函數(shù)單調性的應用本科畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-06-15 21:48 本頁面
【正文】 畢業(yè)論文初期，論文要從零開始，是老師們的悉心指導，使我順利完成了論文設計。首先我要感謝我們的學校和老師以及我在同一個窗檐下學習奮斗的兄弟姐妹，為我提供了良好的教育環(huán)境和良好的學習氛圍，使得我能夠學習成長到今天。對于學習者來說，通過閱讀這篇論文不僅能系統(tǒng)地掌握單調性的相關知識，還能了解單調性在解決實際問題中的作用，開闊視野，增加其對單調性的學習興趣。 單調性在優(yōu)化路徑中的應用例1 工廠到鐵路線的垂直距離為,垂足為,鐵路線上距離為處有一原料供應站,現(xiàn)要在鐵路之間某處修建一個原料中轉站，再由車站向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運費與公路運費之比為，那么應該建在何處，才能是原料供應站運貨到所需運費最??？ 解：設之間的距離為，則有如果公路費用為，那么鐵路運費為，故原料供應站途徑中轉站到工廠所需總費用為求導得令，即得,解得，（舍去），且是函數(shù)定義域內的唯一駐點，所以是函數(shù)的極小值點，而且也是函數(shù)的最小值。這是惟一的駐點，又由題意一定存在最大值，故萬元為最大值。又由題意，可導且一定存在最大值，故最大值必在這惟一的駐點處達到。例2 某公司通過電臺及報紙兩種方式做銷售廣告，收入萬元與電視廣告費萬元及報紙廣告費萬元之間的關系為：。 單調性在生產利潤中的應用例1 生產某種產品需要投甲、乙兩種原料和（單位：噸）分別是它們各自的投入量，則該產品的產出量為（單位：噸），其中，且。函數(shù)單調性在實際生活中的應用函數(shù)單調性在實際中的應用主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤最大化、路徑選擇等。 單調性在比較大小方面的應用函數(shù)單調性用于比較大小一般性原則：在同一個函數(shù)中有，當函數(shù)在區(qū)間內是增函數(shù)時有；當函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)是時有。例1 設為實數(shù)，并滿足 ，求的值。利用性質，若函數(shù)是單調遞增函數(shù)，則函數(shù)與它的反函數(shù)圖象的交點必在直線上。故其中，所以 單調性在求方程解問題中的應用利用函數(shù)的單調性結合圖象能直觀地研究圖象的交點，假若能將問題轉化為兩函數(shù)的交點問題，這類問題便可以輕松獲解。所以,即例 2 當 時,證明不等式成立。結論4 設在區(qū)間內可導，且，則有。 單調性在不等式中的應用設函數(shù)y=在定義區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，在Ⅰ內可導，如果在定義區(qū)間Ⅰ內那么函數(shù)在Ⅰ上單調增加；如果在定義區(qū)間Ⅰ內那么函數(shù)在Ⅰ上單調減少，這是函數(shù)的單調性，也是應用在函數(shù)不等式解題中中最基本性質。解：是分段函數(shù)，表達式為： 易得在連續(xù),求導得 由此得時，在單調增加；時， 在單調減少。若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值。首先求出的解，即求的駐點；算出在這些點的函數(shù)值；若有不可導點，算出在這些點的函數(shù)值；求出。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的．如果是函數(shù)的極值點．那只就附近的一個局部范圍來說,是的一個最大值；如果就的整個定義域來說，不一定是最大值。拉格朗日數(shù)乘法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論。解：因為 ，所以令得 故將其代入，可得 或 由于所以，故，又，從而點是的極小值點，極小值為。令。（2）求的單調區(qū)間與極值。當?shù)臉O小值－10即時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在上。(2)當在什么范圍內取值時,曲線軸僅有一個交點。函數(shù)在點的某領域內對一切有，則稱函數(shù)在點取得極小值，是極小值點。也就是說若導數(shù)大于零，則函數(shù)單調增加，若導數(shù)小于零，則函數(shù)單調減小。其中當時，函數(shù)在定義域內為單調遞減函數(shù)，其中當時，函數(shù)在定義域內為單調遞增函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)單調性的判別指數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過點（0,1）。在對這些函數(shù)的學習中我們主要結合了函數(shù)的圖像來判斷函數(shù)的單調性。同理，可證明（2）當，函數(shù)在處取得極小值。定理7（極值的第二充分條件）設函數(shù)在的某領域內一階可導，在處二階可導，且。定理6（極值的第一充分條件）設在點處連續(xù)，在某領域內可導。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的極值點，那只就附近的一個局部范圍來說，設函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有則是函數(shù)的一個極大值；如果對附近的所有的點，都有，則是函數(shù)的一個極小值, 對應的極值點就是（，）。 介值性定理定理4 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若181。 零點定理定理3 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，那么在開區(qū)間內至少有一點，使。例如函數(shù)在開區(qū)間內既無最大值又無最小值。解：由三角函數(shù)的性質可知,當時，函數(shù)取得最大值；當時，最小值為0。解：在上遞減，恒成立，則(1) 當時，滿足條件。是定義在上的減函數(shù)， ，解得。例2 設函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，確定的大小關系。函數(shù)的這一性質在解決函數(shù)求極值、比較大小、求解方程的根、解不等式等問題時都有很大的
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