【文章內(nèi)容簡介】 , ?? ? ?Zkj ?, 為函數(shù)的 (27)式變換稱為二進制小波變換。 二維小波變換 二維連續(xù)小波變換 若信號函數(shù) ? ? ? ? ? ?yxRLyxf , 2 ?? 為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小 波的張量積形成。 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 5 頁 共 42 頁 ),(|| 1),(, a cya bxayxcba ??? ?? Rcba ?, 且 0a? (28) 若信號函數(shù) ),(),(),( 2 yxRyxf L ?? 為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成。 因為圖像信號是一種二維信號，所以將一位小波擴展為二維情況，便于后續(xù)的使用和分析。 d x d ya cya bxyxfacbafW ?? ??? ),(),(|| 1),)(( ?? (29) 二維離散小波變換 只要把參數(shù) a,b,c 離散化 0000020xx0 ,, cbaackcabkbaa jjj ??? ??? 為常數(shù)， Zkkj ?21, ,則有離散參數(shù)變換： ? ? ? ? ? ?d x d yckyabkxayxfakkjD P W T jjj 020xx0021 , ??? ?? ? (210) 將 x,y 離散化，即得到離散空間小波變換： ),(),(),( 0220xx1021021 1 2 cklabklallfakkjD S W Tjjl lj ??? ? ? ? Zll ?21, (211) 令 1,2 000 ??? cba ,即得到離散小波變換，表示為 : )2,2(),(2),( 22112121 1 2 klklllfkkjDWT jji ij ??? ? ? ? Zll ?21, (212) 小波變換的多分辨率分析 小波理論包括連續(xù)小波和二進制小波變換，在映射到計算域的時候會出現(xiàn)很多問題 ，因為兩者都存在信息的冗余，在對信號進行采樣以后，需要計算的信息量還是相當大的，特別是連續(xù)的小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的位移和尺度都要做計算，所以計算量非常的大。而二進小波變換雖然在離散的尺度上進行平移和伸縮，但是小波之間并沒有正交性，各個分量的信息是攙雜在一起的，這為我們的分析帶來了不便。 多分辨率分析 (Multiresolution Analysis MRA)，也稱為多尺度分析，它是建立在函數(shù)空間概念上 的理論，多分辨率分析在小波變換理論中具有非常重要的地位。多分辨率分析的一系列尺度空間是由同一尺度函數(shù)在不同尺度下張成的，即一個尺度函數(shù)對應(yīng)一個多分辨率分析 [2]。 通俗地講，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近 )(2RL 。在每個空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成 了 該空間的標準化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成 )(2RL 的標準化正交基，那么，如果對信號在這類 函數(shù) 空間上進行分解，就 能夠 得到互相正交的時頻特性。由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的 ，因此 能夠 很方便地分析我們所 需要 的信號的某些特性。 對于任意函數(shù) Vtf 0)( ? ，可以將它分解為細節(jié)部分 (小波空間 )W1 與 大尺度逼近部分 (尺度空間 )V1，然后 對 大尺度逼近部分 V1 進一步分解。這樣重復(fù)就能夠得到任意尺度上的逼近部分 與 細陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 6 頁 共 42 頁 節(jié)部分，這就是多分辨率分析的框架。每進行一次小波分解都把輸入信號分解為低頻部分 與 高頻細節(jié)部分，而且每次的輸出采樣率都 能夠 再減半，從而保證總的輸出系數(shù)長度 保持 不變，這樣就將原始 離散信號進行了多分辨率分解。 在圖像處理中， 把二維圖像信號 )(),( 22 RLyxf ? 所占的總頻帶定義為 ),()2(0 yxV 空間，用 理想的低通濾波器 h0 與 高通濾波器 h1 在行 和 列方向 對 它們分別分解成低頻部分 )()1(0 xV 與 高頻部分W)1(1 ，每一 個 方向的兩部分分別反映出該圖像信號在剖分 方向上的概貌 與 細節(jié)；對于)()( )1(1)1(0 yx VV ? 經(jīng)第二級 ( 2?a )分解后又被分 解 成低頻 )()( )1(2)1(2 yx VV ? 、 垂直方向的高頻)()( )1(2)1(2 yx WV ? 、 以及對角線方向的高頻 )()( )1(2)1(2 yx WW ? ， …… , 在這種空間分 解 過程中，),)(()1( yxiiV j ? 反映的是圖 像信號 在空間 ),)(()2( 1 yxiiV j ? 中沿 i 方向的低頻子 空間，),)(()1( yxiiW j ? 反映的是圖像信號在空間 ),()2( 1 yxWj? 中沿 i 方向細節(jié)的高頻子空間。 從多分辨率分析可以看出，空間的每次分 解 包含兩 個 部分：一部分是圖像信號 經(jīng) 過低通濾波后得到的低頻概貌；另一部分是 經(jīng) 過高通濾波（小波變換）得到的圖 像高頻細節(jié)。對于低頻概貌，重復(fù)以上 的 過程，最終把圖像信號分解成多個等級的高頻細節(jié)與最后一次低通濾波后的低頻概貌之和。 下面簡要介紹一下多分辨分析的數(shù)學(xué)理論。 定義：空間 )(2RL 中的多分辨分析是指 )(2RL 滿足如下性質(zhì)的一個空間序列 ??ZjjV ?： （ 1）單調(diào)性： 1?? jj VV ，對任意 Zj? （ 2）漸進完全性： ??? jZj VI， ? ? )(2 RLVUclo sejZj ?? （ 3）伸縮完全性： 1)2()( ???? jj VtfVtf （ 4）平移不變性： jjjjj VktVtZk ?????? ?? )2()2(, 2/2/ ?? （ 5） Riesz 基存在性：存在 0)( Vt ?? ，使得 ? ?Zkktjj ??? |)2( 2/? 構(gòu)成 jV 的 Risez 基。 滿足的上述性質(zhì)稱為多尺度分析，即任意函數(shù) ,應(yīng)用多尺度分析將其分解為細節(jié)部分或是某一方向上的細節(jié)部分和的基本特征部分 ,然后將進一步分解，可得到任意尺度下基本特征部分以及細節(jié)部分之和 。 隨著尺度的減小，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。相反，隨著尺度的增大，其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號。所以，尺度越小，尺度空間 就 越大，對應(yīng)頻率就 越高 ；反之， 尺度越大，對應(yīng)尺度空間 就 越小，頻率越低。 小結(jié) 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 7 頁 共 42 頁 本章主要介紹了小波變換的基本理論，包括小波函數(shù)及一維和二維小波變換的的基本概念，以及小波多分辨率分析的基本概念，主要介紹了幾種常用的公式及其性質(zhì)。 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 8 頁 共 42 頁 Mallat 算法 1989 年 Mallat 在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多分辨分析分解與重構(gòu)的快速算法，即著名的 Mallat 算法 [2]。 該算法在小波變換中的地位相當于 FFT 在傅里葉變換中的地位，該算法的提出使小波理論得到了突破性的進展，使小波分析成為近年來迅速發(fā)展起來的新興學(xué)科并得到了廣泛應(yīng)用。由于數(shù)字圖像通常用二維信號描述，因此這里只討論二維的多分辨率分析。 Mallat 給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法 —— Mallat 算法。 Mallat 算法 經(jīng) 過一組分解濾波器 H(低通濾波器 LPF)與 G(高通濾波器 HPF)對信號進行濾波，然后對輸出結(jié)果進行下二采樣 (即 隔一取一 )來實現(xiàn)小波分解，分解的結(jié)果是產(chǎn)生長度減半的兩個部分，一個是經(jīng)過高通濾波器產(chǎn)生原始信號的細節(jié)部分，另一個則是經(jīng)過低通濾波器產(chǎn)生原始信號的平滑部分。重構(gòu)時 是先 使用一組 H 和 G 合成濾波器對小波分解的結(jié)果 進行 濾波，再進行上二采樣 (相鄰兩點間補零 )來產(chǎn)生重構(gòu)信號。多級小波分解 是 通過級聯(lián)的方式進行，每一級的小波變換都是在前一級分解產(chǎn)生的低頻分量上的繼續(xù)，重構(gòu)是分解的逆運算。低頻分量上的能量集中 ， 信息豐富；高頻 分量上的細節(jié)信息豐富，信息分量多為零，能量較少 [3]。按照 Mallat 的快速算法，圖像小波分解如圖 所示，圖像小波分解的重構(gòu)算法如圖 所示。 圖 圖像小波分解算法 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 9 頁 共 42 頁 圖 圖像小波分解的重構(gòu)算法 圖像經(jīng)過小波變換后，能夠得到良好的空間 頻率多分辨率表示，小波變換具有以下 4 個 主要特征： （ 1）原始圖像的能量主要集中在低頻子帶圖像。 （ 2）小波分量具有方向選擇性，分為三個部分水平、垂直、對角，這些特性都和人類的視覺特性相吻合。 （ 3）不僅保持原圖像的空間特性，同時很好的提取了圖像的 高頻信息。在低頻處具有很好的頻率特性，在高頻處具有很好的空間選擇性。 （ 4）低通模糊子圖具有很強的相關(guān)性，在水平子帶圖像中水平方向上的相關(guān)系數(shù)和大，而垂直方向上??；在垂直子帶圖像中垂直方向上的相關(guān)系數(shù)大，而水平方向上??；然而斜子帶圖像在垂直方向和水平方向上的相關(guān)系數(shù)都小。 小波變換圖像增強原理 小波變換的多分辨率分析能夠有效地抑制噪聲，增強圖像中感興趣 的 部分， 使得 小波變換圖像增強得到了 很 廣泛的應(yīng)用。小波變換將圖像在各個尺度上分 成 低頻分量 與 水平高頻，垂直高頻 及 對角高頻四個不同的分量，經(jīng)小波變換后，根據(jù)圖 像需要增強的部分做增強處理，通過對不同方向不同位置上的某些分量改變其小波系數(shù)大小，從而放大某些感興趣的分量而抑制某些不需要的分量。在實際應(yīng)用中，通過對高頻部分分量進行變換，經(jīng)過處理 后 就能夠達到增強圖像的目的。圖 是經(jīng)過三尺度小波變換分解后圖像各個部分的分量，其中 LL 是低頻部分，它表 示 圖像的主要信息，集中了圖像的大部分能量，而 HL， LH 和 HH 都 是高頻部分，分別 表示 圖像水平方向、垂直方向 及 對角線方向的細節(jié)。如果對圖像的低頻部分繼續(xù)進一步做小波分解，就 能夠 得到多個尺度的圖像時頻信息 [4]。 圖 三級塔形分解示意圖 其中 LL 表示水平方向的低頻成分和垂直方向的低頻分量，即低頻部分； LH 表示水平方向的低 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 10 頁 共 42 頁 頻成分和垂直方向的高頻分量，即垂直邊緣信息； HL 表示水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻分量，即水平邊緣信息； HH 表示水平方向的高頻成分和垂直方向的高頻分量，即對角線方向的高頻分量。 由圖 可知，數(shù)字圖像的小波分解實質(zhì)上就是 將 圖像信號分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。每一層小波分解都將待分解的圖像分解成 4 個子帶 ，很好地分離出表示圖像的低頻信息。因此，小波變換能夠在不同的尺度上采用不同的方法來增強不同頻率范圍內(nèi)圖像細節(jié)分量，然后把處理后的系數(shù)進行小波重構(gòu)，這樣就能夠在突出圖像細節(jié)特征的同時，有效抑制噪聲對圖像的影響，使圖像輪廓更加清晰。 用 MATLAB 程序【 1】實現(xiàn) 圖像的二維小波三級分解及重構(gòu)如圖 所示： 圖 圖像的二維小波三級分解及重構(gòu) 小波變換的圖像增強的具體實現(xiàn) 非線性增強 圖像經(jīng)過小波變換后，可以分解為大小、位置和方向均不相同的分量，可以根據(jù)需要對某些部分的小波系數(shù)進行處理， 從而增強感興趣的分量，然后進行小波逆變換，得到增強后的圖像。其函數(shù)表示為： ???????????)1(),(),()1(),(),(??GjijiGGjijiWWWWinininout ??????)(|),(|)(jijijiWWWinin (31) 其中 G 是小波系數(shù)增強倍數(shù)，是小波系數(shù)閾值， ),( jiWin是圖像分解后的小波系數(shù)，),( jiWout 是圖像增強后的小波系數(shù)。 具體實現(xiàn)步驟如下 [2]： (1) 讀入原始圖像； (2) 對原始圖像進行小波分解，得到四個字帶分別是：低頻子帶 LL 和三個高頻子帶 LH、 HL、 HH(細節(jié)部分 )； (3) 對高頻系數(shù)進行非線性增強，達到去噪并增強的目的； 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 第 11 頁 共 42 頁 (4) 將處理后的兩種小波系數(shù)進行小波逆變換，從而得出增強后的圖像 (輸出圖像 )。 用 MATLAB 程序【 2】實現(xiàn)如圖 所示： 圖 非線性小波圖像增強 由圖 可知，經(jīng)過非線性小波變換增強后，圖像的對比度明顯增強，噪聲得到了有效的抑制，但同時丟失了某些細節(jié)部分的信息。