【文章內容簡介】 傳統(tǒng)的去噪方法主要有： 1 均值濾波 2 中值濾波 3 維納濾波 4 多圖像平均法 5 頻域低通濾波法 小波變換圖像去噪 方法 近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領域得到了廣泛的應用。現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學、應用科學 、社會科學等領域。在圖像去噪領域中，應用小波理論進行圖像去噪受到許多專家學者的重視，并取得了非常好的效果。具體來說，小波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下特點： 1. 低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低； 2. 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻畫信號非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點等； 3. 去相關性，因為小波變換可以對信號進行去相關性，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時域更利于去噪； 4. 選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基，從而對不同應用場合，對不同的研 究對象，可以選不同的小波母函數(shù)，以獲得最佳的效果。 小波去噪發(fā)展歷程 1992 年， Donoho 和 Johnstone 提 出了小波閾 值收縮方法 (Wavelet Shrinkage)[7]同時還給出了小波收縮閾值 2ln N??? ，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值的上限。以上小波收縮算法的一個嚴重的缺陷是：在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )。而在實際應用中噪聲大小是無法預先知道的，于是MaartenJasen 等提出了 GCV(generalized cross validation)[8]方法，這種方法無需 8 知道噪聲大小的先驗知識，較好地解決了這一問題。另外，由于 Donoho 和 Johnstone給出的閾值有很嚴重的 “ 過扼殺 ” 小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對閾值的選擇進行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法。后來，人們針對閾值函數(shù)的選取也進行了一些研究，并給出了不同的閾值，但是當這些方法用到非高斯、有色噪聲場合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨立同分布噪聲的假設，并且這些方法大多是從 Donoho 和 Johnstone 給出的方法發(fā)展而來的，從而它們最后的去噪性能也依賴于用 wavelet shrinkage 確定閾值時，對噪聲服從獨立正態(tài)分布的假設。對此，人們提出了具有尺度適應性的閾值選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學者則研究了在比白噪聲更重要的噪聲情況下的小波去噪問題，并給出了顯式的閾值公式。 目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，近來仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉為如何最大限度地獲得信號的先驗信息，并用這些信息來確定更合 適的閾值或閾值向量，以達到更高的去噪效率。另外，除了閾值收縮方法外， 和 Xu 等人還提出了不同去噪方法，例如利用 Lipschitz 指數(shù)的方法和基于最大后驗概率 MAP 的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內容。 小波去噪方法 目前應用小波進行圖像去噪的方法很多?？偟膩碚f，小波去噪方法大體上可以分為：小波收縮法、投影法、相關法三類 [9]。 小波收縮法是目前研究最為廣泛的方法。小波收縮法又可分為一下兩大類：一類是閾值收縮法。閾值收縮法主要基于一下事實，即比較大的小波系 數(shù)一般都是以實際信號為主，而比較小的系數(shù)則很大程度上是噪聲。這就是說，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的信息，應該給予保留；同時在高頻分量中，一些絕對值大的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應 保留。另外一種是比例收縮法， 它通過判斷系數(shù)被噪聲污染的程度，并為這種程度引入各種度量方法，進而確定收縮的比例。小波閾值收縮的關鍵是小波收縮函數(shù)和收縮閾值的確定。小波收縮函數(shù)和收縮閾值的選取的好壞直接影響圖像去噪的效果。目前，有很多確定小波收縮 閾值 和收縮 函數(shù) 的方法，具體如下： 1. 收縮閾值的選取 當前使用的閾 值總體來說可以分為全局閾值和局部自適應閾值兩類。其中，全局閾值對各層所有的小波系數(shù)或同一層內的小波系數(shù)都是統(tǒng)一的；而局部自適應閾值是根據(jù)當前系數(shù)周圍的局部系數(shù)的分布情況來確定閾值。目前提出的全局閾值主要有以下幾種： (1)Donoh 和 Johnstone 提出的統(tǒng)一閾值 2ln N??? ，其中 ? 為噪聲標準差，N 為圖像大小。它是小波收縮最佳閾值的上限，但它不是最佳收縮閾值。 它僅從圖像的噪聲特征來考慮，而沒有考慮圖像本身的特征。本文針對其不足提出了另一種閾值。 (2)基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值 34? ? ???。這個閾值是考慮到零均值正態(tài)分布變量落在 [ 3 ,3 ]??? 之外的概率非常小，所以絕對值大于 3 的系數(shù)一般都被認 9 為主要是信號系數(shù)。 (3)最小最大化閾值。這是 Donoh 和 Johnston 在最小最大化意義下得出的閾值，與上面的閾值不同，它是依賴于信號的，而且沒有顯式表達式，在求取時，需要預先知道原 信號。 (5)理想閾值。理想閾值是在均方差準則下的最優(yōu)閾值，同最大最小值一樣，也沒有顯式的表達式，并且這個閾值的計算通常也需要預先知道信號本身。但是由于實際求取時，這是不可能的，所以人們通過對這一準則的估計信號，求出使估計最小的閾值，并以此為理想閾值的估計。目前使用比較多的主要有兩種：一是 SURE Shrink閾值，它是在 SURE 準則下得到的閾值，該 SURE 準則是均方差準則的無偏估計，它趨近于理想閾值。另一個是 GVC 準則，它雖然是有偏的，但是由于用這種準則得到的最優(yōu)閾值也趨近于理想閾值，而且不需要對 噪聲偏差進行估計，所以常用它來確定合適的小波收縮閾值。 以上所提閾值計算簡單，故得到了廣泛的應用，但它們對小波系數(shù)有 “ 過扼殺 ”的趨勢，從而會導致較大的重建誤差。與全局閾值不同，局部閾值主要是通過考查在某一點或某一局部的特點，在根據(jù)靈活的判定原則來判定系數(shù)是噪聲還是信號，以實現(xiàn)去噪和保留信號之間的平衡，而且這些判定原則有時并不一定是從系數(shù)的絕對值來考慮的，而是從別的方面。例如從概率和模糊度方面來考慮， Vidakovic 等人利用信號系數(shù)和噪聲系數(shù)在不同尺度中分布的不同特征，在 Beyes 框架下結合假設經(jīng)驗給出了一 個閾值公式，并以此來對小波系數(shù)進行硬閾值處理。 時至今日，閾值選擇方法的研究仍在進行當中，仍有新的閾值公式不斷提出，但通常閾值是根據(jù)實際應用的需要，通過確定合適的準則，并通過對可能的閾值進行尋優(yōu)來選擇。 2. 小波收縮函數(shù)的選取 在收縮去噪中，閾值收縮函數(shù)是對系數(shù)的幾 種不同處理策略，以及不同的估計方法。閾值收縮函數(shù)總體上可以分為 兩 種：一種為硬閾值函數(shù)；二為軟閾值函數(shù) 。硬閾值是將絕對值小于閾值的小波系數(shù)置為零，而將絕對值大于閾值的小波系數(shù)不加任何處理給予保留。硬閾值能取得較好的去噪效果，但由于其收縮函 數(shù)是不連續(xù)的，所以在含有豐富圖像中會產(chǎn)生許多 “ 人為 ” 噪聲。軟閾值算法是將絕對值大于閾值的小波系數(shù)不是完全保留而是作收縮處理。軟閾值函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，它能較好地克服硬閾值去噪帶來的 “ 人為 ” 噪聲。但這種算法減少了絕對值大的小波系數(shù)，造成一定的高頻信息損失，從而導致了圖像邊緣的模糊。總的來說硬閾值方法可以很好的保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應等視覺失真；而軟閾值方法處理結果則相對平滑的多，但是軟閾值方法可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。 相對于閾值收縮法來說，比例收縮有更大的靈活性，從 某種意義上說，可以認為閾值收縮法是比例收縮法的一種特例。比例收縮法的特點在于它具有對于信號的某一局部的適應能力。 Shark 等人針對小波閾值收縮中，統(tǒng)一閾值傾向于 “ 過扼殺 ” ，而 SURE 閾值傾向于 “ 過保留 ” 小波系數(shù)的特點，給出了一個隸屬函數(shù)，然后將兩個閾值之間的系數(shù)按照隸屬度進行了收縮，并得到了好的效果。而 Malfait 等人則通過將圖像一般不存在孤立邊緣點的先驗知識與小波圖像 Hoilder 指數(shù)相結合，利用 Bayes估計理論給出了小波系數(shù) “ 主信 ” 的概率，并以此來進行比例收縮，從而消除了由噪 10 聲引起的偽邊緣。 投影法的原理是將帶噪信號以一種迭代的方式投影到逐步縮小的空間。由于最后的空間能更好地體現(xiàn)原信號的特點，所以投影法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號。投 影 法 主 要 包 括 Matching Pursuits 和 MCD(Multiple Compact Domain) 或POCS(Projection Onto Convex Set)法兩類。其中 Matching Pursuits[10]法通過指定一族小波函數(shù)，并將帶噪聲信號向此函數(shù)進行投影，接著對殘差投影，并循環(huán)反復，直到殘差最后達到一定條件。而 MCD 和 POCS 法同 Matching Pursuits 法很相似，也是基于投影原理，只不過信號的投影空間有所不同 (如果利用小波，則一般為 Besov 空間的凸集 )。 Demoment 指出， POCS 法可以用來解決函數(shù)空間的凸集的逆問題，而 Prakash和 Moulin 以帶噪信號硬閾值收縮信號為迭代起點，并利用 POCS 法來求解由信號的兩個小波變換所規(guī)定凸集的交集，最后完成去噪。類似的研究還有 Choi 等人的研究，需要指出的是 POCS 法并不局限于小波函數(shù)展成的空間。 相關法主要是基于信號在各層相應位置上的小波系數(shù)之間往往具有很強的相關性，而噪聲的小波系數(shù)則 具有弱相關性或不相關性的特點來進行去噪的。例如 XU 等人提出了一種 SSNF(Spatially Selective Noise Filter)[11]方法，該方法是利用相鄰尺度小波系數(shù)的相關程度來進行去噪，即通過將相鄰尺度同一位置系數(shù)的相關量來構成相關圖像，做適當?shù)幕叶壬炜s后再同原來的小波圖像進行比較，其中較大的相關量被視為邊緣等圖像特征，而被抽取出來，并作為原信號小波變換估計，然后經(jīng)過反變換得到去噪后的圖像。因為 SSNF 是一個迭代方法，迭代的終止規(guī)則是看剩余系數(shù)的能量是否接近于噪聲能量，所以噪聲方差的估計在 這一方法中顯得非常重要。于是 Pan Quan 等人作了一些改進，此處， John 等人則將矢量編碼和 Bayer 估計結合起來，利用全局非空間適應 Bayer 估計得到帶噪聲信號的粗糙去噪圖像，然后利用矢量編碼來獲得更精細的信號估計。 本章小結 本章討論了小波變換的噪聲濾除問題。首先給出了噪聲分類，并論述了傳統(tǒng)信號噪聲濾除的方法，如空域濾波，中值濾波，維納濾波，低通濾波器等，并引出了小波濾噪的優(yōu)勢，由此給出了方法簡便不依賴于傅里葉變換的第二代小波變換濾噪的特點，結合一定的圖像濾波器算法，給出了更加有效的小波濾波方 法。并用軟件編程具體實現(xiàn)了對噪聲圖像的處理。利用小波變換和傳統(tǒng)的方法分別對圖像進行濾噪，兩種濾噪后的圖像比較結果是，小波變換濾噪后圖像有較高的峰值信噪比和細節(jié)信噪比，較好地保存了圖像的細節(jié)信息，取得了很好的視覺效果。對小波變換后小波系數(shù)進行適當運算，可實現(xiàn)圖像的邊緣增強或模糊處理。 11 第 3 章 小波分析基本理論 小波變換基本理論 80 年代，在應用數(shù)學調和分析領域出現(xiàn)了一種嶄新的分析方法：小波分析(Wavelet)。同時， Grpscmann 和 在諧波分析領域獨立地研究了這一方法 ，并將它成功地應用在地震信號分析中。然而，由于當時這一方法不夠成熟，因此一直受到數(shù)學家的質疑。后來， 完美地構造了一系列平滑、緊支撐和正交的小波基。與此同時， 在多分辨分析和塔式算法的基礎上創(chuàng)建了著名的快速算法 (Mallet 算法 )，并將其利用在子帶編碼中。至此，小波分析又重新引起數(shù)學家和工程人員的高度重視。接著，數(shù)學家們很快就建立起了完整的小波分析理論框架。另一方面，在工程領域利用小波分析方法也迅速建立起時頻分析理論。如今，小波分析已經(jīng)廣泛地應用于數(shù)學理論、信號分析、圖像 處理和分析、模式識別及通信系統(tǒng)等領域。 小波變換是一種信號的時間 尺度 (時間 頻率 )分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)[12]的特點，而且時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。 連續(xù)小波變換 設 22( ) ( )( ( ))t L R L R? ? 表示平方可積的實數(shù)空間，其傅里葉變換為 ()??。當()??滿足以下允許條件： 2() dRC??? ??? ? ??? ()時，我們稱 ??ft為一個基本小波或母小波 (Mother Wavelet)縮和平移后，就可以得到一個小波序列。對于連續(xù)的情況，小波序列為： 12, ( ) ( )ab tbta a??? ?? ()式中 ,b R a R???分別為伸縮因子和平移因子。 對于任意的函數(shù) ??ft ELZ(R)的連續(xù)小波變換 (Continuous Wavcaet Transform)為： 12,( , ) , ( ) ( ) ( )