傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系與應(yīng)用本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-23 16:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為0，我們稱這一性質(zhì)為三角函數(shù)系(1)的正交性。也稱(6)為正三角函數(shù)系。從后面的推導(dǎo)我們也看到，三角函數(shù)系(6)的正交性在三角級(jí)數(shù)研究中扮演了重要的角色。另外，我們還有 (11) 設(shè)函數(shù)能夠表示成三角級(jí)數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級(jí)數(shù)在上一致收斂，則有如下關(guān)系式： , n=0,1,2,… (13a) , n=0,1,2,… (13b)證明：由定理?xiàng)l件，對(duì)（12）式逐項(xiàng)積分可得： = 由關(guān)系式知，上式右邊括號(hào)內(nèi)的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊（t為正整數(shù)），得 （14）由級(jí)數(shù)（12）一致收斂，可以推出級(jí)數(shù)（14）也一致收斂?，F(xiàn)在對(duì)級(jí)數(shù)（14）逐項(xiàng)求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項(xiàng)積分外，其他各項(xiàng)積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項(xiàng)求積，可得一般的說(shuō)，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計(jì)算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作 這里的“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。設(shè)是以2為周期的函數(shù)，通過(guò)變量置換，則在上也可積，這時(shí)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式是 (1)其中 n=0,1,2… (2) n=1,2…因?yàn)椋?。于是由?）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2… (4) , n=1,2…這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，（3）式是的傅里葉級(jí)數(shù). 收斂性定理 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則——狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有有限個(gè)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)； （3）在外是周期函數(shù)，其周期為2，則級(jí)數(shù) （1）證明===因?yàn)榧八?證畢例：試將鋸齒波在區(qū)間上展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級(jí)數(shù)公式可得： （=0,1,2,…）及 = （=1,2,3，…）因此，所求級(jí)數(shù)為 （2）由于=0是的連續(xù)點(diǎn)，所以上式兩邊可劃等號(hào)。事實(shí)上，也正是如此，可代入數(shù)字驗(yàn)證。而=是間斷點(diǎn)，由定義可知按收斂準(zhǔn)則，傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)處應(yīng)收斂到事實(shí)上，以=代入級(jí)數(shù)（2），得級(jí)數(shù)和為零。必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在實(shí)際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級(jí)數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。值得注意的是，單從的連續(xù)性考慮還不能保證傅里葉級(jí)數(shù)收斂。 積分定理2 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級(jí)數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得
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