【文章內(nèi)容簡介】 理論分析。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號(hào)處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。早期的小波去噪工作類似有損壓縮技術(shù)，即先對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行正交小波變換，再選定一個(gè)固定的閾值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu)恢復(fù)原信號(hào)，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用[2428]。1992年，[40]，具體來說，就是利用有用信號(hào)與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號(hào)的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高47dB。由于受到各種因素的干擾，這種跟蹤是很困難的，在實(shí)際工作中需要一些經(jīng)驗(yàn)性的判據(jù)。奇異點(diǎn)重建信號(hào)分為過零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小波變換，其缺點(diǎn):用過零點(diǎn)或極大值來重建信號(hào)只是一種逼近，結(jié)果不太精確。1995年，[2427]，稱為“小波收縮”。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。他們算法的去噪效果超過了一般的線性去噪技術(shù)，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大小，換句話說，是取決于帶噪信號(hào)的信噪比的。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。有文獻(xiàn)表明[34]，與Mallat的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號(hào)的信噪比提高10dB以上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實(shí)現(xiàn)起來更為簡單。這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。比較有影響的方法有：Eero moncelli和E [31]。Elwood ，提出了三種基于小波相位去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動(dòng)閾值法[32]；學(xué)者Kozaitis結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，提出對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行去噪和信號(hào)重建的基于高階統(tǒng)計(jì)量的小波閾值去噪方法[33]；(general cross validation)法對(duì)圖像進(jìn)行去噪[34].[35],VasilyStrela等人將一類新的特性良好多小波(約束對(duì))應(yīng)用于圖像去噪的方法[34]，這些方法均取得了良好的效果，對(duì)發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 小波去噪方法小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號(hào)小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來主要有三類:模極大值檢測法、閾值去噪法和屏蔽(相關(guān))去噪法。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。第三章 小波變換理論基礎(chǔ) 從傅里葉變換到小波變換傅立葉變換是一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號(hào)的傅立葉變換表示信號(hào)的頻譜。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號(hào)分析和信號(hào)處理中的獨(dú)特地位。傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對(duì)函數(shù)作頻譜分析，反映了整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號(hào)的特征。從數(shù)學(xué)角度來看，傅立葉變換是通過一個(gè)基函數(shù)的整數(shù)膨脹而生成任意一個(gè)周期平方可積函數(shù)。通過傅立葉變換，在時(shí)域中連續(xù)變化的信號(hào)可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號(hào)，因此傅立葉變換反映的是整個(gè)信號(hào)在全部時(shí)間下的整體頻域特征，但不能反映信號(hào)的局部特征。傅立葉變換有如下不足：（1）當(dāng)我們將一個(gè)信號(hào)變換到頻域的時(shí)候，其時(shí)間上的信息就失去了。當(dāng)觀察一個(gè)信號(hào)的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時(shí)發(fā)生；（2）為了從模擬信號(hào)中提取頻譜信息，需要取無限的時(shí)間量，使用過去的和將來的信號(hào)信息只是為了計(jì)算單個(gè)頻率的頻譜；（3）因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)的頻率與它的周期長度成反比，對(duì)于高頻譜的信息，時(shí)間間隔要相對(duì)較小以給出比較好的精度。而對(duì)于低頻譜的信息，時(shí)間間隔要相對(duì)較寬以給出完全的信息，亦即需要一個(gè)靈活可變的時(shí)間—頻率窗，使在高“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變窄，而在低“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變寬，傅立葉變換無法達(dá)到這種要求，它只能作全局分析，而且只對(duì)平穩(wěn)信號(hào)的分析有用。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂、語音信號(hào)等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，這時(shí)傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。為此，之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅立葉變換(Short Time Fourier Transform)，簡記為STFT，又稱窗口傅立葉變換。窗口傅立葉變換(STFT)克服了傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中起到了很好的作用。其主要特點(diǎn)是：用一窗口函數(shù)對(duì)信號(hào)作乘積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)在τ附近平穩(wěn)和開窗，然后再進(jìn)行傅立葉變換。其變換如下： (31)由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持不變，在實(shí)際應(yīng)用中也存在其局限性。主要有兩方面：一是因?yàn)楦哳l信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間短，而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間長，因此需對(duì)高頻信號(hào)采用小時(shí)窗，對(duì)低頻信號(hào)采用大時(shí)窗。二是在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，為了便于計(jì)算，需對(duì)基函數(shù)進(jìn)行離散化，但Gabor基無論怎樣離散都不能組成一組正交基，因此會(huì)給計(jì)算帶來不便。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應(yīng)特性和平穩(wěn)功能，1984年。之后，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個(gè)信號(hào)可分解成對(duì)空間和尺度的貢獻(xiàn)。1985年，YMeyer,，得到了一組離散的小波基(稱為小波框架)。1986年，從而證明了小波正交系的存在。1987年，Mallat將計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法—Mallat算法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構(gòu)造。小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功地應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。從此，小波變換越來越受到人們的重視，其應(yīng)用領(lǐng)域來越來越廣泛，如：信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、語音識(shí)別等，并取得了可喜成果。 小波理論的基本概念 連續(xù)小波變換設(shè)，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件)： (32)時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。其中，當(dāng)時(shí)，有=0，即同時(shí)有。因此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個(gè)基本小波。將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： (33)稱其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。通常情況下，基本小波以原點(diǎn)為中心，因此是基本小波以為中心進(jìn)行伸縮得到。基本小波被伸縮為(時(shí)變寬，而時(shí)變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的a則搜索細(xì)節(jié)特征。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： (34)當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： (35)在小波變換過程中必須保持能量成比例，即 (36)由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： (37)故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式(32)，在原點(diǎn)必須等于零，即 (38)此即說明具有波動(dòng)性。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： (39) 式中。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。（3）伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為，（4）自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。②小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。連續(xù)小波變換式(34)是用內(nèi)積來表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示與的相似程度，所以由式(34)，當(dāng)尺度a增加時(shí)，表示以伸展了的波形去觀察整個(gè)；反之，當(dāng)尺度a減小時(shí)，則以壓縮的波形去衡量局部。可以說，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。因此，有人對(duì)小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹木。所以，先通過望遠(yuǎn)鏡看清全貌，進(jìn)而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)。小波變換就能達(dá)到這個(gè)目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。 離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波）和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間t的。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(33)中，a ,b ∈R。 a≠0是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長是固定值，為方便起見，總是假定。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作： (310) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (311)其重構(gòu)公式為： (312)C是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。由于圖像是二維信號(hào)，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個(gè)二維信號(hào)，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進(jìn)小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)： （313） （314） （315）這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對(duì)這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級(jí)平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對(duì)應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個(gè)方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個(gè)方向的高頻分量。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對(duì)圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個(gè)低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個(gè)高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時(shí)只對(duì)子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個(gè)子帶，進(jìn)行M次分解就得到3 M+1個(gè)子帶，如圖31。 圖31 圖像的三級(jí)小波分解圖第四章 小波閾值去噪及MATLAB仿真 小波閾值去噪概述 閾值去噪法簡述1992年，斯坦福大學(xué)的Donoho D L和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化特性的去噪方法，稱作“Wavelet Shrinkage”（即閾值收縮法）。該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小