【文章內容簡介】 的局部性質，于是引入了“小波”的概念對信號進行分解。隨后，理論物理學家 Grossman 對 11 Morlet 給出的小波進行了研究，并驗證了小波按一個確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性，為小波分析的形成開了先河。真正的小波熱開始于 1986 年，Mallat 和 Meryer 提出了多分辨分析的理論框架，而且 Meyer 創(chuàng)造性地構造了具有一定衰減性的光滑函數(shù) ψ ，其二進制伸縮與平移構成 L2(R)的規(guī)范正交基，為小波基的構造提出了有效的途徑，并打破了人們長期以來所認為的此類函數(shù)不可能存在的設想，因此激起了科學家們研究小波的極大熱情。在 Meyer 提出了小波變換之后，Lemarie 和 Battle 又分別的給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。Mallat 于 1987 年巧妙地將計算機視覺領域內的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函數(shù)的構造及信號按小波變換的分解及重構，成功地統(tǒng)一了由 Meyer、Lemarie 和 Battle 提出的具體小波函數(shù)的構造，研究了小波變換的離散化形式，并將相應的算法——Mallat 算法有效應用于信號的分解與重構。與此同時，Daubechies 構造了具有有限支集的正交小波基，并把信號處理的概念與泛函分析理論聯(lián)系起來了，成為小波研究領域中的經(jīng)典文獻之一。這時，小波分析的系統(tǒng)理論就得到了初步的建立。Ameodo 及 Grasseau 等人于 1988 年將小波變換應用于混沌動力學以及分形理論來研究湍流及分形生長現(xiàn)象。1990 年，崔錦泰和王建中構造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)，并討論了具有局部化性質的多尺度分析的生成函數(shù)及相應的小波函數(shù)。同時，Beylkin、Coifman 等將小波變換應用于算子理論。1991 年，Jaffard 及 Laurencot 將小波變換應用于求解偏微分方程數(shù)值解的問題中，而 Wickerhanser 等進一步深化了 Mallat 算法，從而得到了小波包算法。1992 年，Donoho 給出了插值小波和小波變換等。 1993 年，Steffen M帶小波。1994 年，基于 r 元的多分辨分析由 Goodman 等人提出，并建立小波的基本理論框架，給出樣條多小波的例子。1996 年，Unser M.，Th233。renaz Aldroubi ，使小波理論更加完善。小波分析經(jīng)過許多學科領域十多年的共同探討研究，已經(jīng)建立了重要的數(shù)學形式。理論基礎的堅實使得應用更為廣泛和深入；相反，這些應用研究也大大的推動了小波理論的不斷豐富和完善。 小波圖像去噪技術的國內外研究現(xiàn)狀和研究熱點20 世紀 80 年代中后期發(fā)展起來的新的數(shù)學工具——小波變換具有低嫡性、多分辨率、去相關性、選基靈活性等特點，利用它對含噪圖像進行處理可以保留信號的高頻信息，能夠有效地濾除噪聲，另外，利用它的良好的時頻局部化性質不僅可以將圖像的結構和紋理分別表現(xiàn)在不同分辨率層次上，而且具有檢測邊緣或是局域突變的能力，因此，利用小波變換在去除噪聲時，還可提取并保存對視覺起主要作用的邊緣信息，能夠得到對原圖像的最佳恢復，其中對高斯噪聲的去除效果更好?；谛〔ㄗ儞Q的圖像去噪技術己成為圖像去噪的一個重要方法，并具有實際的意義。經(jīng)過多年的發(fā)展，小波變換應用于圖像去噪的研究已相對成熟，而探索小波去噪的新理論和新方法也已經(jīng)成為一個非?；钴S并富有挑戰(zhàn)性的研究領域。目前，小波圖像去噪方法的熱點主要有以下幾個方面：(1)長期以來，基于小波閾值的圖像去噪方法始終都是小波圖像去噪領域的研究熱點。從小波去噪多年的發(fā)展中可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉為如何最大限度地獲得信號的先驗信息，并根據(jù)實際問題的要求和獲得的先驗數(shù)據(jù)對圖像小波系數(shù)進行統(tǒng) 12 計建模來選擇合適的算法達到最優(yōu)的去噪效果。(2)不同的圖像去噪方法有各自不同的適用范圍，它們可以解決不同類型的噪聲濾除問題。在實際應用中，人們對同時含有幾類噪聲的圖像往往是通過結合幾類去噪方法來有效濾除混合噪聲的。其中，將小波變換與均值濾波、中值濾波的結合去噪，能充分利用各自的優(yōu)點，較好的改善濾波性能，既能去除圖像中的噪聲又能很好的保持邊緣信息。(3)閾值處理函數(shù)和收縮閾值的選取是小波閾值圖像去噪方法中兩個很關鍵的問題，也一直是個很重要的研究方向。人們對閾值的選擇進行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法，同時，人們針對閾值函數(shù)的選取也進行了一些研究，并給出了不同的閾值函數(shù)，這些都豐富了小波去噪的內容。(4)在小波圖像去噪的研究中，小波基的最優(yōu)選取方法問題是一個很重要的研究方向，近幾年來國內外出現(xiàn)了一些較好的選取方法，在圖像去噪領域也得到了較好的去噪效果，可以針對不同的研究對象選取合適的小波基來實現(xiàn)較好的應用效果，所以，如何選擇優(yōu)化小波基有待于進一步的研究。(5)在利用小波變換進行圖像去噪前對圖像數(shù)據(jù)的前期和后期處理都是不可忽略，除此之外，對去噪圖像效果的質量評價問題也是小波去噪領域中的一個很重要的研究方向。(6)描述圖像奇異性的問題。在分析曲線奇異性時可分離的小波變換存在著一定的局限性，張量積小波一般只側重原始圖像在水平、垂直和對角方向的特征，對其它方向上的特征卻很難得到準確描述，盡管不可分離的小波能有效地解決該問題，但仍不能很好地描述曲線奇異性，所以有必要在高維中尋求更加有效的分析方法。(7)目前，人們在小波分析的基礎上發(fā)展了各種各樣的新方法，如：基于非正交小波的去噪算法、基于多小波的去噪算法和基于小波包分解的去噪算法等，它們也都在圖像去噪領域獲得了廣泛的應用。目前，小波圖像去噪方法取得的成功在拓展小波去噪方法的應用領域的同時將大大拓展其它研究領域的發(fā)展，而且必將從更多的應用領域中反饋出新的問題，進而會豐富小波去噪的內容，并進一步推動小波去噪技術的發(fā)展。 小波變換理論 從傅里葉變換到小波變換所謂小波分析，它是在窗口傅里葉變換的基礎上發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法，與傅里葉分析相比，有著本質的區(qū)別及進步。傅里葉變換是一種頻域分析方法，適合處理平穩(wěn)信號的去噪問題,一直是信號處理領域中最完美、應用最廣泛、效果最好的一種分析手段。但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準確的(即頻域分辨率最高)，而在時域無任何定位性(或分辨能力)，也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時間段上的頻域信息。相反，當一個函數(shù)用 函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準確的，?而在頻域卻無任何定位性(或分辨能力)。也即其所反映的只是信號在全部頻率上的整體時域特征，而不能提供任何頻率段所對應的時間信息。對于一些常見時變信號的分析，通常需要提取某一時間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對應的時間信息，因此尋求一種介于傅里葉分析和 分析之間的具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來 13 分析時變信號一直是信號處理界及數(shù)學界人士長期以來努力的目標。為了研究信號在局部時間范圍內的頻域特征，1946 年 Gabor 提出了著名的 Gabor變換之后，又進一步發(fā)展為短時傅里葉變換簡記為 STFT， 又稱為加窗傅里葉變換，短時傅里葉變換是對傳統(tǒng)的傅里葉變換的拓展，它的基本思路是給信號加一個小窗，也就是乘上一個限制時間段的函數(shù) g ( t )，信號的傅里葉變換主要集中在對小窗內的信號進行變換，而屏蔽了該小窗外的信號，因此可以反映出信號的局部特征。這在一定程度上解決了對信號非平穩(wěn)信號分析的問題。但由于 STFT 的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關，而保持固定不變，這對于分析時變信號來說是不利的。高頻信號一般持續(xù)時間很短而低頻信號持續(xù)時間較長，因此我們希望對高頻信號采用小時窗分析，對低頻信號采用大時窗分析，這種變時窗的要求同 STFT 的固定時窗, STFT 的局部化思想而且克服了窗口大小不隨頻率變化缺乏離散正交基的缺點，是一種比較理想的進行信號處理的數(shù)學工具。1987 年 Mallat 將計算機視覺領域內的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，統(tǒng)一了在此之前的所有具體正交小波基的構造并且提出相應的分解與重建快速算法.此后小波變換作為信號處理的一種手段逐漸被越來越多領域所重視和應用，并在許多應用中取得了非常顯著地效果，證明了小波分析作為一種調和分析方法具有十分巨大的生命力和廣闊的應用前景。與傅里葉變換相比較主要有以下不同 [8]：（1）傅里葉變換的實質是把能量有限信號 分解到以 為正交基的空間上??tf??jwte去；而小波變換的實質是把能量有限的信號 分解到由小波函數(shù)所構成的空間上去。兩者的離散化形式都可以實現(xiàn)正交變換，都滿足時頻域的能量守恒定律。（2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有 ， 或 ，具有唯一性；??wtsin??tcos??itexp小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析時有時結果相差甚遠。小波函數(shù)的選用是小波分析應用到實際中的一個難點問題也是小波分析研究的一個熱點問題，目前往往是通過經(jīng)驗或不斷的實驗，將不同的分析結果進行對照分析來選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅里葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時域中，傅里葉變換沒有局部化能力，即無法從信號 的傅里葉變換 中看??tf??wF出 的在任一時間點附近的性態(tài)。因此，小波變換在對瞬態(tài)信號分析中擁有更大的??tf優(yōu)勢。（4）在小波分析中，尺度 的值越大相當于傅里葉變換中 的值越小。a（5）在短時傅里葉變換中，變換系數(shù) 主要依賴于信號在時間窗內的情況，???,wGf一旦時間窗函數(shù)確定，則分辨率也就確定了。而在小波變換中，變換系數(shù) 雖??baWT,然也是依賴于信號在時間窗內的情況，但時間寬度是隨尺度 的變化而變化的，所以a小波變換具有時間局部分析的能力。因此，小波變換也可以看成是信號局部奇異性分 14 析的有效工具。（6）若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅里葉變換不同之處在于：對短時傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無關；相反，小波變換帶w?通濾波器的帶寬 則正比于中心頻率 ，即:w? ( 為常數(shù) ) ()CQw?也就是濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等 Q 結構（Q 為濾波器的品質因數(shù)， Q=中心頻率/帶寬） 。我們希望在對低頻信號分析時，頻域用高分辨率，在對高頻信號分析時，頻域用低分辨率，該等 Q 結構恰好符合該要求。（7）從框架角度來說傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。 小波變換小波可以簡單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時間范圍內變化，并且平均值為 0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質:A、具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅；B、在有限時間范圍內平均值為 0。小波 ψ(t)是一個時間函數(shù)， “小”是指它的衰減性， “波”是指它的波動性。它的傅里葉變換呈現(xiàn)為帶通濾波器的頻率特性，即小波在時域和頻域上的分析都是局部化的。分析小波是將 ψ(t)進行伸縮和平移而得到的一族函數(shù) Ψ (a,b) (t)，它在時域和頻域上是局部化的。以 Ψ (a,b) (t),為核函數(shù)的積分變換就是積分小波變換或稱連續(xù)小波變換。與窗口傅里葉變換不同的是，小波變換的時間頻率窗不是固定不變的，而是可以根據(jù)信號的特點來自適應調整的。它是小波變換和窗口傅里葉變換的根本區(qū)別。也正是由于小波變換的這種局部化特點，決定了小波分析在實際應用中的獨特地位。（1）連續(xù)小波變換 [9，10]任意的函數(shù) f (t) ∈ L 2( R)的連續(xù)小波變換為： （）??????dtabttxdttxttxbaCWTf RbaRba ??????????????2\1,可見，連續(xù)小波變換的結果可以表示為平移因子 a 和伸縮因子 b 的函數(shù)。平移因子使得小波能夠沿信號的時間軸實現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實現(xiàn)對不同頻率信號的逼近。如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的 （）????dtatbaCWTftx 2,01,1??????（2）離散小波變換 DWT[11]定義：對尺度參數(shù)按冪級數(shù)進行離散化處理，對時間進行均勻離散取值 （要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理） 。 15 （）???????dtnttxttxnmDWTx mRmnm?????22, ??小波變換的核心是多分辨率分析(MRA),在時域和頻域都能夠表征信號局部特征的能力,使其在信號處理,特別是二維信號一維圖像處理中表現(xiàn)出下列優(yōu)點:①小波變換的完善重建能力,保證了信號在分解過程中沒有任何信息損失﹑不產(chǎn)生冗余信息,即小波變換作為一組表示信號分解的基函數(shù)是唯一的。②小波變換把圖像分解成平滑圖像和細節(jié)圖像之和,它們分別代表了圖像的不同結構,因此原始圖像的結構信息和細節(jié)信息很容易提取。③小波變換具有快速算法一 Mallat 算法,它在小波變換中的作用相當于 FFT 在Fourier 變換中的作用 ,這就更加促進了小波變換的廣泛應用。④二維小波分解,為圖像的分析提供了方向性選擇,這種方向性選擇非常適合于人眼的視覺系統(tǒng)特性。本文主要在了解小波變換的知識，在理解小波變換在圖像處理中的應用,對以小波為工具在數(shù)字圖像處理方面進行了有益的探索，主要研究小波閾值對圖像的去噪。 16 第 4 章 圖像去噪法分析 傳統(tǒng)去噪法分析由于噪聲源眾多(如光柵掃描、底片顆粒、機