè)方面：(1)長(zhǎng)期以來(lái)，基于小波閾值的圖像去噪方法始終都是小波圖像去噪領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。從小波去噪多年的發(fā)展中可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息，并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求和獲得的先驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)圖像小波系數(shù)進(jìn)行統(tǒng) 12 計(jì)建模來(lái)選擇合適的算法達(dá)到最優(yōu)的去噪效果。(2)不同的圖像去噪方法有各自不同的適用范圍，它們可以解決不同類(lèi)型的噪聲濾除問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，人們對(duì)同時(shí)含有幾類(lèi)噪聲的圖像往往是通過(guò)結(jié)合幾類(lèi)去噪方法來(lái)有效濾除混合噪聲的。其中，將小波變換與均值濾波、中值濾波的結(jié)合去噪，能充分利用各自的優(yōu)點(diǎn)，較好的改善濾波性能，既能去除圖像中的噪聲又能很好的保持邊緣信息。(3)閾值處理函數(shù)和收縮閾值的選取是小波閾值圖像去噪方法中兩個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題，也一直是個(gè)很重要的研究方向。人們對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法，同時(shí)，人們針對(duì)閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值函數(shù)，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。(4)在小波圖像去噪的研究中，小波基的最優(yōu)選取方法問(wèn)題是一個(gè)很重要的研究方向，近幾年來(lái)國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了一些較好的選取方法，在圖像去噪領(lǐng)域也得到了較好的去噪效果，可以針對(duì)不同的研究對(duì)象選取合適的小波基來(lái)實(shí)現(xiàn)較好的應(yīng)用效果，所以，如何選擇優(yōu)化小波基有待于進(jìn)一步的研究。(5)在利用小波變換進(jìn)行圖像去噪前對(duì)圖像數(shù)據(jù)的前期和后期處理都是不可忽略，除此之外，對(duì)去噪圖像效果的質(zhì)量評(píng)價(jià)問(wèn)題也是小波去噪領(lǐng)域中的一個(gè)很重要的研究方向。(6)描述圖像奇異性的問(wèn)題。在分析曲線奇異性時(shí)可分離的小波變換存在著一定的局限性，張量積小波一般只側(cè)重原始圖像在水平、垂直和對(duì)角方向的特征，對(duì)其它方向上的特征卻很難得到準(zhǔn)確描述，盡管不可分離的小波能有效地解決該問(wèn)題，但仍不能很好地描述曲線奇異性，所以有必要在高維中尋求更加有效的分析方法。(7)目前，人們?cè)谛〔ǚ治龅幕A(chǔ)上發(fā)展了各種各樣的新方法，如：基于非正交小波的去噪算法、基于多小波的去噪算法和基于小波包分解的去噪算法等，它們也都在圖像去噪領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。目前，小波圖像去噪方法取得的成功在拓展小波去噪方法的應(yīng)用領(lǐng)域的同時(shí)將大大拓展其它研究領(lǐng)域的發(fā)展，而且必將從更多的應(yīng)用領(lǐng)域中反饋出新的問(wèn)題，進(jìn)而會(huì)豐富小波去噪的內(nèi)容，并進(jìn)一步推動(dòng)小波去噪技術(shù)的發(fā)展。 小波變換理論 從傅里葉變換到小波變換所謂小波分析，它是在窗口傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新的時(shí)頻分析方法，與傅里葉分析相比，有著本質(zhì)的區(qū)別及進(jìn)步。傅里葉變換是一種頻域分析方法，適合處理平穩(wěn)信號(hào)的去噪問(wèn)題,一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中最完美、應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準(zhǔn)確的(即頻域分辨率最高)，而在時(shí)域無(wú)任何定位性(或分辨能力)，也即傅里葉變換所反映的是整個(gè)信號(hào)全部時(shí)間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻域信息。相反，當(dāng)一個(gè)函數(shù)用 函數(shù)展開(kāi)時(shí)，它在時(shí)間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，?而在頻域卻無(wú)任何定位性(或分辨能力)。也即其所反映的只是信號(hào)在全部頻率上的整體時(shí)域特征，而不能提供任何頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。對(duì)于一些常見(jiàn)時(shí)變信號(hào)的分析，通常需要提取某一時(shí)間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息，因此尋求一種介于傅里葉分析和 分析之間的具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的基函數(shù)來(lái) 13 分析時(shí)變信號(hào)一直是信號(hào)處理界及數(shù)學(xué)界人士長(zhǎng)期以來(lái)努力的目標(biāo)。為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)的頻域特征，1946 年 Gabor 提出了著名的 Gabor變換之后，又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)記為 STFT， 又稱(chēng)為加窗傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換是對(duì)傳統(tǒng)的傅里葉變換的拓展，它的基本思路是給信號(hào)加一個(gè)小窗，也就是乘上一個(gè)限制時(shí)間段的函數(shù) g ( t )，信號(hào)的傅里葉變換主要集中在對(duì)小窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行變換，而屏蔽了該小窗外的信號(hào)，因此可以反映出信號(hào)的局部特征。這在一定程度上解決了對(duì)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)分析的問(wèn)題。但由于 STFT 的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)，而保持固定不變，這對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)來(lái)說(shuō)是不利的。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間很短而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，因此我們希望對(duì)高頻信號(hào)采用小時(shí)窗分析，對(duì)低頻信號(hào)采用大時(shí)窗分析，這種變時(shí)窗的要求同 STFT 的固定時(shí)窗, STFT 的局部化思想而且克服了窗口大小不隨頻率變化缺乏離散正交基的缺點(diǎn)，是一種比較理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。1987 年 Mallat 將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，統(tǒng)一了在此之前的所有具體正交小波基的構(gòu)造并且提出相應(yīng)的分解與重建快速算法.此后小波變換作為信號(hào)處理的一種手段逐漸被越來(lái)越多領(lǐng)域所重視和應(yīng)用，并在許多應(yīng)用中取得了非常顯著地效果，證明了小波分析作為一種調(diào)和分析方法具有十分巨大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景。與傅里葉變換相比較主要有以下不同 [8]：（1）傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào) 分解到以 為正交基的空間上??tf??jwte去；而小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號(hào) 分解到由小波函數(shù)所構(gòu)成的空間上去。兩者的離散化形式都可以實(shí)現(xiàn)正交變換，都滿足時(shí)頻域的能量守恒定律。（2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有 ， 或 ，具有唯一性；??wtsin??tcos??itexp小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的實(shí)驗(yàn)，將不同的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析來(lái)選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時(shí)域中，傅里葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào) 的傅里葉變換 中看??tf??wF出 的在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。因此，小波變換在對(duì)瞬態(tài)信號(hào)分析中擁有更大的??tf優(yōu)勢(shì)。（4）在小波分析中，尺度 的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中 的值越小。a（5）在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù) 主要依賴(lài)于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，???,wGf一旦時(shí)間窗函數(shù)確定，則分辨率也就確定了。而在小波變換中，變換系數(shù) 雖??baWT,然也是依賴(lài)于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度 的變化而變化的，所以a小波變換具有時(shí)間局部分析的能力。因此，小波變換也可以看成是信號(hào)局部奇異性分 14 析的有效工具。（6）若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋?zhuān)〔ㄗ儞Q與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶w?通濾波器的帶寬 則正比于中心頻率 ，即:w? ( 為常數(shù) ) ()CQw?也就是濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱(chēng)之為等 Q 結(jié)構(gòu)（Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)， Q=中心頻率/帶寬） 。我們希望在對(duì)低頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用高分辨率，在對(duì)高頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用低分辨率，該等 Q 結(jié)構(gòu)恰好符合該要求。（7）從框架角度來(lái)說(shuō)傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實(shí)現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。 小波變換小波可以簡(jiǎn)單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為 0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為 0。小波 ψ(t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)， “小”是指它的衰減性， “波”是指它的波動(dòng)性。它的傅里葉變換呈現(xiàn)為帶通濾波器的頻率特性，即小波在時(shí)域和頻域上的分析都是局部化的。分析小波是將 ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移而得到的一族函數(shù) Ψ (a,b) (t)，它在時(shí)域和頻域上是局部化的。以 Ψ (a,b) (t),為核函數(shù)的積分變換就是積分小波變換或稱(chēng)連續(xù)小波變換。與窗口傅里葉變換不同的是，小波變換的時(shí)間頻率窗不是固定不變的，而是可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來(lái)自適應(yīng)調(diào)整的。它是小波變換和窗口傅里葉變換的根本區(qū)別。也正是由于小波變換的這種局部化特點(diǎn)，決定了小波分析在實(shí)際應(yīng)用中的獨(dú)特地位。（1）連續(xù)小波變換 [9，10]任意的函數(shù) f (t) ∈ L 2( R)的連續(xù)小波變換為： （）??????dtabttxdttxttxbaCWTf RbaRba ??????????????2\1,可見(jiàn)，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子 a 和伸縮因子 b 的函數(shù)。平移因子使得小波能夠沿信號(hào)的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過(guò)收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的逼近。如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的 （）????dtatbaCWTftx 2,01,1??????（2）離散小波變換 DWT[11]定義：對(duì)尺度參數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行均勻離散取值 （要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理） 。 15 （）???????dtnttxttxnmDWTx mRmnm?????22, ??小波變換的核心是多分辨率分析(MRA),在時(shí)域和頻域都能夠表征信號(hào)局部特征的能力,使其在信號(hào)處理,特別是二維信號(hào)一維圖像處理中表現(xiàn)出下列優(yōu)點(diǎn):①小波變換的完善重建能力,保證了信號(hào)在分解過(guò)程中沒(méi)有任何信息損失﹑不產(chǎn)生冗余信息,即小波變換作為一組表示信號(hào)分解的基函數(shù)是唯一的。②小波變換把圖像分解成平滑圖像和細(xì)節(jié)圖像之和,它們分別代表了圖像的不同結(jié)構(gòu),因此原始圖像的結(jié)構(gòu)信息和細(xì)節(jié)信息很容易提取。③小波變換具有快速算法一 Mallat 算法,它在小波變換中的作用相當(dāng)于 FFT 在Fourier 變換中的作用 ,這就更加促進(jìn)了小波變換的廣泛應(yīng)用。④二維小波分解,為圖像的分析提供了方向性選擇,這種方向性選擇非常適合于人眼的視覺(jué)系統(tǒng)特性。本文主要在了解小波變換的知識(shí)，在理解小波變換在圖像處理中的應(yīng)用,對(duì)以小波為工具在數(shù)字圖像處理方面進(jìn)行了有益的探索，主要研究小波閾值對(duì)圖像的去噪。 16 第 4 章 圖像去噪法分析 傳統(tǒng)去噪法分析由于噪聲源眾多(如光柵掃描、底片顆粒、機(jī)