【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 值。 例 3 判斷函 數(shù) 2 12 ( 2 s in ) , 0()2 , 0xxfx xx? ? ? ??? ????在 ）（ 0oU? 的單調(diào)性。 解：函數(shù) ()fx ,2)0(0 ?? fx 處取得極大值在 ）內(nèi)（但在 00U? 11( ) 2 ( 2 sin ) c o sf x x xx? ? ? ? ? 有正有負(fù)， 的左右兩側(cè)都不單調(diào)在從而 0)( ?xxf 。 定理 7（極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 的某領(lǐng)域 ）（ ?。0xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0( ) 0fx? ? ，0( ) 0fx?? ? 。 （ 1）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，則函數(shù) ()fx在 0x 處取得極大值； （ 2）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，則函數(shù) ()fx在 0x 處取得極小值。 證明：在情形（ 1），由于 0( ) 0fx?? ? ，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 0000( ) ( )( ) li m 0xxf x f xfx xx?????? ??? 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，存在 0x 的某個(gè)去心鄰域 ）（ ?。0xU ，在該鄰域內(nèi)有 00( ) ( ) 0f x f xxx??? ?? ； 則在 0xx? 時(shí)， 0)( ?? xf ，在 0xx? 時(shí)， 0)( ?? xf 。由極值的定義可知，函數(shù) ()fx在 0x 處取得極大值。 同理，可證明（ 2）當(dāng) 0( ) 0fx?? ? ，函數(shù) ()fx在 0x 處取得極小值。 例 4 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 xyy ??? 2 所確定，且 ? ? 00 ??xy 。問(wèn) )(xyy ? 在 0x 處是否取得極值？若取得極值，是極大值還是極小值？ 解：因?yàn)?0)()( 2 ???? xxyxy ，所以 01)()(2)( ?????? xyxyxy ，即 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 7 1)()(2)( ????? xyxyxy 又 ? 0)(011)()(2)( 0000 ????????? xyxyxyxy ， 處取得極小值在 0) xxy? 。 函數(shù)單調(diào)性的判別 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別 在最初對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。在對(duì)這些函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們主要結(jié)合了函數(shù)的圖像來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 一次函數(shù)單調(diào)性的判別 一次函數(shù)的解析式： ()f x ax b?? 當(dāng) 0?a 時(shí)，對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的： 當(dāng) 0?a 時(shí)，對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的； 當(dāng) 0?a 時(shí)，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。 二次函數(shù)單調(diào)性的判別 二次函數(shù)的解析式 2()f x ax bx c? ? ?，其圖形形式為拋物線。其中當(dāng) 0?a 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時(shí)，函數(shù)有最小值 2= 4byc a? ，即在 ( , ]2ba??? 上為單調(diào)遞減函數(shù)；其中當(dāng) 0?a 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)拋物線在 2bx a?? 時(shí)，函數(shù)有最大值2= 4byc a? ，即在 [ , )2ba? ?? 上為單調(diào)遞增函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別 指數(shù)函數(shù)的一般解析式 () xfxa? ,其中 0?a 且過(guò)點(diǎn)（ 0,1）。其中當(dāng) 10 ??a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù) ,其中當(dāng) 1?a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。 10 ??a 時(shí)，a 的值越小函數(shù)值下降越快； 1?a 時(shí)， a 的值越大數(shù)值增加越快。 對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別 對(duì)數(shù)函數(shù)的一般解析式 ? ? logaf x x? ,其中 0?a 且過(guò)點(diǎn) ? ?1,0 。其中當(dāng) 10 ??a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，其中當(dāng) 1?a 時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng) 10 ??a時(shí) ,a 的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng) 1?a 時(shí) ,a 的值越大函數(shù)值增加越快。 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 8 高等數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性 設(shè)函數(shù) ()y f x? 在 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在 0x 處取得增量 x? （在點(diǎn)xx ??0 仍在鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量 ??y 00( ) ( )f x x f x?? ? ；如果 y? 與 x? 之比，在 0??x 時(shí)的極限存在，這稱函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，并且稱這個(gè)極限為函數(shù) ()y f x?在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)，記為 0()fx? ，即 000 00 ( ) ( )39。( ) l im l imxx f x x f xyfx xx? ? ? ? ? ? ??????。 導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在單調(diào)性上就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 的導(dǎo)數(shù) 039。( )fx在幾何上表示曲線 ()y f x? 在點(diǎn) 00M( , ( ))x f x 處的切線的斜率，即 039。( ) tanfx ?? ，其中 ? 是切線的 的傾角。也就是說(shuō)若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。 例 1 求證：當(dāng) 20 ???x 時(shí)， xxx 2tansin ?? 。 證明：令 xxxxf 2ta ns in)( ??? ，則 2s e cc o s)( 2 ???? xxxf ，則 23( ) 2 se c ta n sin sin ( 2 se c 1 ) 0f x x x x x x?? ? ? ? ? ? 故 )(xf? 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 從而當(dāng) 20 ???x 時(shí)， 0)0()( ???? fxf ，于是 )(xf 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 0)0()( ?? fxf ，即 xxx 2tansin ?? 。 函數(shù)單調(diào)性的解題應(yīng) 用 單調(diào)性在求極值、最值中的應(yīng)用 一元函數(shù)的極值 極值定義：一般地，若函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域 )(0xU 內(nèi)對(duì)一切 )( 0xUx? 有)()( 0 xfxf ? 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 取得極大值， 0x 是極大值點(diǎn)。函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域 )(0xU 內(nèi)對(duì)一切 )( 0xUx? 有 )()( 0 xfxf ? ，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 取得極小值， 0x 是極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 例 1 設(shè) a 為實(shí)數(shù) ,函數(shù) 32( ) .f x x x x a? ? ? ? (1)求 )(xf 的極值。 (2)當(dāng) a 在什么范圍內(nèi)取值時(shí) ,曲線 xxfy 與)(? 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 9 解： (1) 39。()fx 23 2 1xx? ? ? ， 若 39。()fx=0，則 x 31?? ， x 1? 。 當(dāng) x 變化時(shí)， 39。()fx， ()fx變化情況如下表： xx (－∞，－ 13 ) － 13 (－ 13 ， 1) 1 (1， +∞ ) 39。()fx39。()fx + 0 － 0 + ()fx()fx 極大值 極小值 ∴ ()fx的極大值是 15()3 27fa? ? ?，極小值是 (1) 1fa?? (2)函數(shù) 3 2 2( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f x x x x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? 由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有 ( ) 0fx? ，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有 ( ) 0fx? ，所以曲線()y f x? 與 x 軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。 結(jié)合 ()fx的單調(diào)性可知： 當(dāng) )(xf 的極大值 5 027 a?? ，即 )275,( ????a 時(shí)，它的極小值也小于 0，因此曲線()y f x? 與 x 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在 (1, )? 上。 當(dāng) ()fx的極小值 a － 10即 a ?(1, )? 時(shí)，它的極大值也大于 0，因此曲線 y = ()fx與 x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在 1( , )3??? 上。 所以，當(dāng) )275,( ????a ∪ (1, )? 時(shí)，曲線 y = ()fx與 x 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。 例 2 設(shè)函數(shù) ? ? 32 ()f x x b x c x x R? ? ? ?，已知 ( ) ( ) ( )g x f x f x???是奇函數(shù)。 （ 1）求 b 、 c 的值。 （ 2）求 ()gx的單調(diào)區(qū)間與極值。 解：（ 1）∵ ? ? 32f x x bx cx? ? ?，∴ ? ? 232f x x b x c? ? ? ?,從而 3 2 232( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) = ( 3 ) ( 2 )g x f x f x x b x c x x b x cx b x c b x c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即 ()gx是一個(gè)奇函數(shù) ,所以 (0) 0g ? 得 0c? ，由奇函數(shù)定義得 3b? ； （ 2） 由（ 1）知 3( ) 6g x x x??從而 2( ) 3 6g x x? ??，令 2( ) 3 6g x x? ??=0， 解得 2x?? ，由 2( ) 3 6 0 , 2 2g x x x x? ? ? ? ? ? ?解 得 或， 2( ) 3 6 0g x x? ? ? ? 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 10 22x? ? ?解 得 。 由此可知 ,函數(shù) ()gx的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( , 2)??? 和 ( 2, )?? ；單調(diào)遞減區(qū)間是( 2, 2)? ；進(jìn)而得 ()gx在 2x?? 時(shí)，取得極大值，極大值為 42， ()gx在 2x? 時(shí)，取得極小值，極小值為 42? 。 二元函數(shù)的極值 對(duì)于二元函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( 00 yx 的某鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 00( , ) 0xf x y ? ，0),( 00 ?yxfy 。令 00( , )xxf x y A? ， 00( , )xyf x y B? ， 00( , )yyf x y C? 。 （ 1）當(dāng) 02 ??BAC 時(shí)，函數(shù) ( , )f xy 在 ),( 00 yx 處有極值，且當(dāng) 0?A 時(shí)有極小值),( 00 yxf ； 0?A 時(shí)有極大值 ),( 00 yxf ； （ 2）當(dāng) 02 ??BAC 時(shí) ，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處沒(méi)有極值； （ 3）當(dāng) 02 ??BAC 時(shí)，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處可能有極值，也可能沒(méi)有極值。 如果函數(shù) ),( yxf 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求 ),( yxfz? 的極值的一般步驟為： 第一步 解方程組 ( , ) 0( , ) 0xyf x yf x y ???? ???， 求出 ( , )f xy 的所有駐點(diǎn)； 第二步 求出函數(shù) ( , )f xy 的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處 A 、 B 、 C 的值，根據(jù)2BAC? 的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) . 最后求出函數(shù) ),( yxf 在極值點(diǎn)處的極值。 例 3 設(shè) ),( yxzz? 是由 0182106 222 ?????? zyzyxyx 確定的函數(shù)，求 ),( yxzz? 的極值點(diǎn)和極值。 解：因?yàn)? 0182106 222 ?????? zyzyxyx ，所以 02262 ???????? xzzxzyyx 0222206 ?????????? yzzyzyzyx 令0,0zxzy?? ???????????得 30 ,3 10 0xyx y z????? ? ? ??故 3 ,xyzy??? ??將其代入 0182106 222 ?????? zyzyxyx ，可得 安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì)） 11 ????????3,3,9zyx 或 933xyz??????????? 由于 02)(222 22222 ?????????? x zzxzx zy 226 2 2 2 2 0z z z z zyzx x y y x x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 02)(222220 22222 ???????????????? y zzyzy zyyzyz 所以 61)3,3,9(22 ???? x zA ，21)3,3,9(2 ?????? yx zB，35)3,3,9(22 ???? y zC， 故 03612 ??? BAC ，又 061??A ，從而點(diǎn) ）（ 3,9 是 ),( yxz 的極小值點(diǎn)，極小值為 3)3,9( ?z 。 類似地，由 61)3,3,9(22 ????????xzA ， 21)3,3,9(2 ????? ???yx zB，35)3,3,9(22 ???? ???y zC 可知 03612 ??? BAC ，又 061???A ，從而點(diǎn) ）（ 3,9?? 是 ),( yxz 的極大值點(diǎn)，極大值為3)3,9( ????z 。 二元函數(shù)的條件 極值（拉格朗日數(shù)乘法） 拉格朗日數(shù)乘法： 設(shè)二元函數(shù) ( , )f xy 和 ( , )xy? 在區(qū)域 D 內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求( , )zxy 在 D 內(nèi)滿足條件 (, )xy? 的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y? ? ???（