【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 傳統(tǒng)的去噪方法主要有： 1 均值濾波 2 中值濾波 3 維納濾波 4 多圖像平均法 5 頻域低通濾波法 小波變換圖像去噪 方法 近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué) 、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。具體來說，小波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下特點(diǎn)： 1. 低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低； 2. 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻畫信號(hào)非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等； 3. 去相關(guān)性，因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)性，且噪聲在變換后有白化趨勢(shì)，所以小波域比時(shí)域更利于去噪； 4. 選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基，從而對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合，對(duì)不同的研 究對(duì)象，可以選不同的小波母函數(shù)，以獲得最佳的效果。 小波去噪發(fā)展歷程 1992 年， Donoho 和 Johnstone 提 出了小波閾 值收縮方法 (Wavelet Shrinkage)[7]同時(shí)還給出了小波收縮閾值 2ln N??? ，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值的上限。以上小波收縮算法的一個(gè)嚴(yán)重的缺陷是：在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )。而在實(shí)際應(yīng)用中噪聲大小是無法預(yù)先知道的，于是MaartenJasen 等提出了 GCV(generalized cross validation)[8]方法，這種方法無需 8 知道噪聲大小的先驗(yàn)知識(shí)，較好地解決了這一問題。另外，由于 Donoho 和 Johnstone給出的閾值有很嚴(yán)重的 “ 過扼殺 ” 小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法。后來，人們針對(duì)閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值，但是當(dāng)這些方法用到非高斯、有色噪聲場(chǎng)合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨(dú)立同分布噪聲的假設(shè)，并且這些方法大多是從 Donoho 和 Johnstone 給出的方法發(fā)展而來的，從而它們最后的去噪性能也依賴于用 wavelet shrinkage 確定閾值時(shí)，對(duì)噪聲服從獨(dú)立正態(tài)分布的假設(shè)。對(duì)此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的閾值選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更重要的噪聲情況下的小波去噪問題，并給出了顯式的閾值公式。 目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非常活躍，近來仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息，并用這些信息來確定更合 適的閾值或閾值向量，以達(dá)到更高的去噪效率。另外，除了閾值收縮方法外， 和 Xu 等人還提出了不同去噪方法，例如利用 Lipschitz 指數(shù)的方法和基于最大后驗(yàn)概率 MAP 的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。 小波去噪方法 目前應(yīng)用小波進(jìn)行圖像去噪的方法很多?？偟膩碚f，小波去噪方法大體上可以分為：小波收縮法、投影法、相關(guān)法三類 [9]。 小波收縮法是目前研究最為廣泛的方法。小波收縮法又可分為一下兩大類：一類是閾值收縮法。閾值收縮法主要基于一下事實(shí)，即比較大的小波系 數(shù)一般都是以實(shí)際信號(hào)為主，而比較小的系數(shù)則很大程度上是噪聲。這就是說，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的信息，應(yīng)該給予保留；同時(shí)在高頻分量中，一些絕對(duì)值大的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應(yīng) 保留。另外一種是比例收縮法， 它通過判斷系數(shù)被噪聲污染的程度，并為這種程度引入各種度量方法，進(jìn)而確定收縮的比例。小波閾值收縮的關(guān)鍵是小波收縮函數(shù)和收縮閾值的確定。小波收縮函數(shù)和收縮閾值的選取的好壞直接影響圖像去噪的效果。目前，有很多確定小波收縮 閾值 和收縮 函數(shù) 的方法，具體如下： 1. 收縮閾值的選取 當(dāng)前使用的閾 值總體來說可以分為全局閾值和局部自適應(yīng)閾值兩類。其中，全局閾值對(duì)各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一的；而局部自適應(yīng)閾值是根據(jù)當(dāng)前系數(shù)周圍的局部系數(shù)的分布情況來確定閾值。目前提出的全局閾值主要有以下幾種： (1)Donoh 和 Johnstone 提出的統(tǒng)一閾值 2ln N??? ，其中 ? 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，N 為圖像大小。它是小波收縮最佳閾值的上限，但它不是最佳收縮閾值。 它僅從圖像的噪聲特征來考慮，而沒有考慮圖像本身的特征。本文針對(duì)其不足提出了另一種閾值。 (2)基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值 34? ? ???。這個(gè)閾值是考慮到零均值正態(tài)分布變量落在 [ 3 ,3 ]??? 之外的概率非常小，所以絕對(duì)值大于 3 的系數(shù)一般都被認(rèn) 9 為主要是信號(hào)系數(shù)。 (3)最小最大化閾值。這是 Donoh 和 Johnston 在最小最大化意義下得出的閾值，與上面的閾值不同，它是依賴于信號(hào)的，而且沒有顯式表達(dá)式，在求取時(shí)，需要預(yù)先知道原 信號(hào)。 (5)理想閾值。理想閾值是在均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)閾值，同最大最小值一樣，也沒有顯式的表達(dá)式，并且這個(gè)閾值的計(jì)算通常也需要預(yù)先知道信號(hào)本身。但是由于實(shí)際求取時(shí)，這是不可能的，所以人們通過對(duì)這一準(zhǔn)則的估計(jì)信號(hào)，求出使估計(jì)最小的閾值，并以此為理想閾值的估計(jì)。目前使用比較多的主要有兩種：一是 SURE Shrink閾值，它是在 SURE 準(zhǔn)則下得到的閾值，該 SURE 準(zhǔn)則是均方差準(zhǔn)則的無偏估計(jì)，它趨近于理想閾值。另一個(gè)是 GVC 準(zhǔn)則，它雖然是有偏的，但是由于用這種準(zhǔn)則得到的最優(yōu)閾值也趨近于理想閾值，而且不需要對(duì) 噪聲偏差進(jìn)行估計(jì)，所以常用它來確定合適的小波收縮閾值。 以上所提閾值計(jì)算簡(jiǎn)單，故得到了廣泛的應(yīng)用，但它們對(duì)小波系數(shù)有 “ 過扼殺 ”的趨勢(shì)，從而會(huì)導(dǎo)致較大的重建誤差。與全局閾值不同，局部閾值主要是通過考查在某一點(diǎn)或某一局部的特點(diǎn)，在根據(jù)靈活的判定原則來判定系數(shù)是噪聲還是信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)去噪和保留信號(hào)之間的平衡，而且這些判定原則有時(shí)并不一定是從系數(shù)的絕對(duì)值來考慮的，而是從別的方面。例如從概率和模糊度方面來考慮， Vidakovic 等人利用信號(hào)系數(shù)和噪聲系數(shù)在不同尺度中分布的不同特征，在 Beyes 框架下結(jié)合假設(shè)經(jīng)驗(yàn)給出了一 個(gè)閾值公式，并以此來對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理。 時(shí)至今日，閾值選擇方法的研究仍在進(jìn)行當(dāng)中，仍有新的閾值公式不斷提出，但通常閾值是根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需要，通過確定合適的準(zhǔn)則，并通過對(duì)可能的閾值進(jìn)行尋優(yōu)來選擇。 2. 小波收縮函數(shù)的選取 在收縮去噪中，閾值收縮函數(shù)是對(duì)系數(shù)的幾 種不同處理策略，以及不同的估計(jì)方法。閾值收縮函數(shù)總體上可以分為 兩 種：一種為硬閾值函數(shù)；二為軟閾值函數(shù) 。硬閾值是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)置為零，而將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)不加任何處理給予保留。硬閾值能取得較好的去噪效果，但由于其收縮函 數(shù)是不連續(xù)的，所以在含有豐富圖像中會(huì)產(chǎn)生許多 “ 人為 ” 噪聲。軟閾值算法是將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)不是完全保留而是作收縮處理。軟閾值函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它能較好地克服硬閾值去噪帶來的 “ 人為 ” 噪聲。但這種算法減少了絕對(duì)值大的小波系數(shù)，造成一定的高頻信息損失，從而導(dǎo)致了圖像邊緣的模糊。總的來說硬閾值方法可以很好的保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真；而軟閾值方法處理結(jié)果則相對(duì)平滑的多，但是軟閾值方法可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。 相對(duì)于閾值收縮法來說，比例收縮有更大的靈活性，從 某種意義上說，可以認(rèn)為閾值收縮法是比例收縮法的一種特例。比例收縮法的特點(diǎn)在于它具有對(duì)于信號(hào)的某一局部的適應(yīng)能力。 Shark 等人針對(duì)小波閾值收縮中，統(tǒng)一閾值傾向于 “ 過扼殺 ” ，而 SURE 閾值傾向于 “ 過保留 ” 小波系數(shù)的特點(diǎn)，給出了一個(gè)隸屬函數(shù)，然后將兩個(gè)閾值之間的系數(shù)按照隸屬度進(jìn)行了收縮，并得到了好的效果。而 Malfait 等人則通過將圖像一般不存在孤立邊緣點(diǎn)的先驗(yàn)知識(shí)與小波圖像 Hoilder 指數(shù)相結(jié)合，利用 Bayes估計(jì)理論給出了小波系數(shù) “ 主信 ” 的概率，并以此來進(jìn)行比例收縮，從而消除了由噪 10 聲引起的偽邊緣。 投影法的原理是將帶噪信號(hào)以一種迭代的方式投影到逐步縮小的空間。由于最后的空間能更好地體現(xiàn)原信號(hào)的特點(diǎn)，所以投影法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號(hào)。投 影 法 主 要 包 括 Matching Pursuits 和 MCD(Multiple Compact Domain) 或POCS(Projection Onto Convex Set)法兩類。其中 Matching Pursuits[10]法通過指定一族小波函數(shù)，并將帶噪聲信號(hào)向此函數(shù)進(jìn)行投影，接著對(duì)殘差投影，并循環(huán)反復(fù)，直到殘差最后達(dá)到一定條件。而 MCD 和 POCS 法同 Matching Pursuits 法很相似，也是基于投影原理，只不過信號(hào)的投影空間有所不同 (如果利用小波，則一般為 Besov 空間的凸集 )。 Demoment 指出， POCS 法可以用來解決函數(shù)空間的凸集的逆問題，而 Prakash和 Moulin 以帶噪信號(hào)硬閾值收縮信號(hào)為迭代起點(diǎn)，并利用 POCS 法來求解由信號(hào)的兩個(gè)小波變換所規(guī)定凸集的交集，最后完成去噪。類似的研究還有 Choi 等人的研究，需要指出的是 POCS 法并不局限于小波函數(shù)展成的空間。 相關(guān)法主要是基于信號(hào)在各層相應(yīng)位置上的小波系數(shù)之間往往具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而噪聲的小波系數(shù)則 具有弱相關(guān)性或不相關(guān)性的特點(diǎn)來進(jìn)行去噪的。例如 XU 等人提出了一種 SSNF(Spatially Selective Noise Filter)[11]方法，該方法是利用相鄰尺度小波系數(shù)的相關(guān)程度來進(jìn)行去噪，即通過將相鄰尺度同一位置系數(shù)的相關(guān)量來構(gòu)成相關(guān)圖像，做適當(dāng)?shù)幕叶壬炜s后再同原來的小波圖像進(jìn)行比較，其中較大的相關(guān)量被視為邊緣等圖像特征，而被抽取出來，并作為原信號(hào)小波變換估計(jì)，然后經(jīng)過反變換得到去噪后的圖像。因?yàn)?SSNF 是一個(gè)迭代方法，迭代的終止規(guī)則是看剩余系數(shù)的能量是否接近于噪聲能量，所以噪聲方差的估計(jì)在 這一方法中顯得非常重要。于是 Pan Quan 等人作了一些改進(jìn)，此處， John 等人則將矢量編碼和 Bayer 估計(jì)結(jié)合起來，利用全局非空間適應(yīng) Bayer 估計(jì)得到帶噪聲信號(hào)的粗糙去噪圖像，然后利用矢量編碼來獲得更精細(xì)的信號(hào)估計(jì)。 本章小結(jié) 本章討論了小波變換的噪聲濾除問題。首先給出了噪聲分類，并論述了傳統(tǒng)信號(hào)噪聲濾除的方法，如空域?yàn)V波，中值濾波，維納濾波，低通濾波器等，并引出了小波濾噪的優(yōu)勢(shì)，由此給出了方法簡(jiǎn)便不依賴于傅里葉變換的第二代小波變換濾噪的特點(diǎn)，結(jié)合一定的圖像濾波器算法，給出了更加有效的小波濾波方 法。并用軟件編程具體實(shí)現(xiàn)了對(duì)噪聲圖像的處理。利用小波變換和傳統(tǒng)的方法分別對(duì)圖像進(jìn)行濾噪，兩種濾噪后的圖像比較結(jié)果是，小波變換濾噪后圖像有較高的峰值信噪比和細(xì)節(jié)信噪比，較好地保存了圖像的細(xì)節(jié)信息，取得了很好的視覺效果。對(duì)小波變換后小波系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，可實(shí)現(xiàn)圖像的邊緣增強(qiáng)或模糊處理。 11 第 3 章 小波分析基本理論 小波變換基本理論 80 年代，在應(yīng)用數(shù)學(xué)調(diào)和分析領(lǐng)域出現(xiàn)了一種嶄新的分析方法：小波分析(Wavelet)。同時(shí)， Grpscmann 和 在諧波分析領(lǐng)域獨(dú)立地研究了這一方法 ，并將它成功地應(yīng)用在地震信號(hào)分析中。然而，由于當(dāng)時(shí)這一方法不夠成熟，因此一直受到數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑。后來， 完美地構(gòu)造了一系列平滑、緊支撐和正交的小波基。與此同時(shí)， 在多分辨分析和塔式算法的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了著名的快速算法 (Mallet 算法 )，并將其利用在子帶編碼中。至此，小波分析又重新引起數(shù)學(xué)家和工程人員的高度重視。接著，數(shù)學(xué)家們很快就建立起了完整的小波分析理論框架。另一方面，在工程領(lǐng)域利用小波分析方法也迅速建立起時(shí)頻分析理論。如今，小波分析已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)理論、信號(hào)分析、圖像 處理和分析、模式識(shí)別及通信系統(tǒng)等領(lǐng)域。 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度 (時(shí)間 頻率 )分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)[12]的特點(diǎn)，而且時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。 連續(xù)小波變換 設(shè) 22( ) ( )( ( ))t L R L R? ? 表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，其傅里葉變換為 ()??。當(dāng)()??滿足以下允許條件： 2() dRC??? ??? ? ??? ()時(shí)，我們稱 ??ft為一個(gè)基本小波或母小波 (Mother Wavelet)縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為： 12, ( ) ( )ab tbta a??? ?? ()式中 ,b R a R???分別為伸縮因子和平移因子。 對(duì)于任意的函數(shù) ??ft ELZ(R)的連續(xù)小波變換 (Continuous Wavcaet Transform)為： 12,( , ) , ( ) ( ) ( )