【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： ()其重構(gòu)公式為： ()C是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。由于圖像是二維信號(hào)，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個(gè)二維信號(hào)，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)： （） （） （）這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對(duì)這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級(jí)平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對(duì)應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個(gè)方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個(gè)方向的高頻分量。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對(duì)圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個(gè)低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個(gè)高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時(shí)只對(duì)子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，和，分辨率為原來的1/4，頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個(gè)子帶，進(jìn)行M次分解就得到3 M+1個(gè)子帶。 圖像的三級(jí)小波分解圖小波包分析是從小波分析延伸出來的的一種對(duì)信號(hào)進(jìn)行更加細(xì)致的分析與重構(gòu)的方法。小波包分析不但對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分作更加細(xì)致的刻畫，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)。設(shè){Vj。j∈Z}(是整數(shù)集)構(gòu)成 L2(R)上的正交多分辨分析，其尺度函數(shù)和對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)分別是φ(t)與Ψ(t)，它們滿足以下雙尺度差分方程： （）其中系數(shù){hn}與{gn}滿足條件： （）根據(jù)正交小波的定義，{φ(tn)；n∈Z}與Ψ{(tn)；n∈Z}構(gòu)成V0與W0的正交基。對(duì)固定尺度情形，定義一列遞歸函數(shù)如下： （）稱由()式確定的函數(shù)序列{Hm(t)} n∈Z為由H0=φ確定的正交小波包。①小波包的分解算法： （）實(shí)際上，如果將原始信號(hào)f(t)在小波包空間和上的正交投影分別記為gj2l和gj2l+1(t)，那么gj2l(t)在相應(yīng)的特定小波包基{u2l，j，n(t)；n∈z}下展開的系數(shù)正好是{d(2l)j,n；n∈z}；而gj(2l+1)(t)在小波包基{u2l+1 ，j，n(t)；n∈z}下展開的系數(shù)正好是{d(2l+1)j,n；n∈z}；②小波包的合成算法： （）合成所得的結(jié)果，實(shí)際上是原始信號(hào) f(t)在小波包空間上的正交投影 g(l)j(t)在基{uI,j+1,n(t)。n∈z}下的系數(shù)。從小波包消噪處理的方法上來說，一般有以下3種處理方法： l 強(qiáng)制消噪處理：該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，然后再對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理。該方法比較簡(jiǎn)單，且重構(gòu)后的信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成份。 l 默認(rèn)閾值消噪處理：該方法利用ddencmp()函數(shù)產(chǎn)生信號(hào)的默從閾值，然后利用wdencmp()函數(shù)進(jìn)行消噪處理。l 給定軟(或硬)閾值進(jìn)行消噪處理：該方法利用實(shí)際消噪處理過程中的經(jīng)驗(yàn)公式給出閾值，往往比默認(rèn)閾值更具有可信度。 目前大多數(shù)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，輸入圖像都是采用先凍結(jié)再掃描方式將多維圖像變成一維電信號(hào)，再對(duì)其進(jìn)行處理、存儲(chǔ)、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q。最后往往還要在組成多維圖像信號(hào)，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。噪聲對(duì)圖像信號(hào)幅度、相位的影響非常復(fù)雜，有些噪聲和圖像信號(hào)是相互獨(dú)立不相關(guān)的，而有些則是相關(guān)的，并且噪聲本身之間也可能相關(guān)。因此要有效降低圖像中的噪聲，必須針對(duì)不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。一般圖像去噪中常見的噪聲有以下幾種：1） 加性噪聲：加性噪聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的，如圖像在傳輸過程中引進(jìn)的“信道噪聲”電視攝像機(jī)掃描圖像的噪聲等。這類帶有噪聲的圖像可看成是理想的沒有被噪聲“污染”的圖像與噪聲的和，即： （）2） 乘性噪聲：圖像的乘性噪聲和圖像的加性噪聲是不一樣的，加性噪聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的，而乘性噪聲和圖像信號(hào)是相關(guān)的，往往隨著圖像信號(hào)的變化而發(fā)生變化，如飛點(diǎn)掃描圖像中的噪聲、電視掃描光柵、膠片顆粒噪聲等，這類噪聲和圖像的關(guān)系是： （） 3） 量化噪聲：量化噪聲是數(shù)字圖像的主要噪聲源，它的大小能夠表示出數(shù)字圖像和原始圖像的差異程度，有效減少這種噪聲的最好辦法就是采用按灰度級(jí)概率密度函數(shù)選擇量化級(jí)的最優(yōu)量化措施。4） “椒鹽”噪聲：此種噪聲很多，例如在圖像切割過程中引起的黑圖像上的白點(diǎn)、白圖像上的黑點(diǎn)噪聲等，還有在變換域引入的誤差，在圖像反變換時(shí)引入的變換噪聲等。實(shí)際生活中還有多種多樣的圖像噪聲，如皮革上的疤痕噪聲、氣象云圖上的條紋噪聲等。這些噪聲一般都是簡(jiǎn)單的加性噪聲，不會(huì)隨著圖像信號(hào)的改變而改變。這為實(shí)際的去噪工作提供了依據(jù)。在圖像去噪的處理中，常常需要評(píng)價(jià)去噪后圖像的質(zhì)量。這是因?yàn)橐粋€(gè)圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量好壞，對(duì)于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。目前對(duì)圖像的去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)主要有兩類常用的方法：一類是人的主觀評(píng)價(jià)，它由人眼直接觀察圖像效果，這種方法受人為主觀因素的影響比較大。目前由于對(duì)人的視覺系統(tǒng)性質(zhì)還沒有充分的理解，對(duì)人的心理因素還沒有找到定量分析方法。因此主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還只是一個(gè)定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的視覺特性。另一類是圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)。它是一種數(shù)學(xué)上統(tǒng)計(jì)的處理方法，其缺點(diǎn)是它并不是總能反映人眼的真實(shí)感覺。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮。（1）主觀評(píng)價(jià)主觀評(píng)價(jià)通常有兩種：一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是由選定的一組人對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對(duì)所觀察的圖像的質(zhì)量好或壞的評(píng)價(jià)，再綜合全組人的意見給出一個(gè)綜合結(jié)論。它只是一種定性的方法，沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評(píng)判方法來盡量減少主觀因素的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像質(zhì)量近似定量的評(píng)價(jià)，不過它仍然沒有完全消除主觀不確定性的影響，其定量計(jì)算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗(yàn)確定。國際上通行的有5級(jí)評(píng)分的質(zhì)量尺度和妨礙尺度。 圖像主觀評(píng)價(jià)尺度評(píng)分表效果得分質(zhì)量尺度妨礙尺度5非常好絲毫看不出圖像質(zhì)量變壞4好能看出圖像質(zhì)量變壞，不妨礙觀看3一般能清楚地看出圖像質(zhì)量變壞，對(duì)觀看稍有妨礙2差對(duì)觀看有妨礙1非常差非常嚴(yán)重地妨礙觀看這些都是由觀察者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)來對(duì)被評(píng)價(jià)圖像做出質(zhì)量判斷。在有些情況下，也可以提供一組標(biāo)準(zhǔn)圖像作為參考，幫助觀察者對(duì)圖像質(zhì)量做出合適的評(píng)價(jià)。一般來說，對(duì)非專業(yè)人員多采用質(zhì)量尺度，對(duì)專業(yè)人員則使用妨礙尺度為宜。（2）客觀評(píng)價(jià) 盡管主觀對(duì)去噪后圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場(chǎng)合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對(duì)去噪圖像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)由于著眼點(diǎn)不同而有多種方法，這里介紹的是一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測(cè)量。對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問題。目前應(yīng)用得較多的是對(duì)黑白圖像逼真度的定量表示。合理的測(cè)量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。l 均方誤差： （）l 信噪比： （）其中表示重建恢復(fù)后圖像像素的灰度值，表示原始圖像各點(diǎn)的灰度值；表示重建恢復(fù)后圖像灰度值的方差。l 峰值信噪比： （）式中表示處理后的圖像的灰度，表示原始圖像的灰度，表示圖像像素的個(gè)數(shù)。單位為dB。在實(shí)際應(yīng)用中，峰值信噪比是圖像處理中最常用的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的客觀標(biāo)準(zhǔn)。第三章 系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)MATLAB中實(shí)現(xiàn)了二維小波包分解以及提取小波包分解樹結(jié)點(diǎn)系數(shù)。① 二維小波包分解函數(shù)T=wpdec2（X,N,’wname’,E,P）返回矩陣X利用小波包’wname’進(jìn)行N層分解的小波包樹T。它