【文章內(nèi)容簡介】 上的平移參數(shù),得到離散小波序列 ()在大多數(shù)的離散小波中，即： （）還有一種特殊的情況，只對尺度因子做離散化處理并令，得到的小波函數(shù)稱為二進(jìn)小波： ()這就相當(dāng)于尺度參數(shù)取離散二進(jìn)制數(shù)值時(shí)的連續(xù)小波變換。離散小波變換在信號細(xì)節(jié)的表現(xiàn)上不如連續(xù)小波變換，但具有計(jì)算量低的優(yōu)點(diǎn)[7]。在連續(xù)的尺度參數(shù)和平移參數(shù)上計(jì)算小波系數(shù)的工作量非常大，并且會得到更多冗余的數(shù)據(jù)。實(shí)際應(yīng)用中，處理的信號基本上時(shí)能量有限的離散數(shù)字信號，使得離散小波變換已經(jīng)足夠。三、多分辨分析 由于連續(xù)小波變換（CWT）和離散小波變換（DWT）對小波基函數(shù)都沒有正交性，因此，得到的變換系數(shù)存在大量的冗余。要想得到冗余度盡量小的小波函數(shù)，最理想的情況是得到一組正交的小波基函數(shù)[8]。在信號分析中，無論是傅里葉變換還是小波變換，其根本思想都是將信號分解成有限或者無限個(gè)簡單信號的疊加，變換系數(shù)由信號與基函數(shù)做內(nèi)積得到，如果使用的基函數(shù)具有正交的性質(zhì)，那么各個(gè)基函數(shù)互相不干擾，這樣就可以得到不冗余的變換系數(shù)了。當(dāng)滿足條件時(shí)，說明函數(shù)族組成的空間和函數(shù)族組成的空間互為空間的正交補(bǔ)，即 （）在多分辨分析中，正交小波的構(gòu)造非常重要，直接決定了低通濾波器和高通濾波器的特性。如果和都為有限長的沖激響應(yīng)，對信號做多分辨分析時(shí)會非常方便。不同與傅里葉變換，小波變換中有多種小波函數(shù)可以選擇，因此，小波函數(shù)的選擇也會影響到信號分析的效果。四、Mallat快速分解法法國數(shù)學(xué)家Stephane Mallat于1988年在多分辨分析的基礎(chǔ)上提出了Mallat快速算法。利用和作為濾波器的沖激響應(yīng)，構(gòu)建低通濾波器反映信號的低頻趨勢，高通濾波器反映信號的高頻細(xì)節(jié)，從而對信號進(jìn)行遞推分解[8]。對空間上的信號，利用正交基函數(shù)和分解得到空間上的概貌系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)，得到： （）因?yàn)?，空間上的概貌系數(shù)可以繼續(xù)分解得到： （）結(jié)合低通濾波器和高通濾波器的性質(zhì)可以得到各層系數(shù)的分解關(guān)系與重構(gòu)關(guān)系：分解關(guān)系： （）重構(gòu)關(guān)系： （） 尺度空間分解 尺度空間重構(gòu) 根據(jù)分解和重構(gòu)的關(guān)系我們可以將Mallat快速算法理解為：低層空間的低頻概貌系數(shù)在通過低通分解濾波器和高通分解濾波器后接著進(jìn)行二抽樣，即得到高一層空間上的概貌系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)；相應(yīng)地，高一層空間上的概貌系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行二差值后接著通過低通重構(gòu)濾波器后即可得到低層空間上的低頻概貌系數(shù)。Mallat設(shè)計(jì)了一種快速的小波分解和重構(gòu)算法，從離散信號開始做分解算法，通過離散小波變換分解得到低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，再由分解得到下一層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，依此類推。重構(gòu)算法稱為反離散小波變換，從第層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)得到上一層的低頻系數(shù)，依此類推得到最初的離散信號。 j層小波分解 小波分解示意圖 小波重構(gòu)示意圖對信號進(jìn)行小波分解實(shí)際上就是對離散信號做雙通道濾波的過程，雙通道濾波器組和有所選取的小波函數(shù)決定。長度為的信號在通過長度為的濾波器之后得到長度為的信號序列，再經(jīng)過2抽取后得到的下一層低頻和高頻系數(shù)長度都為。每一次分解都把離散信號分解為一個(gè)低頻尺度系數(shù)和相應(yīng)的高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，由于每次信號通過濾波器后輸出序列長度都減半，使得總的輸出序列長度不變，從而保證在對離散信號進(jìn)行多分辨分析時(shí)無信息損失。五、幾種常用的小波函數(shù)介紹（一）Haar小波Haar函數(shù)是在小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù)，同時(shí)也是最簡單的一個(gè)函數(shù)，它是非連續(xù)的，類似一個(gè)階梯函數(shù)[9]。Haar函數(shù)與下面將要介紹的db小波函數(shù)是一樣的。Haar函數(shù)的定義為： （）可知Haar小波的支集長度為1，濾波器長度為2，其確定時(shí)域不連續(xù)，頻域局部性差，因此Haar小波常用于理論研究。（二）Daubechies(dbN)小波系Daubechies函數(shù)是由世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，除了db1(即haar小波)外，其他小波沒有明確的表達(dá)式，但轉(zhuǎn)換函數(shù)的平方模是很明確的。dbN函數(shù)是緊支撐標(biāo)準(zhǔn)正交小波，它的出現(xiàn)使離散小波分析成為可能。假設(shè)，其中，為二項(xiàng)式的系數(shù)，則 （）其中， （） 該小波系有如下特性：①小波函數(shù)y和尺度函數(shù)f的有效支撐長度為2N－1，小波函數(shù)y的消失矩階數(shù)為N。②大多數(shù)dbN不具有對稱性，對于有些小波函數(shù)，不對稱性是非常明顯的。③正則性隨著序號N的增加而增加。④是具有緊支集的正交小波。Daubechies小波函數(shù)提供了比Haar函數(shù)更具有效的分析和綜合。Daubechies系中的小波基記為DbN,N為序號，且N =1，2，．．．，10，由于 Daubechies小波函數(shù)具有緊支集，可以在數(shù)字信號分解過程中提供一種有限的數(shù)字濾波器，所以廣泛應(yīng)用于許多場合。（三）Biorthogonal()小波系Biorthogonal正交小波系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。,其中，N為階數(shù)，r表示重構(gòu)（Reconstruction）,表示分解（Deposition）。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。眾所周知，如果使用同一個(gè)濾波器進(jìn)行分解和重構(gòu)，對稱性和重構(gòu)的精確性將成為一對矛盾，而采用兩個(gè)函數(shù)，將有效地解決這個(gè)問題。（四）Coiflet(coifN)小波系Coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個(gè)小波函數(shù)，它具有coifN(N＝1，2，3，4，5)這一系列。Coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N和sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩?cái)?shù)目。（五）SymletsA(symN)小波系Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種改進(jìn)[10]。Symlets函數(shù)系通常表示為symN(N＝2，3，…，8)的形式。Symlets函數(shù)系的構(gòu)成思想主要是利用上述DbN小波系中的函數(shù)，建立一個(gè)函數(shù)，其中，然后分解為如下形式： （）中不等于1的根會成對出現(xiàn)，如果一個(gè)等于z，另一個(gè)就等于1/z，適當(dāng)?shù)剡x擇函數(shù)U，使它所有根的模都小于1，就得到DbN小波，此時(shí)函數(shù)U所構(gòu)成的濾波器為最小相位濾波器，如果選擇U時(shí)，改變原則，使它構(gòu)成的濾波器的對稱性更好一些時(shí)，就得到了SymN小波系，它的其他特性與DbN類似。（六）Morlet(morl)小波Morlet小波是最常用的復(fù)值小波，其定義為 （）Morlet小波是復(fù)值小波，因此它能提取信號的幅值和相位信息。它在時(shí)域和頻域都有很好的局部化，但它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。（七）Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為： ()它是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛?，所以有時(shí)為墨西哥小帽函數(shù)。墨西哥小帽函數(shù)在時(shí)域和頻域都有很好的局部性，并且滿足： () 由于它的尺度函數(shù)不存在，因此分析不具有正交性。（八）Meyer函數(shù)Meyer小波的小波函數(shù)y和尺度函數(shù)f都是在頻域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。 （）其中，v(a)為構(gòu)造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有 （） （）通過改變輔助函數(shù),可得到不同的Meyer小波系，它具有無窮階導(dǎo)數(shù)。 第三節(jié) 小波變換在降噪中的應(yīng)用由于小波的窗口函數(shù)特性使得其在時(shí)頻分析時(shí)可以很好地表現(xiàn)出信號的局部特征，噪聲信號在時(shí)域上一般都會具有短時(shí)局部突變性，此時(shí)對信號做小波變換會隨著時(shí)間窗口的不斷減小而越加明顯地反應(yīng)出噪聲局部特性，噪聲信號對應(yīng)的小波變換系數(shù)會表現(xiàn)得很明顯[11]。根據(jù)小波變換的時(shí)頻窗口函數(shù)的變換可以看出，當(dāng)時(shí)間窗口變大時(shí)噪聲的短時(shí)突變性對小波變換系數(shù)的影響逐漸減小，這時(shí)的小波變換系數(shù)基本上反映的是信號本身的邊緣突變特性。正是由于具備了這樣的時(shí)頻分析特性，小波變換在信號降噪中得到了廣泛的應(yīng)用，下面幾種為常用的基于小波變換的去噪算法。一、屏蔽去噪法對信號進(jìn)行多分辨分析，高分辨尺度中噪聲引起的局部突表現(xiàn)得要比低分辨率尺度下明顯得多，同時(shí)信號本身的邊緣突變在低分辨率尺度下會反映的十分明顯。屏蔽去噪法的思想是保留低分辨率尺度下的小波變換系數(shù)，將高分辨率尺度下的噪聲部分去除，只保留信號的邊緣突變部分。因此，屏蔽去噪法的關(guān)鍵是如何區(qū)分噪聲和信號的邊緣突變。構(gòu)建屏蔽濾波器是一個(gè)有效的方法，首先對帶噪信號進(jìn)行多分辨分析，利用可以明顯體現(xiàn)信號本身邊緣突變的低分辨率分解尺度下的小波系數(shù)構(gòu)造濾波器，各層小波分解系數(shù)序列通過該濾波器時(shí)可以達(dá)到突出邊緣突變以及削弱噪聲的效果。最后將處理后的各層小波分解系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到降噪后的信號。二、模極大值法這種降噪方法由Mallat在1992年提出，在研究中發(fā)現(xiàn)對信號進(jìn)行小波變換時(shí)，小波變換系數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)會達(dá)到一個(gè)極大值，該點(diǎn)即稱為該區(qū)域內(nèi)的小波變換模極大值。對于各個(gè)分辨率下的模極大值點(diǎn)進(jìn)行分析，確定該模極大值是來源于噪聲信號還是有用信號，進(jìn)而進(jìn)行信噪分離。模極大值的基本思路是通過分析含噪信號在各分辨率下的小波系數(shù)，并觀察其中的模極大值點(diǎn)，如果一個(gè)極大值點(diǎn)隨分辨率的降低而減小即可判定為噪聲信號，反之則判定為有用信號；去除噪聲信號的極值點(diǎn)并保留有用信號的極值點(diǎn)后再對各層小波系數(shù)重構(gòu)，從而得到去除噪聲后的信號。三、閾值去噪法，是小波分析領(lǐng)域中最常用的一種算法，對于消除白噪聲有很好的效果。對白噪聲做小波變換后噪聲能量分部在整個(gè)小波域上，而有用信號的能量在小波域內(nèi)會集中體現(xiàn)在幾個(gè)區(qū)域內(nèi)，體現(xiàn)在小波系數(shù)上可以發(fā)現(xiàn)有用信號對應(yīng)的小波系數(shù)要大于噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)。閾值去噪法的基本思路就是對帶噪信號進(jìn)行小波分解[12]，根據(jù)有用信號和噪聲的特性設(shè)置一個(gè)閾值，利用這個(gè)閾值對小波系數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)小波系數(shù)低于這個(gè)閾值時(shí)就判定這個(gè)小波系數(shù)對應(yīng)的是噪聲信號。在小波域內(nèi)利用閾值來區(qū)分有用信號和噪聲信號，最后將處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)從而得到降噪后的信號。使用閾值去噪法首先要選取合適的小波函數(shù)，不同的小波函數(shù)在體現(xiàn)信號細(xì)節(jié)上有著不同的表現(xiàn)。之后再選定一個(gè)分解層數(shù)對信號進(jìn)行多分辨分析，分解層一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來判斷。接著利用各層的小波分解系數(shù)估計(jì)一個(gè)閾值并確定一個(gè)閾值函數(shù)，早期的閾值去噪法中的閾值函數(shù)直接將低于閾值的小波系數(shù)置零，這種方法被稱為硬閾值函數(shù)。，通過計(jì)算小波系數(shù)與閾值的差值，按照一定關(guān)系對小波系數(shù)進(jìn)行伸縮，這是著名的軟閾值函數(shù)。軟，硬閾值函數(shù)各有特點(diǎn)，硬閾值法計(jì)算量小，軟閾值法得到的信號更加平滑，要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的閾值函數(shù)。第四節(jié) 本章小結(jié)本章首先簡要介紹小波變換的基本性質(zhì)以及在信號處理中的應(yīng)用；接著重點(diǎn)介紹了小波分析的原理，最后介紹小波變換在降噪中的應(yīng)用，列出了幾種常用的基于小波變換降噪算法，本文將采用閾值去噪算法對帶噪語音信號進(jìn)行語音增強(qiáng)處理。第四章 基于MATLAB的算法實(shí)現(xiàn)與分析第一節(jié) MATLAB語言介紹MATLAB是英文MATrix LABoratory(短陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫，它的語言是一種解釋執(zhí)行的語言，調(diào)試程序手段豐富且調(diào)試速度快。MATLAB是集數(shù)值計(jì)算、符號運(yùn)算及圖形處理等強(qiáng)大功能于一體的科學(xué)計(jì)算語言。作為強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算平臺，它幾乎能夠滿足所有的計(jì)算需求[13]。一、MATLAB的特點(diǎn)及優(yōu)勢（一）編程效率高它是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級語言，允許用數(shù)學(xué)形式的語言編寫程序，而且比Basic、Fortran和C等語言更接近我們書寫計(jì)算公式的思維方式，用Matlab編寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題。因此，Matlab語言也可通俗的稱為演算紙式科學(xué)算法語言。由于它編寫簡單，所