【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 , ?? ? ?Zkj ?, 為函數(shù)的 (27)式變換稱為二進(jìn)制小波變換。 二維小波變換 二維連續(xù)小波變換 若信號(hào)函數(shù) ? ? ? ? ? ?yxRLyxf , 2 ?? 為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小 波的張量積形成。 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 5 頁(yè) 共 42 頁(yè) ),(|| 1),(, a cya bxayxcba ??? ?? Rcba ?, 且 0a? (28) 若信號(hào)函數(shù) ),(),(),( 2 yxRyxf L ?? 為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成。 因?yàn)閳D像信號(hào)是一種二維信號(hào)，所以將一位小波擴(kuò)展為二維情況，便于后續(xù)的使用和分析。 d x d ya cya bxyxfacbafW ?? ??? ),(),(|| 1),)(( ?? (29) 二維離散小波變換 只要把參數(shù) a,b,c 離散化 0000020xx0 ,, cbaackcabkbaa jjj ??? ??? 為常數(shù)， Zkkj ?21, ,則有離散參數(shù)變換： ? ? ? ? ? ?d x d yckyabkxayxfakkjD P W T jjj 020xx0021 , ??? ?? ? (210) 將 x,y 離散化，即得到離散空間小波變換： ),(),(),( 0220xx1021021 1 2 cklabklallfakkjD S W Tjjl lj ??? ? ? ? Zll ?21, (211) 令 1,2 000 ??? cba ,即得到離散小波變換，表示為 : )2,2(),(2),( 22112121 1 2 klklllfkkjDWT jji ij ??? ? ? ? Zll ?21, (212) 小波變換的多分辨率分析 小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)制小波變換，在映射到計(jì)算域的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)很多問題 ，因?yàn)閮烧叨即嬖谛畔⒌娜哂?，在?duì)信號(hào)進(jìn)行采樣以后，需要計(jì)算的信息量還是相當(dāng)大的，特別是連續(xù)的小波變換，因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的位移和尺度都要做計(jì)算，所以計(jì)算量非常的大。而二進(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行平移和伸縮，但是小波之間并沒有正交性，各個(gè)分量的信息是攙雜在一起的，這為我們的分析帶來了不便。 多分辨率分析 (Multiresolution Analysis MRA)，也稱為多尺度分析，它是建立在函數(shù)空間概念上 的理論，多分辨率分析在小波變換理論中具有非常重要的地位。多分辨率分析的一系列尺度空間是由同一尺度函數(shù)在不同尺度下張成的，即一個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)多分辨率分析 [2]。 通俗地講，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近 )(2RL 。在每個(gè)空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成 了 該空間的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成 )(2RL 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果對(duì)信號(hào)在這類 函數(shù) 空間上進(jìn)行分解，就 能夠 得到互相正交的時(shí)頻特性。由于空間數(shù)目是無(wú)限可數(shù)的 ，因此 能夠 很方便地分析我們所 需要 的信號(hào)的某些特性。 對(duì)于任意函數(shù) Vtf 0)( ? ，可以將它分解為細(xì)節(jié)部分 (小波空間 )W1 與 大尺度逼近部分 (尺度空間 )V1，然后 對(duì) 大尺度逼近部分 V1 進(jìn)一步分解。這樣重復(fù)就能夠得到任意尺度上的逼近部分 與 細(xì)陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 6 頁(yè) 共 42 頁(yè) 節(jié)部分，這就是多分辨率分析的框架。每進(jìn)行一次小波分解都把輸入信號(hào)分解為低頻部分 與 高頻細(xì)節(jié)部分，而且每次的輸出采樣率都 能夠 再減半，從而保證總的輸出系數(shù)長(zhǎng)度 保持 不變，這樣就將原始 離散信號(hào)進(jìn)行了多分辨率分解。 在圖像處理中， 把二維圖像信號(hào) )(),( 22 RLyxf ? 所占的總頻帶定義為 ),()2(0 yxV 空間，用 理想的低通濾波器 h0 與 高通濾波器 h1 在行 和 列方向 對(duì) 它們分別分解成低頻部分 )()1(0 xV 與 高頻部分W)1(1 ，每一 個(gè) 方向的兩部分分別反映出該圖像信號(hào)在剖分 方向上的概貌 與 細(xì)節(jié)；對(duì)于)()( )1(1)1(0 yx VV ? 經(jīng)第二級(jí) ( 2?a )分解后又被分 解 成低頻 )()( )1(2)1(2 yx VV ? 、 垂直方向的高頻)()( )1(2)1(2 yx WV ? 、 以及對(duì)角線方向的高頻 )()( )1(2)1(2 yx WW ? ， …… , 在這種空間分 解 過程中，),)(()1( yxiiV j ? 反映的是圖 像信號(hào) 在空間 ),)(()2( 1 yxiiV j ? 中沿 i 方向的低頻子 空間，),)(()1( yxiiW j ? 反映的是圖像信號(hào)在空間 ),()2( 1 yxWj? 中沿 i 方向細(xì)節(jié)的高頻子空間。 從多分辨率分析可以看出，空間的每次分 解 包含兩 個(gè) 部分：一部分是圖像信號(hào) 經(jīng) 過低通濾波后得到的低頻概貌；另一部分是 經(jīng) 過高通濾波（小波變換）得到的圖 像高頻細(xì)節(jié)。對(duì)于低頻概貌，重復(fù)以上 的 過程，最終把圖像信號(hào)分解成多個(gè)等級(jí)的高頻細(xì)節(jié)與最后一次低通濾波后的低頻概貌之和。 下面簡(jiǎn)要介紹一下多分辨分析的數(shù)學(xué)理論。 定義：空間 )(2RL 中的多分辨分析是指 )(2RL 滿足如下性質(zhì)的一個(gè)空間序列 ??ZjjV ?： （ 1）單調(diào)性： 1?? jj VV ，對(duì)任意 Zj? （ 2）漸進(jìn)完全性： ??? jZj VI， ? ? )(2 RLVUclo sejZj ?? （ 3）伸縮完全性： 1)2()( ???? jj VtfVtf （ 4）平移不變性： jjjjj VktVtZk ?????? ?? )2()2(, 2/2/ ?? （ 5） Riesz 基存在性：存在 0)( Vt ?? ，使得 ? ?Zkktjj ??? |)2( 2/? 構(gòu)成 jV 的 Risez 基。 滿足的上述性質(zhì)稱為多尺度分析，即任意函數(shù) ,應(yīng)用多尺度分析將其分解為細(xì)節(jié)部分或是某一方向上的細(xì)節(jié)部分和的基本特征部分 ,然后將進(jìn)一步分解，可得到任意尺度下基本特征部分以及細(xì)節(jié)部分之和 。 隨著尺度的減小，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。相反，隨著尺度的增大，其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號(hào)。所以，尺度越小，尺度空間 就 越大，對(duì)應(yīng)頻率就 越高 ；反之， 尺度越大，對(duì)應(yīng)尺度空間 就 越小，頻率越低。 小結(jié) 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 7 頁(yè) 共 42 頁(yè) 本章主要介紹了小波變換的基本理論，包括小波函數(shù)及一維和二維小波變換的的基本概念，以及小波多分辨率分析的基本概念，主要介紹了幾種常用的公式及其性質(zhì)。 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 8 頁(yè) 共 42 頁(yè) Mallat 算法 1989 年 Mallat 在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號(hào)的塔式多分辨分析分解與重構(gòu)的快速算法，即著名的 Mallat 算法 [2]。 該算法在小波變換中的地位相當(dāng)于 FFT 在傅里葉變換中的地位，該算法的提出使小波理論得到了突破性的進(jìn)展，使小波分析成為近年來迅速發(fā)展起來的新興學(xué)科并得到了廣泛應(yīng)用。由于數(shù)字圖像通常用二維信號(hào)描述，因此這里只討論二維的多分辨率分析。 Mallat 給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法 —— Mallat 算法。 Mallat 算法 經(jīng) 過一組分解濾波器 H(低通濾波器 LPF)與 G(高通濾波器 HPF)對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，然后對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行下二采樣 (即 隔一取一 )來實(shí)現(xiàn)小波分解，分解的結(jié)果是產(chǎn)生長(zhǎng)度減半的兩個(gè)部分，一個(gè)是經(jīng)過高通濾波器產(chǎn)生原始信號(hào)的細(xì)節(jié)部分，另一個(gè)則是經(jīng)過低通濾波器產(chǎn)生原始信號(hào)的平滑部分。重構(gòu)時(shí) 是先 使用一組 H 和 G 合成濾波器對(duì)小波分解的結(jié)果 進(jìn)行 濾波，再進(jìn)行上二采樣 (相鄰兩點(diǎn)間補(bǔ)零 )來產(chǎn)生重構(gòu)信號(hào)。多級(jí)小波分解 是 通過級(jí)聯(lián)的方式進(jìn)行，每一級(jí)的小波變換都是在前一級(jí)分解產(chǎn)生的低頻分量上的繼續(xù)，重構(gòu)是分解的逆運(yùn)算。低頻分量上的能量集中 ， 信息豐富；高頻 分量上的細(xì)節(jié)信息豐富，信息分量多為零，能量較少 [3]。按照 Mallat 的快速算法，圖像小波分解如圖 所示，圖像小波分解的重構(gòu)算法如圖 所示。 圖 圖像小波分解算法 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 9 頁(yè) 共 42 頁(yè) 圖 圖像小波分解的重構(gòu)算法 圖像經(jīng)過小波變換后，能夠得到良好的空間 頻率多分辨率表示，小波變換具有以下 4 個(gè) 主要特征： （ 1）原始圖像的能量主要集中在低頻子帶圖像。 （ 2）小波分量具有方向選擇性，分為三個(gè)部分水平、垂直、對(duì)角，這些特性都和人類的視覺特性相吻合。 （ 3）不僅保持原圖像的空間特性，同時(shí)很好的提取了圖像的 高頻信息。在低頻處具有很好的頻率特性，在高頻處具有很好的空間選擇性。 （ 4）低通模糊子圖具有很強(qiáng)的相關(guān)性，在水平子帶圖像中水平方向上的相關(guān)系數(shù)和大，而垂直方向上??；在垂直子帶圖像中垂直方向上的相關(guān)系數(shù)大，而水平方向上??；然而斜子帶圖像在垂直方向和水平方向上的相關(guān)系數(shù)都小。 小波變換圖像增強(qiáng)原理 小波變換的多分辨率分析能夠有效地抑制噪聲，增強(qiáng)圖像中感興趣 的 部分， 使得 小波變換圖像增強(qiáng)得到了 很 廣泛的應(yīng)用。小波變換將圖像在各個(gè)尺度上分 成 低頻分量 與 水平高頻，垂直高頻 及 對(duì)角高頻四個(gè)不同的分量，經(jīng)小波變換后，根據(jù)圖 像需要增強(qiáng)的部分做增強(qiáng)處理，通過對(duì)不同方向不同位置上的某些分量改變其小波系數(shù)大小，從而放大某些感興趣的分量而抑制某些不需要的分量。在實(shí)際應(yīng)用中，通過對(duì)高頻部分分量進(jìn)行變換，經(jīng)過處理 后 就能夠達(dá)到增強(qiáng)圖像的目的。圖 是經(jīng)過三尺度小波變換分解后圖像各個(gè)部分的分量，其中 LL 是低頻部分，它表 示 圖像的主要信息，集中了圖像的大部分能量，而 HL， LH 和 HH 都 是高頻部分，分別 表示 圖像水平方向、垂直方向 及 對(duì)角線方向的細(xì)節(jié)。如果對(duì)圖像的低頻部分繼續(xù)進(jìn)一步做小波分解，就 能夠 得到多個(gè)尺度的圖像時(shí)頻信息 [4]。 圖 三級(jí)塔形分解示意圖 其中 LL 表示水平方向的低頻成分和垂直方向的低頻分量，即低頻部分； LH 表示水平方向的低 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 10 頁(yè) 共 42 頁(yè) 頻成分和垂直方向的高頻分量，即垂直邊緣信息； HL 表示水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻分量，即水平邊緣信息； HH 表示水平方向的高頻成分和垂直方向的高頻分量，即對(duì)角線方向的高頻分量。 由圖 可知，數(shù)字圖像的小波分解實(shí)質(zhì)上就是 將 圖像信號(hào)分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。每一層小波分解都將待分解的圖像分解成 4 個(gè)子帶 ，很好地分離出表示圖像的低頻信息。因此，小波變換能夠在不同的尺度上采用不同的方法來增強(qiáng)不同頻率范圍內(nèi)圖像細(xì)節(jié)分量，然后把處理后的系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，這樣就能夠在突出圖像細(xì)節(jié)特征的同時(shí)，有效抑制噪聲對(duì)圖像的影響，使圖像輪廓更加清晰。 用 MATLAB 程序【 1】實(shí)現(xiàn) 圖像的二維小波三級(jí)分解及重構(gòu)如圖 所示： 圖 圖像的二維小波三級(jí)分解及重構(gòu) 小波變換的圖像增強(qiáng)的具體實(shí)現(xiàn) 非線性增強(qiáng) 圖像經(jīng)過小波變換后，可以分解為大小、位置和方向均不相同的分量，可以根據(jù)需要對(duì)某些部分的小波系數(shù)進(jìn)行處理， 從而增強(qiáng)感興趣的分量，然后進(jìn)行小波逆變換，得到增強(qiáng)后的圖像。其函數(shù)表示為： ???????????)1(),(),()1(),(),(??GjijiGGjijiWWWWinininout ??????)(|),(|)(jijijiWWWinin (31) 其中 G 是小波系數(shù)增強(qiáng)倍數(shù)，是小波系數(shù)閾值， ),( jiWin是圖像分解后的小波系數(shù)，),( jiWout 是圖像增強(qiáng)后的小波系數(shù)。 具體實(shí)現(xiàn)步驟如下 [2]： (1) 讀入原始圖像； (2) 對(duì)原始圖像進(jìn)行小波分解，得到四個(gè)字帶分別是：低頻子帶 LL 和三個(gè)高頻子帶 LH、 HL、 HH(細(xì)節(jié)部分 )； (3) 對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行非線性增強(qiáng)，達(dá)到去噪并增強(qiáng)的目的； 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 11 頁(yè) 共 42 頁(yè) (4) 將處理后的兩種小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，從而得出增強(qiáng)后的圖像 (輸出圖像 )。 用 MATLAB 程序【 2】實(shí)現(xiàn)如圖 所示： 圖 非線性小波圖像增強(qiáng) 由圖 可知，經(jīng)過非線性小波變換增強(qiáng)后，圖像的對(duì)比度明顯增強(qiáng)，噪聲得到了有效的抑制，但同時(shí)丟失了某些細(xì)節(jié)部分的信息。