【文章內(nèi)容簡介】 理論分析。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。早期的小波去噪工作類似有損壓縮技術(shù)，即先對含噪信號進(jìn)行正交小波變換，再選定一個固定的閾值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu)恢復(fù)原信號，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗和實際應(yīng)用[2428]。1992年，[40]，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計算機(jī)自動實現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高47dB。由于受到各種因素的干擾，這種跟蹤是很困難的，在實際工作中需要一些經(jīng)驗性的判據(jù)。奇異點重建信號分為過零點重建小波變換和模極大值重建小波變換，其缺點:用過零點或極大值來重建信號只是一種逼近，結(jié)果不太精確。1995年，[2427]，稱為“小波收縮”。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。他們算法的去噪效果超過了一般的線性去噪技術(shù)，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大小，換句話說，是取決于帶噪信號的信噪比的。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。有文獻(xiàn)表明[34]，與Mallat的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號的信噪比提高10dB以上，實驗結(jié)果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實現(xiàn)起來更為簡單。這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。比較有影響的方法有：Eero moncelli和E [31]。Elwood ，提出了三種基于小波相位去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動閾值法[32]；學(xué)者Kozaitis結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點，提出對一維信號進(jìn)行去噪和信號重建的基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法[33]；(general cross validation)法對圖像進(jìn)行去噪[34].[35],VasilyStrela等人將一類新的特性良好多小波(約束對)應(yīng)用于圖像去噪的方法[34]，這些方法均取得了良好的效果，對發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 小波去噪方法小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來主要有三類:模極大值檢測法、閾值去噪法和屏蔽(相關(guān))去噪法。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。第三章 小波變換理論基礎(chǔ) 從傅里葉變換到小波變換傅立葉變換是一個強有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號的傅立葉變換表示信號的頻譜。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號分析和信號處理中的獨特地位。傅立葉變換用在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅立葉級數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函數(shù)作頻譜分析，反映了整個信號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號的特征。從數(shù)學(xué)角度來看，傅立葉變換是通過一個基函數(shù)的整數(shù)膨脹而生成任意一個周期平方可積函數(shù)。通過傅立葉變換，在時域中連續(xù)變化的信號可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號，因此傅立葉變換反映的是整個信號在全部時間下的整體頻域特征，但不能反映信號的局部特征。傅立葉變換有如下不足：（1）當(dāng)我們將一個信號變換到頻域的時候，其時間上的信息就失去了。當(dāng)觀察一個信號的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時發(fā)生；（2）為了從模擬信號中提取頻譜信息，需要取無限的時間量，使用過去的和將來的信號信息只是為了計算單個頻率的頻譜；（3）因為一個信號的頻率與它的周期長度成反比，對于高頻譜的信息，時間間隔要相對較小以給出比較好的精度。而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對較寬以給出完全的信息，亦即需要一個靈活可變的時間—頻率窗，使在高“中心頻率”時自動變窄，而在低“中心頻率”時自動變寬，傅立葉變換無法達(dá)到這種要求，它只能作全局分析，而且只對平穩(wěn)信號的分析有用。但是，在實際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨著時間的變化而改變，這時傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。為此，之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時傅立葉變換(Short Time Fourier Transform)，簡記為STFT，又稱窗口傅立葉變換。窗口傅立葉變換(STFT)克服了傅立葉變換不能同時進(jìn)行時間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。其主要特點是：用一窗口函數(shù)對信號作乘積運算，實現(xiàn)在τ附近平穩(wěn)和開窗，然后再進(jìn)行傅立葉變換。其變換如下： (31)由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關(guān)而保持不變，在實際應(yīng)用中也存在其局限性。主要有兩方面：一是因為高頻信號一般持續(xù)時間短，而低頻信號持續(xù)時間長，因此需對高頻信號采用小時窗，對低頻信號采用大時窗。二是在進(jìn)行數(shù)值計算時，為了便于計算，需對基函數(shù)進(jìn)行離散化，但Gabor基無論怎樣離散都不能組成一組正交基，因此會給計算帶來不便。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應(yīng)特性和平穩(wěn)功能，1984年。之后，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個信號可分解成對空間和尺度的貢獻(xiàn)。1985年，YMeyer,，得到了一組離散的小波基(稱為小波框架)。1986年，從而證明了小波正交系的存在。1987年，Mallat將計算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法—Mallat算法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構(gòu)造。小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功地應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。從此，小波變換越來越受到人們的重視，其應(yīng)用領(lǐng)域來越來越廣泛，如：信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別等，并取得了可喜成果。 小波理論的基本概念 連續(xù)小波變換設(shè)，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件)： (32)時，我們稱為一個基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。其中，當(dāng)時，有=0，即同時有。因此，一個允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個基本小波。將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： (33)稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。通常情況下，基本小波以原點為中心，因此是基本小波以為中心進(jìn)行伸縮得到?；拘〔ū簧炜s為(時變寬，而時變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的a則搜索細(xì)節(jié)特征。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： (34)當(dāng)此小波為正交小波時，其重構(gòu)公式為： (35)在小波變換過程中必須保持能量成比例，即 (36)由于基小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： (37)故是一個連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式(32)，在原點必須等于零，即 (38)此即說明具有波動性。為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： (39) 式中。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。（3）伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為，（4）自相似性：對應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：①由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應(yīng)的。②小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。連續(xù)小波變換式(34)是用內(nèi)積來表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示與的相似程度，所以由式(34)，當(dāng)尺度a增加時，表示以伸展了的波形去觀察整個；反之，當(dāng)尺度a減小時，則以壓縮的波形去衡量局部?？梢哉f，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。因此，有人對小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹木。所以，先通過望遠(yuǎn)鏡看清全貌，進(jìn)而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)。小波變換就能達(dá)到這個目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。 離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機(jī)上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波）和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間t的。這一點與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(33)中，a ,b ∈R。 a≠0是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長是固定值，為方便起見，總是假定。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作： (310) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (311)其重構(gòu)公式為： (312)C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因為如果網(wǎng)絡(luò)點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個二維信號，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進(jìn)小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數(shù)： （313） （314） （315）這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時只對子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個子帶，進(jìn)行M次分解就得到3 M+1個子帶，如圖31。 圖31 圖像的三級小波分解圖第四章 小波閾值去噪及MATLAB仿真 小波閾值去噪概述 閾值去噪法簡述1992年，斯坦福大學(xué)的Donoho D L和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計優(yōu)化特性的去噪方法，稱作“Wavelet Shrinkage”（即閾值收縮法）。該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小