傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系與應(yīng)用本科畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-11 16:18 本頁面
【正文】 化法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)乘上一個確定的二元函數(shù)，然后計算積分，即這樣變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，這里的二元函數(shù)是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)，當(dāng)選取不同的積分域和核函數(shù)，就得到不同名稱的積分變換。傅里葉級數(shù)對周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領(lǐng)域的一種很重要的算法。要想了解傅里葉變換算法的內(nèi)涵，首先要了解傅里葉原理的內(nèi)涵。傅里葉原理表明：對于任何連續(xù)測量的數(shù)字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質(zhì)上都是一種把信號表示成復(fù)正選信號的疊加，存在相似的特性。 2傅里葉級數(shù)的概念我們把凡是滿足以下關(guān)系式： （T為常數(shù)） （）的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。周期定義：（1） 滿足式（）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；（2） 一個常數(shù)以任何正數(shù)為周期?；救呛瘮?shù)系：按某一規(guī)律確定的函數(shù)序列稱為函數(shù)系。如下形式的函數(shù)系： 1， ，，…，，… （）稱為基本三角函數(shù)系。所有這些函數(shù)具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數(shù)）。通常這個周期命名為函數(shù)系的周期。所以式（）的三角函數(shù)系的周期為。傅里葉級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項級數(shù)，對周期性現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，其在理論和應(yīng)用上都有重要價值。 三角級數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學(xué)中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標(biāo)準(zhǔn)而簡單的簡諧振動可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復(fù)雜的周期為的函數(shù)分解為簡單標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個周期為的函數(shù)表示成如(1)式那樣簡單，標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個周期為T的函數(shù)表示成簡諧振動的疊加？設(shè)g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個問題就行了。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級數(shù) (4)為三角級數(shù)，稱級數(shù)(4)的部分和 (5)為三角多項式，后面我們將看到，將常數(shù)項記為的形式，是為了使有統(tǒng)一的表達(dá)式。我們通過簡單的計算可知，三角函數(shù)系 (6)具有以下性質(zhì) (7) (8) (9) (10)即三角函數(shù)系（6）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在上積分
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