反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-23 01:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????? 20221 ??????xxxdf這就證明了，對于 .,0211ts??????? .?????201???xxdf根據(jù)無窮積分的Cauchy準(zhǔn)則， 發(fā)散，這與題設(shè) ???xadF??? 當(dāng)命題的結(jié)論中帶有“不存在”或者類似的帶有否定意味的詞臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8時，反證法相對直接證證法比較好證.例 3 證明Dirichlet函數(shù) D（x）= ?QxR?,1/0在任何點處無極限. 證 反設(shè)在點 ，???)(lim0,0，則存在a的開領(lǐng)域 .于是， 時，1???U?, ??????0,x當(dāng)D(x) U(a).當(dāng)然D（x） .但因Q在R中是稠密的，必有1?所以，,??????tsQx， 1=D（ ） U(a),這與1 U（a）相矛盾.?例 4 設(shè)F在區(qū)間 上可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù) 無第一類間斷點.??b, f?證法1 假設(shè) 為 的第一類間斷點，則 與 存在極限，因為F0x??f? ???0x??0f在點 處可導(dǎo)，故F在點 ，有00x = = = = .??f??f?0f???0xf????0f所以， 在點 處連續(xù)，這與 為 ?0xx證法2 假設(shè) 為 的第一類間斷點，則 與 存在極限，且??f? ??0xf????0f（或 ）.不失一般性，設(shè) .對??00xff???? 00x?? x??0?0， 時，?? 0,????當(dāng) ，???????????? 00021xffxff? .????????????? 000010 fffffxf任取 ，則 .在 中無 ，.??01,????????12xx??1,x?，這與Darboux定理（導(dǎo)函數(shù)介值定理）的結(jié)果相矛???????? 02fxff?盾.例 5 不存在函數(shù)F：R R，在所有無理點不連續(xù)，而在所有有理點連續(xù).?證法1 假設(shè)存在函數(shù)F：R R在所有無理點不連續(xù)，而在所有有理點連續(xù).臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 9令 .???????????nxwxfREfn 1的 振 幅在顯然， 為閉集且 為內(nèi)點。另一方面，設(shè)可數(shù)集Q=nQ/ Q= ,則獨點集 ，??.,21nr?nr R=Q .????????????????????11/nnER，R為內(nèi)點，這與R中任一點都為內(nèi)點相矛盾.證法2 假設(shè)存在函數(shù)F：R R在所有無理點不連續(xù)，而在所有有理點連續(xù).?設(shè)Q= ,取 ，因F在 處連續(xù)，故??.,1nr?1*1/rQ?*1r，2 ，且有??,.0???????ts? .????1*1*1,????rxrfx再取 .????*21*1*2 ,rr??由F在 處連續(xù)知， ???,???21*1**212 , ??????rrr且有 .???2*2*2*,???rxfx如此下去，可取 ??????*111*1* ,.,./, ?????nnnnn rQrr??再由F在 處連續(xù)知， ，.*nr0??? ??nnnnrr??**1*1,1 ,.,. ??,211n?????且有 .???nnnrxrfx???***,21根據(jù)閉區(qū)間套原理知， .易見，點 為無理點，且??????10?0x，即F在無理點 處連續(xù)，這與假設(shè)矛盾.?0wf 0例 6 設(shè)m,n 0，證明 +mx+n=0不存在實數(shù)根.?3x例 7 方程 3x+m=0（m為常數(shù)）在 ??,臨沂大學(xué)理學(xué)院
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