傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系與應(yīng)用本科畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-06-23 16:18 本頁(yè)面
【正文】 最后，感謝母校滁州學(xué)院，對(duì)于您，我們有過(guò)驕傲與自豪，有過(guò)苛責(zé)與失望，有過(guò)頹廢和奮進(jìn)，時(shí)間流逝，轉(zhuǎn)眼之間我們就站在了具有選擇性的岔路口做出人生中重要的選擇，或工作、或考研、或靠編。2 參考文獻(xiàn)[1] 劉元駿. 大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程（下冊(cè)）. 北京：科學(xué)出版社2009.[2] 王濤，方剛. 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）. 北京：科學(xué)出版社2006.[3] 林益，劉國(guó)鈞. 復(fù)變函數(shù)與積分變換. 武漢：華中科技大學(xué)出版社2008.[4] 劉向麗. ：機(jī)械工業(yè)出版社 2009致 謝首先我要衷心的感謝我的導(dǎo)師張玲老師。對(duì)于周期為的周期函數(shù)，它可展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：對(duì)上式取傅里葉變換，并考慮不是時(shí)間的函數(shù)，由此可得：是周期函數(shù)的傅里葉變換譜，上式表明，周期函數(shù)的頻譜由無(wú)窮多個(gè)脈沖組成，這些脈沖位于頻率處，每個(gè)脈沖的脈沖強(qiáng)度為需指出的是，雖然從頻譜的圖形上，這里的與是及其相似的，但兩者含義不同。電視機(jī)及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。 傅里葉變換是從傅里葉級(jí)數(shù)推演而來(lái)的，傅里葉級(jí)數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)即是它的頻譜函數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)是周期信號(hào)的另一種時(shí)域的表達(dá)方式，也就是正交級(jí)數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換就是完全的頻域分析5傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)方面計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)的和例如，設(shè)周期為2的某函數(shù)，其在一個(gè)周期上的表達(dá)式為 （由于是偶函數(shù)，所以它的傅里葉級(jí)數(shù)只有余弦項(xiàng) （=1,2,3，…）因此，的傅里葉級(jí)數(shù)為 （令=,且利用，所以 因此得 在物理方面為設(shè)計(jì)放大器提供依據(jù)例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對(duì)于矩形波其傅里葉展開(kāi)式為其中系數(shù)和成正比，因此，隨著簡(jiǎn)諧次數(shù)的增高，幅度迅速減小。它既能簡(jiǎn)化計(jì)算，又具有明確的物理意義，因而在許多領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域。如果函數(shù)以及它的前（1）階導(dǎo)數(shù)滿足狄利克雷條件，而且處處連續(xù)，那么隨著趨向于無(wú)窮大，的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)和至少應(yīng)與一樣快趨向于零。有時(shí)將可以逐項(xiàng)微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數(shù)的光滑程度可以從該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)上反映出來(lái)。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個(gè)系數(shù)前卻添加了一個(gè)增長(zhǎng)因子，這就降低了收斂程度。3微分定理3 若在上連續(xù)，又絕對(duì)可積，則有 （6）其中 。在實(shí)際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級(jí)數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級(jí)數(shù)公式可得： （=0,1,2,…）及 = （=1,2,3，…）因此，所求級(jí)數(shù)為 （2）由于=0是的連續(xù)點(diǎn)，所以上式兩邊可劃等號(hào)。另外，我們還有 (11) 設(shè)函數(shù)能夠表示成三角級(jí)數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級(jí)數(shù)在上一致收斂，則有如下關(guān)系式： , n=0,1,2,… (13a) , n=0,1,2,… (13b)證明：由定理?xiàng)l件，對(duì)（12）式逐項(xiàng)積分可得： = 由關(guān)系式知，上式右邊括號(hào)內(nèi)的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊（t為正整數(shù)），得 （14）由級(jí)數(shù)（12）一致收斂，可以推出級(jí)數(shù)（14）也一致收斂。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級(jí)數(shù)(2)作如下變形=令 則
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