【文章內(nèi)容簡介】 波變換就是將圖像分解為不同尺度上的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，噪聲一般主要集中在高頻系數(shù)中，當(dāng)通過對高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可達(dá)到降低噪聲的目的。用小波分析進(jìn)行的圖像去噪主要有3個(gè)步驟:(1)對圖像信號進(jìn)行小波分解。(2)對經(jīng)過多尺度分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。(3)小波逆變換重構(gòu)信號。小波變換是一種去相關(guān)變換，經(jīng)小波變換后，信號能量主要集中于少數(shù)幅值較大的小波系數(shù)上，而噪聲能量則均勻分布于大部分幅值較小的小波系數(shù)上,即比較大的小波系數(shù)一般以實(shí)際信號為主，而比較小的小波系數(shù)則很大程度上是噪聲。因此，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的有用信息，應(yīng)該予以保留，同時(shí)在高頻分量中，一些絕對值較大的重要的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應(yīng)予以保留。因此可以通過設(shè)定合適的閾值，將絕對值小于閾值的小波系數(shù)置零，而保留絕對值大于閉值的小波系數(shù)。小波變換去噪，在基于變換域的圖像去噪中應(yīng)用十分廣泛。小波去噪方法的成功主要得益于小波具有的如下特點(diǎn)：低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低，熵越低，信息的規(guī)律性越強(qiáng)。多分辨率。由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻畫信號非平穩(wěn)特征，如邊緣，尖峰，斷點(diǎn)等。去相關(guān)性。小波變換可以對信號進(jìn)行去相關(guān)性，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時(shí)域更利于去噪。選基靈活性。小波變換可以靈活選擇變換基，可以根據(jù)信號的特點(diǎn)和降噪要求，選用多帶小波，小波包等。在不同場合，可以選擇不同的小波基函數(shù)。目前，基于小波變換的圖像去噪方法大致可以分為三大類：模極大值法、相關(guān)法和閉值法。在眾多的小波去噪的方法中，運(yùn)用最廣泛的就是小波閾值去噪法。小波閾值去噪法最早是由Donoho和johnstone提出的。模極大值去噪法。模極大值去噪法最早是由Mallat提出的。由于信號和噪聲在小波變換中有著不同的傳播特性，即隨著尺度的增大，信號所對應(yīng)的模極大值將增大或保持不變，而噪聲所對應(yīng)的模極大值將減小。因此，連續(xù)做若干次小波變換之后，噪聲對應(yīng)的模極大值己經(jīng)基本去除或者幅值很小，其余極值點(diǎn)主要由信號控制。模極大值去噪法就是利用上述信號和噪聲在不同尺度上的模極大值的不同傳播特性，從所有小波變換模極大值中選擇信號的模極大值而去除噪聲的模極大值，然后利用剩余的小波變換模極大值重構(gòu)出原始信號。相關(guān)系數(shù)法。信號或圖像邊緣在各尺度相應(yīng)位置上的小波系數(shù)之間往往具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)則具有弱相關(guān)或不相關(guān)的特點(diǎn)，相關(guān)法就是根據(jù)此原理來去除噪聲的。例如，Xu等人提出了一種SSNF方法，該方法就是利用了信號和噪聲在小波域內(nèi)的不同相關(guān)特性，通過計(jì)算和比較相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性大小，來判別小波系數(shù)的類型，從而進(jìn)行取舍的。小波閾去噪法。在眾多的小波去噪的方法中,運(yùn)用最廣泛的就是小波閾值法。小波閡值去噪法最早是由Donoho和Johnstone提出的，它主要基于以下事實(shí)：小波變換是一種去相關(guān)變換，經(jīng)小波變換后，信號能量主要集中于少數(shù)幅值較大的小波系數(shù)上，而噪聲能量則均勻分布于大部分小波系數(shù)上，即比較大的小波系數(shù)一般以實(shí)際信號為主，而比較小的小波系數(shù)則很大程度上是噪聲。因此，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的有用信息，應(yīng)該予以保留同時(shí)在高頻分量中，一些絕對值較大的重要的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應(yīng)予以保留。因此可以通過設(shè)定合適的閉值，將絕對值小于闌值的小波系數(shù)置零，而保留絕對值大于閉值的小波系數(shù)。 當(dāng)然小波去噪的缺點(diǎn)也顯而易見，高頻分量中也含有有用的部分，他們有時(shí)將和噪聲一起，由于閾值的處理而使系數(shù)歸零。這樣做的現(xiàn)實(shí)后果就是去噪后的圖像細(xì)節(jié)會顯模糊，從而影響圖像質(zhì)量。 本節(jié)首先介紹了傳統(tǒng)的濾波器圖像去噪法，分別對均值濾波，自適應(yīng)維納濾波，中值濾波和形態(tài)學(xué)濾波器的原理和特點(diǎn)做簡要的概述。隨后又對現(xiàn)在比較流行的小波去噪理論做一簡短的研究。3 圖像的稀疏表示理論隨著科技的發(fā)展，特別是隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)的發(fā)展，諸多領(lǐng)域均面臨著日益膨脹的大量數(shù)據(jù)，例如地震數(shù)據(jù)、地球物理數(shù)據(jù)、音頻數(shù)據(jù)、天文數(shù)據(jù)、工業(yè)控制數(shù)據(jù)、基因數(shù)據(jù)等等Error! Reference source not found.。如何對這些龐大的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)靈活和自適應(yīng)的表達(dá)逐漸成為人們關(guān)注的問題之一。圖像信息的“有效”表示是圖像去噪等處理任務(wù)的基礎(chǔ)?！坝行А北硎臼侵改軌蛴幂^少的系數(shù)捕獲感興趣目標(biāo)重要信息的能力，即稀疏表示能力。所謂的稀疏表示就是用一種包含原信號原子的冗余字典，通過稀疏線性組合的原子來恢復(fù)表示出這些原信號。信號的分解變換方法一般有傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換、離散余弦變換、小波變換等，這些變換通常是根據(jù)信號本身的特點(diǎn)，將其分解在一組完備的正交基上,達(dá)到在這些變換域上表達(dá)信號的目的，這就是所謂的信號表示，這樣的信號表示的共同特征是，表示形式唯一。但是,如果某種信號的特征與基函數(shù)不完全匹配，則所獲得的分解結(jié)果就不一定是信號的稀疏表示了。而圖像的稀疏表示的目的是追求一種算法，這種算法是通過遵照給定的一種字典來分析信號：設(shè)計(jì)這種字典來分析模型的方法是選擇一種預(yù)編輯的線性變換，或者選擇一套適應(yīng)字典的“訓(xùn)練信號”[2]。這樣研究冗余字典的算法就是稀疏表示的核心內(nèi)容，也是本課題主要的研究方向和要解決的問題。利用超完備字典的冗余性可以有效地捕捉圖像的各種結(jié)構(gòu)特征，從而實(shí)現(xiàn)圖像的有效表示。當(dāng)前稀疏表示的理論研究主要集中在稀疏分解算法和字典構(gòu)造算法兩方面。本課題主要研究基于超完備稀疏表示的去噪方法，該方法利用圖像在超完備字典上的自適應(yīng)稀疏分解，實(shí)現(xiàn)圖像去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了本文所提方法的有效性。 設(shè)數(shù)字圖像，其大小為，字典為個(gè)維單位長度向量，的集合，即 (31)其中的每個(gè)元素稱為字典原子。再給定字典時(shí)，我們可以將圖像分解為該字典中各原子的線性組合形式： (32)也可以采用逼近形式分解為： (33) 其中，為圖像在字典下的分解系數(shù)，是經(jīng)過項(xiàng)逼近后的殘差項(xiàng)。如果字典中原子能夠張成維歐式空間，即，則稱是完備的字典。當(dāng)原子個(gè)數(shù)時(shí)，字典是冗余的，如果同時(shí)還能張成維歐式空間，則稱此時(shí)的字典是過完備的，在這種字典基礎(chǔ)上的分解系數(shù)是不唯一的，我們可以根據(jù)需要選擇最合適的表示系數(shù)。一般來說，可以從眾多的分解系數(shù)中選取最稀疏的系數(shù)，可采用范數(shù)進(jìn)行度量，可以建立如下的圖像過完備稀疏表示模型： (34)式中是的范數(shù)，表示非零元素個(gè)數(shù)。 如果將字典中所有原子按列向量依次排列,則構(gòu)成一個(gè)的矩陣，仍記為，也稱為字典。此時(shí)，原稀疏表示模型可改寫為如下的矩陣形式： (35)上式中，如果系數(shù)只有少量的非零元素，則表示是稀疏的。但是求稀疏解需要有一個(gè)定量的唯一性，如果稀疏解滿足，則該解為稀疏解且為唯一的，其中定義為字典中任意一組原子線性相關(guān)時(shí)所需要的最小數(shù)。在現(xiàn)實(shí)中對于一個(gè)含噪圖像，并不要求完全精確的重構(gòu)表示，因此，求一個(gè)近似的稀疏解即求一個(gè)逼近過程： (36)其中為一正常數(shù)，當(dāng)其為零時(shí)為最優(yōu)稀疏解。但是由于范數(shù)的非凸性，對于上式來說求唯一解是個(gè)NP難題。因此很多學(xué)者提出了有效的稀疏分解算法。（MP算法） 設(shè)表示一有效信號，字典是由個(gè)范數(shù)為1的向量形成的字典，為可數(shù)個(gè)原子的指標(biāo)集（可數(shù)集），集合中元素個(gè)數(shù)為。該字典包含個(gè)線性無關(guān)的向量，這個(gè)向量構(gòu)成長度為的信號空間的一組基。算法首先將信號投影到一個(gè)向量，并計(jì)算余項(xiàng),得 (37) 也可寫作： (38) 為了使上式第一項(xiàng)極大，第二項(xiàng)極小。我們可以找到使之在計(jì)算上最優(yōu)化： (39) 其中看作為最佳因子。所謂追蹤法就是對余項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)一步的分解和迭代的過程。若設(shè)第個(gè)余項(xiàng)為，則類似于（37）（39），我們有： (310) (311) (312) 最后我們把(311)(312)式均對m從0到求和，得