【文章內容簡介】 于二維的情況，可以給出類似的結論 。]1[ 離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波 和連續(xù)小波變換 的離散化。需要強調指出的是，這一離散)(,tba?),(baWf化都是針對連續(xù)的尺度參數 a 和連續(xù)平移參數 b 的，而不是針對時間變量 t 的。這一點與我們以前習慣的時間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數： )()(2/1, attba???這里 ， ，且 ，為方便起見，在離散化中，總限制 a 只取正值，這樣Rb??0?相容性條件就變?yōu)? ()??????dC0)(?通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數 a 和平移參數 b 的離散公式分別取作，這里 ，擴展步長 是固定值，為方便起見，總是假定 (由00,bkajj?Zj 10? 10?a于 m 可取正也可取負，所以這個假定無關緊要)。所以對應的離散小波函數 即可寫),tkj?作 ())()()( 02/002/0, kbtaabktt jjjjkj ???????而離散化小波變換系數則可表示為 ()fdttfCkjkj ????)(*,其重構公式為 ()????)()(,ttfkj?C 是一個與信號無關的常數。然而，怎樣選擇 和 ，才能夠保證重構信號的精度呢？0ab顯然，網格點應盡可能密(即 和 盡可能小)，因為如果網格點越稀疏，使用的小波函0ab數 和離散小波系數 就越少，信號重構的精確度也就會越低。),tkj?kjC,實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數值計算 CWTa,b 值，加之實際的觀測信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換(DWT)。大多數情況下是將尺度因子和位移參數按 2 的冪次進行離散。最有效的計算方法是 s．Mallat 于 1988 年發(fā)展的快小波算法(又稱塔式算法)。對任一信號，離散小波變換第一步運算是將信號分為低頻部分（稱為近似部分）和離散部分(稱為細節(jié)部分)。近似部分代表了信號的主要特征。第二步對低頻部分再進行相似運算。不過這時尺度因子已經改變。依次進行到所需要的尺度。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波 。]1[ 小波包分析 短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數等間隔劃分(具有等 Q 結構)。小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據被分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應用價值 。關于小波包分析的理解，這里以一個三層的分解進行說明，其小波包分解]1[樹如圖 。圖 小波包分解樹圖 中，A 表示低頻，D 表示高頻，末尾的序號數表示小波分解的層樹(也即尺度數)。分解具有關系 ：]1[S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。 小波包的定義在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把jzjWRL???)(2Hilbert 空間 分解為所有子空間 的正交和的。其中， 為小波函數)(2 )(Zj jW的閉包(小波子空間)?，F在，對小波子空間 按照二進制分式進行頻率的細分，以t?j達到提高頻率分辨率的目的。 一種自然的做法是將尺度空間 和小波子空間 用一個新的子空間 統(tǒng)一起來表征，jVj njU若令 jjjjWU?????10Zj?則 Hilbert 空間的正交分解 即可用 的分解統(tǒng)一為jjjV??nj ()101jjj定義子空間 是函數是函數 的閉包空間，而 是函數 的閉包空間，并令njU)(tn )(tn)(2tUn滿足下面的雙尺度方程：)(tn ()?????????Zknn ktugtuh)2())(212式中， ，即兩系數也具有正交關系。當 n=0 時，以上兩式直接給出)1()(khkg?? ()???????Zkktugth)2()(010與在多分辨分析中， 滿足雙尺度方程：)(t??和AAA3 DDA3 ADA3 DDA3 AAD3 ADA3 ADD3 DDD3AA2 DA2 AD2 DD2A1 D1S ()????????Zkktgth)2()(????2lghZk?相比較， 和 分別退化為尺度函數 和小波基函數 。式()是式())(0tu1t )(t?的等價表示。把這種等價表示推廣到 (非負整數)的情況，即得到()的等價表示?n為 ； ()121???jjjUZj?n定義(小波包) 由式()構造的序列 (其中 )稱為由基函數 =??)tun?)(0tu確定的正交小波包。當 n=0 時，即為()式的情況。t?由于 由 唯一確定，所以又稱 為關于序列 的正交小波包 。tkhZnt?)(kh]1[ 小波包的性質定理 1 設非負整數 n 的二進制表示為 , =0 或 1。則小波包 的傅立葉????12iin?i )(wun?變換由下式給出： ()???1)/()(ijnwmui?式中 ????kjkwehH)(2)(0??kjkgG11定理 2 設 是正交尺度函數 的正交小波包，則 ，即??Zntu?)( )(t? klnnltut?????)(,(構成 的規(guī)范正交基 。Zntu?)(2RL]1[ 小波包的空間分解令 是關于 的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族。現在令??Zntu?)(khn=1，2，…；j=1，2，…，并對()式作迭代分解，則有 72652422131,??????jjjjjj jjjj UUW因此，我們很容易得到小波子空間 的各種分解如下：j 72652431??jjjjjjj……????12kkjjjUW112??kkjjU……???120jjUWj 120??j空間分解的子空間序列可寫作 ，m=0，1，…， 1；l=1，2，…。子空間序列jWmjl??2l的標準正交基為 。容易看出，當 l=0 和 m=0 時，子空間mjlU??21??Zktuljl ??:)(2/)1(序列 簡化為 = ，相應的正交基簡化為 ，它恰好jl 1jj )()(22/1/ ktktujjjj ?????是標準正交小波族 。?)(,tkj? 若 n 是一個倍頻程細劃的參數，即令 n= +m，則我們有小波包的簡略記號l ?(,tnkj，其中， 。我們把 稱為既有尺度指標 j、位置)2(/tjj?? )(2/tutlmlnl??)(,tnkj指標 k 和頻率指標 n 的小波包。將它與前面的小波 作一比較知，小波只有離散尺,j?度 j 和離散平移 k 兩個參數，而小波包除了這兩個離散參數外，還增加了一個頻率參數n= +m。正是這個頻率新參數的作用，使得小波包克服了小波時間分辨率高時頻率分辨l率低的缺陷，于是，參數 n 表示 函數的零交叉數目，也就是其波形的)2()(/tutlmlnl???震蕩次數。定義(小波庫) 由 生成的函數族 (其中 ；j， )稱為由尺度函)(tn,tnkj ??Zk數 構造的小波庫。t?推論 對于每個 j=0，1，2，…=… … ()jZjWRL???)( ??30201U這時，族{ |j=…，1，0；n=2，3，…且 } (),ktunkj?Zk?是 的一個正交基。)(2RL隨著尺度 j 的增大，相應正交小波基函數的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低，這正是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨 j 增大而變寬的頻譜窗口進一步分割變細的優(yōu)良性質，從而克服了正交小波變換的不足。小波包可以對 進一步分解，從而提高頻率分辨率，是一種比多分辨分析更加精細jW的分解方法，具有更好的時頻特性 。]1[ 小波包算法下面給出小波包的分解算法和重構算法。設 ，則 可表示為njnjUtg?)(njg]1[ ()???ljnj ludtg2)(,小波包分解算法：由 求 與??njld,1?l2, 1,?nj ()????????kklllj njnj njdbda,112, ,12,小波包重構算法：由{ }與 求njl2,jl??njl,3 幾種常用的小波同傅立葉分析不同，小波分析的基（小波函數）不是唯一存在的，所有滿足小波條件的函數都可以作為小波函數，那么小波函數的選取就成了十分重要的問題 。]2[1)Haar 小波 于 1990 年提出一種正交函數系,定義如下： ()?????01H?其 它 12//0??x這是一種最簡單的正交小波，即 … ()0)(????dxnt ,?2)Daubechies(dbN)小波系該小波是 Daubechies 從兩尺度方程系數 出發(fā)設計出來的離散正交小波。一般簡??kh寫為 dbN，N 是小波的階數。小波 和尺度函數吁中的支撐區(qū)為 2N1。 的消失矩為 N。??除 N＝1 外(Haar 小波)，dbN 不具對稱性〔即非線性相位〕 ；dbN 沒有顯式表達式(除 N＝1外)。但 的傳遞函數的模的平方有顯式表達式。假設 ，其中，??kh ????10)NkkyCyP為二項式的系數，則有kC??1 ())2(sin)(co)20 ??mN?其中 ???1200)(Nkikehm?3)Biorthogonal()小波系Biorthogonal 函數系的主要特征體現在具有線性相位性，它主要應用在信號與圖像的重構中。通常的用法是采用一個函數進行分解，用另外一個小波函數進行重構。Biorthogonal 函數系通常表示為 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5Nr=2 Nd=2，4，6，8Nr=3 Nd=1，3，5，7，9Nr=4 Nd=4Nr=5 Nd=5Nr=6 Nd=8其中，r 表示重構，d 表示分解。4)Coiflet(coifN)小波系coiflet 函數也是由 Daubechies 構造的一個小波函數，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)這一系列，coiflet 具有比 dbN 更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN 具有和 db3N 及 sym3N 相同的支撐長度；從消失矩的數目來看，coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩數目。5)SymletsA(symN)小波系Symlets 函數系是由 Daubechies 提出的近似對稱的小波函數，它是對 db 函數的一種改進。Symlets 函數系通常表示為 symN(N=2，3，…，8)的形式。6)Morlet(morl)小波Morlet 函數定義為 ，它的尺度函數不存在，且不具有正交性。xCexx5cos)(2/???7)Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat 函數為 ()2/4/1)(3)(xe???它是 Gauss 函數的二階導數，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時稱這個函數為墨西哥帽函數。墨西哥帽函數在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 ()0)(????dx?由于它的尺度函數不存在，所以不具有正交性。8)Meyer 函數Meyer 小波函數 和尺度函數 都是在頻率域中進行定義的，是具有緊支撐的正交小??波。 ()????????0)123(cos)2(in?2//1// ??????jje ]38,2[432????其中， 為構造 Meyer 小波的輔助函數，且有)(a? ()???????0)123(cos)2(?/1/ ?????? 342????4 小波變換在圖像處理中的應用 小波分析用于圖像壓縮 基于小波變換的圖像局部壓縮基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域對信號進行分解，去除信號點之間的相關性，并找出重要系數，濾掉次要系數，以達到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時域的信息，在我們比較關心時域特性的時候顯得無能為力。但是這種應用的需求是很廣泛的，比如遙感測控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對某個局部的細節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達到這個要求，雖然可以通過對圖像進行分塊分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達到這個要求，但分塊大小相對固定，有失靈活。在這個方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時頻特性，我們可以在時頻兩個方向對系數進行處理，這樣就可以對我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。下 面 這 個 局 部 壓 縮 的 例 子 利 用 了 小 波 變 化 的 時