【文章內(nèi)容簡介】 過對圖像像素的灰度值進(jìn)行運算，達(dá)到平滑圖像的效果。平均濾波是以點鄰域像素灰度平均值來代替該點的灰度值，而中值濾波則以點鄰域像素灰度值中值來代替該點的灰度值 ， 因此，對于隨機(jī)噪音的抑制能力，中值濾波器的性能要比均值濾波器的差些。但對于脈沖干擾來講，特別是脈沖寬 度小于濾波器的窗口寬度一半，中值濾波還是很有效的。不過，他們在平滑圖像的同時亦會使圖像輪廓變得模糊，它們的噪音平滑效果與窗口的寬度有關(guān)，窗口寬度越寬，噪音平滑效果越好，但圖像就越模糊，這個矛盾難于解決，也是均值濾波和中值濾波的缺點。 基于頻域的處理方法主要是用濾波器，把有用的信號和干擾信號分開，它在有用信號和干擾信號的頻譜沒有重疊的前提下，才能把有用信號和干擾信號完全區(qū)別開來 。 但在實際的情況 中 ，有用信號和 干 擾信號的頻譜往往是重疊的，因為無論是高斯白噪聲還是脈沖干擾，它們的頻譜幾乎都是分布在整個頻域。而圖像19 的 像素灰度一般是光滑的，只有在圖像輪廓細(xì)節(jié)處像素才會突變，所以可以用具有低通的濾波對圖像進(jìn)行平滑，不過在平滑的同時亦會使圖像變得模糊。這是用低通濾波器對圖像進(jìn)行平滑難于解決的矛盾。如果要噪聲平滑效果好，必然會引起圖像模糊，要圖像輪廓清晰，噪聲平滑效果必然不好。在使用時，必須權(quán)衡得失，在兩者中選擇其一。各種低通濾波器的性能比較如表 21所示 : 表 21 各種低通濾波器的性能比較 振鈴程度 圖像模糊程度 噪聲平滑程度 理想低通濾波器 嚴(yán)重 嚴(yán)重 最好 巴特沃斯濾波器 無 很輕 一般 指數(shù)低通濾波 器 無 較輕 一般 由上述經(jīng)典去噪方法要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開。這兩類消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊 [9]。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。小波分析由于在時域頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點，能有效地把信號和噪聲區(qū)別開來，因此不僅能滿足各種去噪要求如低通、高通、陷波、隨機(jī)噪音的去除等，而且與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無可比擬的優(yōu)點，成為信號分析的一個強(qiáng)有力的工具，被譽為分析信號的數(shù)學(xué)顯微鏡。 小波去噪 近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。 20 小波去噪 的 發(fā)展歷程 1992年， Donoho 和 oJhnostne提出了小波 閾 值收縮方法 (Wavelet Shrinkage)，同時還給出了小波收縮閾值 ?? Nln2? ，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾 值的上限 [11]。以上小波收縮算法的一個嚴(yán)重的缺陷是 :在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )。而在實際應(yīng)用中噪聲大小是無法預(yù)先知道的，于是 Maarten Jasen 等提出了 GCV(generalized cross validation)方法 [12]，這種方法無需知道噪聲大小的先驗知識，較好地解決了這一問題。另外，由于Donoho和 Johnstone 給出的閾值有很嚴(yán)重的 “ 過扼殺 ” 小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對 閾 值的選擇進(jìn)行了研究 [20 一 30]，并提出了多種不同的閾值 確定方法。后來，人們針對 閾值 函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的 閾值 [1316]；但是當(dāng)這些方法用到非高斯、有色噪聲場合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨立同分布噪聲的假設(shè)，并且這些方法大多是從 Donoho和Johnstone給出的方法發(fā)展而來的，從而它們最后的去噪性能也依賴于用wavelet shrinkage 確定 閾值 時，對噪聲服從獨立正態(tài)分布的假設(shè)。對此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的 閾值 選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更 嚴(yán)重 的噪聲情 況下的小波去噪問題，并給出了顯式的 閾值 公式 [17]。 目前，基于 閾 值收縮的小波去噪方法的研究仍然非常活躍，近來仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號的先驗信息 [18]，并用這些信息來確定更合適的 閾值 或 閾值 向量，以達(dá)到更高的去噪效率 。 另外，除了 閾 值收縮方法外， Kivnac， John和 Xu等人還提出了不同的去噪方法 [l9]，例如利用 LiPschitz指數(shù)的方法和基于最大后驗概率 MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。 在數(shù)學(xué)上， 小波去噪問題的本質(zhì)是一個函數(shù)逼近問題，即如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。這個問題可以表述為： ? ?? ?sopt ff ?? ?? m ina r g 21 ? ?? ?代表最優(yōu)解o p tff optopt ?? 為噪聲圖像為原圖像 nsns fffff ,?? ? ? ? ?? ?Jj Jjs pa nWffI 212 ,?? ??? ，為實際圖像 ? ?的函數(shù)空間影射為 WIT ?? ?? 由此可見，小波去噪方法也就是尋找實際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。從信號的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見，小波實際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖 22所示。 圖 22 小波去噪的等效框圖 在早期，人們通過對邊緣進(jìn)行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。在這一點上，雖然這種方法同小波去噪很相似， 但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因為小波變換的多分辨率特性，小波變化后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 ) 處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。相對早期的方法而言，小波噪聲對邊緣等特征的提取和保護(hù)是有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的，因而便于系統(tǒng)的理論分析。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。早期的小波去噪工作類似有損壓縮技術(shù)，即先對含噪信號進(jìn)行正交小波變換，再選定一個固定的閾值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn) 行小波重構(gòu)恢復(fù)原信號，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗和實際應(yīng)用 [2428]。 22 1992年，由 和 Zhong提出了小波模極大值方法 [40]，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計算機(jī)自動實現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高 47dB。由于受到各種因素的干擾，這種跟蹤是很困難的，在實際工作中需要一些經(jīng)驗性的判據(jù)。奇異點重建信號分為過零點重建小波變換和模極大值重建小 波變換，其缺點 :用過零點或極大值來重建信號只是一種逼近，結(jié)果不太精確。 1995年， Stanford 大學(xué)的學(xué)者 和 波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理來恢復(fù)噪聲中的信號 [2427]，稱為 “ 小波收縮 ” 。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。他們算法的去噪效果超過了一般的線性去噪技術(shù)，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大小，換句話說，是取決于帶噪信號的信噪比的。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非 線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。有文獻(xiàn)表明 [34]，與 Mallat 的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號的信噪比提高 10dB以上，實驗結(jié)果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實現(xiàn)起來更為簡單。 這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。比較有影響的方法有： Eero moncelli 和 E 提出的基于最大后驗概率的貝葉斯估計準(zhǔn)則確定小波閾值的方法 [31]。 Elwood ，提出了三種基于小波相位去噪方 法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動閾值法 [32]；學(xué)者 Kozaitis 結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點，提出對一維信號進(jìn)行去噪和信號重建的基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法 [33]； GCV(general cross validation)法對圖像進(jìn)行去噪 [34]. Woolsey等提出結(jié)合維納濾波器和小波閾值的方法對信號進(jìn)行去噪 [35],VasilyStrela 等人將一類新的特性良好多小波 (約束對 )應(yīng)用于圖像去噪的方法 [34]，這 些方法均取得了良好的效果，對發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 小波去噪方法 小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波23 變換模極大值的方法去噪、利用信號小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波 閾值 方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來主要有三類 :模極大值檢測法、 閾值 去噪法和屏蔽 (相關(guān) )去噪法。其中最常用的就是 閾值 法去噪，本文主要研究 閾 值去噪。 第 三 章 小波變換理論基礎(chǔ) 從傅里葉變換到小波變換 傅立葉變換是 一個強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號 ??xf的傅立葉變換 ? ? ? ? dxexfwF iwx???????表示信號的頻譜。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號分析和信號處理中的獨特地位。傅立葉變換用在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅24 立葉級數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函數(shù)作頻譜分析，反映了整個信號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號的特征。從數(shù)學(xué)角度來看，傅立葉變換是通過一個基函數(shù)的整數(shù)膨脹而 生成任意一個周期平方可積函數(shù)。通過傅立葉變換，在時域中連續(xù)變化的信號可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號，因此傅立葉變換反映的是整個信號在全部時間下的整體頻域特征，但不能反映信號的局部特征。 傅立葉變換有如下不足： （ 1） 當(dāng)我們將一個信號變換到頻域的時候，其時間上的信息就失去了。當(dāng)觀察一個信號的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時發(fā)生； （ 2） 為了從模擬信號中提取頻譜信息，需要取無限的時間量，使用過去的和將來的信號信息只是為了計算單個頻率的頻譜； （ 3） 因為一個信號的頻率與它的周期長度成反比 ， 對于高頻譜的信息，時間間隔 要相對較小以給出比較好的精度 。 而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對較寬以給出完全的信息，亦即需要一個靈活可變的時間 — 頻率窗，使在高 “ 中心頻率 ” 時自動變窄，而在低 “ 中心頻率 ” 時自動變寬，傅立葉變換無法達(dá)到這種要求，它只能作全局分析，而且只對平穩(wěn)信號的分析有用。 但是，在實際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨著時間的變化而改變，這時傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。為此， 1946 年提出了著名的 Gabor 變換，之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時傅立葉變換 (Short Time Fourier Trans form)，簡記為 STFT，又稱窗口傅立葉變換。窗口傅立葉變換 (STFT)克服了傅立葉變換不能同時進(jìn)行時間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。其主要特點是：用一窗口函數(shù) ? ???tg 對信號 ??xf 作乘積運算，實現(xiàn)在τ 附近平穩(wěn)和開窗，然后再進(jìn)行傅立葉變換。其變換如下： ? ? ? ? ? ? dtetgtfwGf wtj ??? 2, ????? ?? (31) 由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關(guān)而保持不變，在實際應(yīng)用中也存在其局限性。主要有兩方面：一是因為高頻信號一般 持續(xù) 時間短，而低頻信號持續(xù)時間長，因此需 對 高頻信號采用小時窗，對低頻25 信號采用大時窗。二是在進(jìn)行數(shù)值計算時，為了便于計算，需對基函數(shù)進(jìn)行離散化，但 Gabor基無論怎樣離散都不能組成一組正交基，因此會給計算帶來不便。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應(yīng)特性和平穩(wěn)功能， 1984年，法國地球物理學(xué)家 移來展開。之后，他與 ，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個信號可分解成對空間和尺度的貢獻(xiàn)。 1985年， YMeyer,與 Daubechies共同尋找了連續(xù)小波空間的一個離散子集，得到了一組離散的小波基 (稱為小波框架 )。 1986年 ，由 發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成希爾伯特空間的規(guī)范正交基，從而證明了小波正交系的存在。 1987 年， Mallat將計算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法 — Mallat算 法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構(gòu)造。小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功 地 應(yīng)用，特別是小波變換