【文章內(nèi)容簡介】 只有根據(jù)信號的特征選擇相應(yīng)的小波基進行分解和特征提取，才能有效識別故障信息，使小波變換達到工程實用化[13]。（1）緊支性、衰減性 若母小波在區(qū)間[a, b]外恒為0，則稱州緊支在這個區(qū)間上，即具有緊支性。緊支性決定了小波的局部化能力，支撐區(qū)間越窄，時域局部化能力越強。如果母小波不具備緊支性，則希望它有快速衰減性，即當時，趨向于0。衰減性和緊支性一樣，也反映了小波的時域局部化能力。（2）光滑性和正規(guī)性(Regularity) 若母小波在某一點或某一區(qū)間k階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但k+1階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱在在一點或這一區(qū)間k階光滑。光滑階數(shù)k越高，母小波的Fourier變換八叼在頻域衰減越快。實際上，利用消失矩可以刻畫的光滑性。消失矩定義為:若對所有的滿足 () 則稱具有M階消失矩。式()也叫做小波的正規(guī)性條件。消失矩階數(shù)M越大，越光滑，其頻域局部化能力越強。具有高階消失矩的小波適合于監(jiān)測高階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的信號，因此適合于提取信號的奇異性。但是，光滑性與緊支性或衰減性是矛盾的。也就是說，小波不可能同時在時域和頻域都具有良好的局部化性能。因此，小波基的選擇只能在緊支性、衰減性與光滑性、正規(guī)性之間平衡。（3）對稱性和線性相位 令，若它的Fourier變換滿足 ()其中k為與時間有關(guān)的常數(shù)，則稱具有線性相位。如果滿足 ()其中為常數(shù)相位，則稱具有廣義線性相位。可見，具有線性相位或廣義線性相位的小波可以避免對信號進行分解或重構(gòu)時的相位失真。由信號處理理論可知，一個FIR濾波器至少具有廣義線性相位當且僅當它的沖擊響應(yīng)信號是對稱或反對稱的。因此，小波基的對稱性也非常重要。 對稱或反對稱的小波基在監(jiān)測信號奇異性時表現(xiàn)是不同的。對信號的過渡點(拐點)或信號邊緣，反對稱小波在該處呈現(xiàn)最大值而對稱小波呈現(xiàn)過零值，對于信號的峰值監(jiān)測剛好相反。（4）正交性 設(shè), kZ是一組函數(shù)集合，若 () 則稱具有正交性。設(shè),分別是兩組函數(shù)集合，若 則稱和是正交的。根據(jù)正交性質(zhì)的不同，可以把母小波分為正交小波、半正交小波、雙正交小波和非正交小波。 小波的正交性是故障信號分析中最感興趣的性質(zhì)，它可以無冗余、無泄漏地將信號分解到各個獨立的頻帶下，便于實現(xiàn)特征提取。但是，緊支正交小波不能實現(xiàn)完備的線性相位濾波。半正交小波比正交小波靈活，既能滿足線性相位，可以實現(xiàn)正交分解，但分解序列不是有限序列，在使用是必須截斷，因而也存在誤差。雙正交小波具有線性相位，可以實現(xiàn)信號完備的重構(gòu)，在圖像處理中應(yīng)用比較普遍。非正交小波放棄了正交性，可以將信號分解至任意的連續(xù)尺度下，具有良好的時頻局部化分析功能。如果選擇具有對稱性的非正交小波，不僅可以實現(xiàn)線性相位，甚至能做到無相移。 通過上述分析發(fā)現(xiàn)，小波的緊支性、衰減性、光滑性、對稱性、線性相位和正交性的不同決定了小波的千差萬別。在應(yīng)用小波變換時，應(yīng)該根據(jù)分析對象和目的選擇具有相應(yīng)性質(zhì)的小波基[14]。通過對小波基性質(zhì)和故障診斷中常用小波的研究發(fā)現(xiàn)，各種小波基有各自的優(yōu)點和缺點，要使小波變換達到真正的工程實用化，必須根據(jù)故障信號的特征選擇合適的小波基。用不同的小波基去識別信號的不同故障信息，從而避免了隨意采用某一種小波基函數(shù)并通過尋找該小波基函數(shù)的所謂最優(yōu)基來同時提取所有信號特征的誤區(qū)[15]。提取平穩(wěn)信號諧波特征頻率，適合于旋轉(zhuǎn)機械不平衡，不對稱油膜渦動等故障的識別。 將信號正交地分解到各獨立頻帶內(nèi)，實現(xiàn)對非平穩(wěn)信號地整體刻畫，可用于信號分頻帶能量監(jiān)測，是通用地非平穩(wěn)信號分析工具。 對非平穩(wěn)信號進行保相濾波，適合于從復(fù)雜信號中識別旋轉(zhuǎn)機組不平衡，不對稱油膜渦動等故障?？梢钥坍嬓D(zhuǎn)機組提純軸心軌跡。 降噪，識別“魚腹狀”波形特征，適合于診斷齒輪箱齒面剝落、滾動軸承內(nèi)外圈及滾動體缺陷及往復(fù)及機械多頻率激勵。從復(fù)雜信號中提取沖擊響應(yīng)信號特征，適合于撞擊、松動、動靜碰摩等故障地診斷?？梢宰R別設(shè)備振動固有頻率及阻尼參數(shù)。識別信號地奇異性，適合于摩擦、裂紋等故障地診斷。 . 1奇異性的定義 數(shù)學(xué)上稱無限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒有奇異性。若函數(shù)在某處有間斷點或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該函數(shù)在此處有奇異性，該點就是奇異點。信號的奇異性是由奇異點處的李式指數(shù)(Lipschitz Exponenets, LE)來度量的，LE的定義是：若信號在附近滿足： ()式中h0是一個充分小的量，是過點的n次多項式，A為一個常數(shù)，則稱在處的LE為，若將點擴展到一段開區(qū)間，當和都處在開區(qū)間時，式()仍能滿足，則稱在此區(qū)間為均勻Lipschitz 。 LE具有如下性質(zhì)： 1)若次可微，但n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此n+l次不可微，則有 2)如果的LE=a,則介的LE必為，即每積分一次，LE增加1。同理，每微分一次，LE減少1。據(jù)此，可知某些特殊函數(shù)在奇異點的LE。 信號的小波變換實際上是一個濾波的過程，即在時域里利用小波函數(shù)對信號進行卷積運算，小波變換的卷積表達式為： ()式中 ()其中為 母小波。表2. 1 一些特殊函數(shù)在奇異點的Lipschitz指數(shù)函數(shù)圖形奇異點特性LE說明斜坡函數(shù)在處一次可微，一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù) 1階躍函數(shù)在處函數(shù)本身不連續(xù)，但取值有界 0階躍函數(shù)是斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故函數(shù) 1函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故某些特殊函數(shù)在奇異點的LE根據(jù)式()，可以把小波變換看成信號通過沖擊響應(yīng)為的系統(tǒng)后輸出，[16]。 . 3小波變換的極值點、過零點與信號奇異性的聯(lián)系 Mallat在文獻中利用高斯函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造了兩個小波來識別信號的奇異性，它們分別為： () () 和分別表示以州和為基函數(shù)對的小波變換。可見的極值點和的極值點對應(yīng)準脈沖信號的極值點。由于極值點在計算時很好識別，所以對信號的過渡點比較敏感，則適合于識別信號的極值點。這個結(jié)論對母小波的伸縮、也同樣適用。，嚴格地講，只有當尺度。在適合范圍內(nèi)時，小波變換才能避免交疊干擾，從而能清晰地反映信號地奇異點。因此，在處理時需要把多尺度結(jié)合起來綜合觀測。[17] 小波基的選擇在小波分析中，由于構(gòu)造方法不同，形成了不同的小波，日前比較有名的有Daubechies小波、Meyer小波、Coifman小波等，這些小波函數(shù)及相應(yīng)的尺度函數(shù)構(gòu)成了不同的小波基。小波基的選擇是進行小波變換的關(guān)鍵問題，小波基選擇適當與否直接關(guān)系到計算的效率和小波分析結(jié)果的有效性從國內(nèi)外研究現(xiàn)狀看，在滾動軸承故障診斷中大多采用D正交小波，也有將B小波、諧波小波、harry小波用于故障診斷。因為一個信號在不同小波基小波的分解不是唯一的，對于選定的二個小波基，信號就對應(yīng)一種分解形式，而目前則缺乏對小波基適應(yīng)性方面的研究。小波變換中常用的快速算法因采用隔二抽樣，使變換結(jié)果的樣本點數(shù)隨分解層數(shù)增大而成倍下降，限制了對信號的精細分析。因此如何選擇適合低速滾動軸承故障診斷中已知的衰減應(yīng)力波波形的小波基這一問題顯得尤為重要。 最佳小波基的選取由于 Daubechies小波是有限緊支撐正交小波，其時域和頻域的局部化能力強，尤其在數(shù)字信號的小波分解過程中可以提供有限長的更實際更具體的數(shù)字濾波器，因此本文選擇Daubechies小波對應(yīng)力波信號進行小波變換。Daubechies小波函數(shù)及其相應(yīng)的尺度函數(shù)構(gòu)成不同的小波基。小波函數(shù)和尺度函數(shù)相當于濾波器。根據(jù)濾波器系數(shù)，計算出N=2，4，6，8，10時的尺度函數(shù)和小波函數(shù)以及它們的時域和頻域波形[18]。隨著N值的增加，即濾波器長度L=2N的增加，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的時域波形越來越光滑，它們的頻譜成分越來越集中，即濾波器的頻率特性越來越好，同時和的支集的長度2N1當然也隨著N的增大而增大，即信號分析的時域分辨率變小[19]。實際上，由不確定原理可知，不可能得到時域和頻域都非常理想的濾波器另外，隨著濾波器長度的增加，小波變換的計算量也急劇增加，在實際應(yīng)用中，就存在一個如何選擇濾波器的問題，可以根據(jù)時頻分辨率的要求和計算速度的要求綜合考慮來選擇。N=6時，和的頻率特性己經(jīng)比較好了，它與N=8和N=10時的頻率特性相差不大，而N=10時的頻率特性已經(jīng)很理想了[20]。因而，在應(yīng)力波信號處理時，考慮選用N=6的濾波器來做應(yīng)力波信號的小波分解是比較合適的。Daubechies構(gòu)造了一個簇緊支撐正交小波，稱為dbN,N為階數(shù)，對于每個N,有2N個非零項。小波沒有顯示表達式，可由以下三個條件確定（1） ()式中是二項式系數(shù)（2） 式中 ()（3）小波函數(shù)和尺度函數(shù)的支集為2N Daubechies小波法國學(xué)者Daubechies對尺度取2的整冪(即)條件下的小波變換進行了深入的研究，提出一類具有以下特點的小波，稱為Daubechies小波。(1) 時域上是有限支撐的，即長度有限，而且其高階原點矩，越大，的長度就愈長；(2) 在頻域上在處有N階零點；(3) 和它的整數(shù)位移正交唯一，即 ，小波函數(shù)可由尺度函數(shù)求出來，即 ()式中:k值從； N值不同，權(quán)重的值也不相同。 ()尺度函數(shù)是低通函數(shù)，由兩尺度關(guān)系式迭代得到 ()由于是有限支撐，支撐域為，所以由式(2. 18)求得的也是有限支撐的，其長度和一樣，也是，起于處，終于處。因此可得到小波級數(shù)系數(shù)； ()式中：這是一種很適合于數(shù)值計算和工程實現(xiàn)的小波變換[21]。 小波分解與尺度選擇在數(shù)字信號處理中，一般取尺度的二進小波變換。設(shè)信號的離散采樣序列。若以表示信號在尺度時的近似值，則的離散二進小波變換由下式確定: （） （）式中。 和是由小波函數(shù)確定的一對互補的共軛濾波器。低通濾波器；高通濾波器；因而，分別稱為信號在尺度上的逼近部分(低頻)和細節(jié)部分(高頻)。離散信號經(jīng)過尺度的分解，最終分解為它們分別包含了信號從高頻到低頻的不同頻帶信號，即信號的離散二進小波的分解就是相當于信號不斷經(jīng)過兩個低通和高通濾波器對其近似部分進行濾波的結(jié)果。 對于一步分解，原始信號對于多尺度分解，原始信號s可分解為:（）S如果信號S的帶寬為， 則經(jīng)尺度的小波分解后的帶寬為，的帶寬為,的帶寬為, 的帶寬為, 的帶寬為。當確定了有意義的信號頻帶寬度時，則選擇適當?shù)某叨?，將采集的原始信號進行小波分解，提取分解后相應(yīng)頻帶的小波系數(shù)。第3章 滾動軸承的故障及診斷技術(shù) 滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械中應(yīng)用最為廣泛的機械零件，也是最易損壞的元件之一。旋轉(zhuǎn)機械的許多故障都與滾動軸承有關(guān)，軸承性能與工況的好壞直接影響到與之相關(guān)聯(lián)的軸以及安裝在轉(zhuǎn)軸上的齒輪乃至整臺機器設(shè)備的性能，其缺陷會導(dǎo)致設(shè)備產(chǎn)生異常振動和噪聲，甚至造成設(shè)備損壞。因此，開展對軸承的故障診斷具有很現(xiàn)實的意義。3. 1滾動軸承的結(jié)構(gòu) 滾動軸承是由內(nèi)環(huán)、外環(huán)、滾動體和保持架四種元件組成。通常，其內(nèi)壞與機械傳動軸的軸頸過盈配合聯(lián)接，工作時隨軸一起轉(zhuǎn)動。而外環(huán)安裝在軸承座、箱體或其它支撐物上，工作時一般固定或相對固定。但也有外環(huán)回轉(zhuǎn)、內(nèi)環(huán)不動或內(nèi)、外環(huán)分別按不同轉(zhuǎn)速回轉(zhuǎn)的使用情況。滾動體是滾動軸承的核心元件，它使相對運動表面間的滑動摩擦變?yōu)闈L動摩擦。滾動體的形式有球形、圓柱形、錐柱形、鼓形等。在滾動軸承內(nèi)、外環(huán)上都有凹槽滾道，它們起著降低接觸應(yīng)力和限制滾動軸承軸向移動的作用。保持架使?jié)L動體等距離分布并減少滾動體間的摩擦和磨損。如果沒有保持架，相鄰滾動體將直接接觸，且相對摩擦速度是表面速度的兩倍，發(fā)熱和磨損都較大[22]。3. 2滾動軸承失效的基本形式 1．磨損失效 這是滾動軸承常見的一種失效形式，是軸承滾道、滾動體、保持架、座孔或安裝軸承的軸頸，由于機械原因引起的表面磨損。一般來說軸承表面磨損后產(chǎn)生的振動同正常軸承的振動具有相同的性質(zhì)，即兩者的波形都是無規(guī)則的，隨機性較強。但磨損后的振動水平(幅值)明顯高于正常軸承，因此對這種故障診斷的方法常常是監(jiān)測振動信號的有效值