【文章內(nèi)容簡介】 小波變換在數(shù)學(xué)上具有良好的性質(zhì)，他使得信號(hào)的正交分解和重構(gòu)都極為簡單。但是，數(shù)學(xué)家Daubechies已經(jīng)證明了，除了Haar小波以外，所有正交基都不具有對(duì)稱性。而非對(duì)稱性會(huì)在某些應(yīng)用場(chǎng)合引入相位失真。為了解決這個(gè)問題，可以適當(dāng)放寬正交性的要求，構(gòu)造出雙正交基，使得小波基函數(shù)具有很多重要特性，例如，緊支性、對(duì)稱性等。應(yīng)此下面便引入雙正交小波概念。 雙正交小波的概念雙正交基定義設(shè)函數(shù)列和是空間V的兩組基底，如果滿足雙正交條件： ， ()則稱和是空間V的雙正交基，并稱是的對(duì)偶。如果和是空間V的雙正交基，則對(duì)任意，有 ()在雙正交基中，如果的對(duì)偶就是自身，則雙正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，我們可以把標(biāo)準(zhǔn)正交基看作雙正交基的特殊情況。我們?cè)谏瞎?jié)給出了Riesez基的概念，正交基是Riesez基的特殊情況，如果和是空間V的兩組Riesez基，并滿足雙正交條件()，則它們就構(gòu)成了雙正交基。在上章我們已經(jīng)給出了多分辨分析的定義。對(duì)于空間，設(shè)有兩個(gè)多分辨分析和，滿足以下條件：（1），； （）（2），，；（） 其中表示直和，不一定是正交和，表示正交；（3）存在尺度函數(shù)，小波函數(shù)，使得， （）， 且是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基；（4）存在序列,使得 ， （）其中。滿足上述條件的小波與稱為雙正交小波，并稱是的對(duì)偶，是的對(duì)偶，而且對(duì)于任意，有如下分解： （）對(duì)于雙正交小波，如果的對(duì)偶就是自身，即，則變成正交小波。在雙正交小波中，與構(gòu)成兩組對(duì)偶的濾波器系數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，一組用于信號(hào)的分解，另一組用于重構(gòu)。類似與正交小波的分解公式及重構(gòu)公示的推導(dǎo)， 我們可以得到雙正交小波的分解與重構(gòu)公示： （） （） （） 雙正交小波的構(gòu)造理論本節(jié)簡要介紹雙正交小波的構(gòu)造理論，給出主要的結(jié)論，省略了繁雜的具體證明。 設(shè)和都是有限的實(shí)數(shù)序列，并設(shè)它們的支集為 ， ()令 ， （）定義，滿足 , ()可以證明 ()并有如下結(jié)論。 如果下式成立： （）即 （）則有（1）與一致收斂，并且在緊支集上絕對(duì)一致收斂；（2）， （）即 ， （）且和具有緊支集，即 ， （）下面定義 ， （） ， （） ， （）。設(shè)有限實(shí)數(shù)列和滿足條件：（1）， （）（2）存在常數(shù)C，使 ， （）則有 （1）構(gòu)成的一個(gè)框架，即存在，對(duì)任意，有 （）（2）的對(duì)偶框架為，并對(duì)任意，有 （）且其中的級(jí)數(shù)為強(qiáng)收斂。（3）與構(gòu)成兩個(gè)對(duì)偶的Riesez基，且 （） ，只需構(gòu)造有限實(shí)序列和滿足定理中的條件，然后，令，則和就構(gòu)成了的兩個(gè)多分辨率分析。 中條件（1）可由（)式驗(yàn)證。注意，如果，則雙正交就變成正交情形。（2），假設(shè)（）定義的和可以分解為 ， （）其中，為三角多項(xiàng)式，即 ， （）則有如下結(jié)論。 如果存在，使得 ， （）則有，其中。為了驗(yàn)證，有如下定理 設(shè)有限實(shí)數(shù)列和滿足條件，假設(shè)存在，使得 （）則，并有 . ()注 （1）若，則，，其中表示階連續(xù)可微函數(shù)的全體；（2）由于，，所以,。 雙正交小波的性質(zhì) 設(shè)，不是常函數(shù)，其中，如果，，有界，則 ， () 設(shè)，特別構(gòu)成的對(duì)偶Riesz基，則有（1）能被整除；（2）能被整除。如果，且，則，所以 ()另一方面，由（或）可以得出（或）能被（或者）整除，這樣有，從而有 ， （）從數(shù)學(xué)角度上看，小波去噪過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)的逼近過程，也就是在由小波母函數(shù)平移和伸縮所展成的函數(shù)空間里，尋找對(duì)原圖像的最佳逼近，以達(dá)到區(qū)分噪聲信息和原圖像信息的目的。利用小波對(duì)圖像進(jìn)行分解，相當(dāng)于把圖像向平方可積的空間里的各正交基分量上投影，即求各小波基函數(shù)和圖像之間的相關(guān)系數(shù)，即小波變換值。小波變換在頻域和時(shí)域里同時(shí)具有很好的局部化性質(zhì)，所以通過小波變換消除圖像噪聲，可以更好的保留圖像的邊緣和紋理信息。因?yàn)樾盘?hào)具有帶限性，所以信號(hào)的小波系數(shù)只在頻率尺度空間的有限部分上存在。從低頻信息和高頻信息上看，一幅圖像經(jīng)過小波分解之后，被劃分為低頻信息和高頻信息，含噪圖像經(jīng)小波分解之后,低頻部分中的信息大部分是圖像的主要信息，而在高頻信息里面大部分是圖像的紋理、邊緣和噪聲信息；從信號(hào)能量觀點(diǎn)來講，小波域里，僅有小部分小波系數(shù)對(duì)應(yīng)著信號(hào)能量，而噪聲的能量分布在所有的小波系數(shù)上，也就是噪聲的能量影響著所有的小波系數(shù)。因?yàn)榫植繄D像的小波分解系數(shù)只在一些比較大的尺度上存在,而且幅值比較大，而噪聲的小波分解系數(shù)的幅值比較小，且廣泛分布在各尺度上。從小波變換的特征可以知道，高斯噪聲經(jīng)小波變換之后依然是高斯分布的，所以，噪聲和圖像被小波分解之后會(huì)呈現(xiàn)出不同的特征，基于這些特點(diǎn)，專家和學(xué)者們提出了許多去除噪聲的方法。依據(jù)對(duì)小波系數(shù)處理方法的不同,常見的圖像去噪方法大致可以分三類：小波分解與重構(gòu)法去噪法、基于小波變換模極大值去噪法和小波閾值去噪法。(1)小波分解與重構(gòu)去噪法小波分解與重構(gòu)法是一種關(guān)于分辨率的分解，一幅圖像經(jīng)小波 n 尺度分解之后，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)低頻子帶，和 3n 個(gè)不同的高頻子帶，從而將交織在一起的不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻段的子信號(hào)，所以小波變換具有對(duì)信號(hào)進(jìn)行按頻帶分析的性能。小波分解與重構(gòu)法去噪與快速傅里葉方法中多通道的濾波去噪相似，不同的是快速傅里葉方法是將信號(hào)變換到頻域，而小波方法是將信號(hào)變換到小波域。對(duì)于確定性噪聲，且信號(hào)和噪聲的頻帶不相互重疊時(shí)，用該方法進(jìn)行去噪特別有效。該方法的基本過程是:按需要將含噪信號(hào)分解到某一尺度下的不同頻帶上，之后再將噪聲所處的頻帶置為零，或者直接利用有用信號(hào)所在的頻帶進(jìn)行小波重構(gòu)，從而可達(dá)到去除噪聲的目的。這種方法簡單且速度快，缺點(diǎn)是應(yīng)用面窄，對(duì)白噪聲去噪效果較差，僅在信號(hào)和噪聲頻帶相互分離的時(shí)候，去噪的效果比較好。(2)基于小波變換模極大值去噪法基于小波變換模極大值去噪法是 Mallat 提出的一種利用小波變換模極大值原理進(jìn)行信號(hào)去噪的方法。這種方法在去除噪聲的同時(shí)，不僅可以有效地保留信號(hào)的奇異點(diǎn)信息，而且去噪后的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生多余振蕩，是原始信號(hào)的一個(gè)最佳的估計(jì)。小波模極大值方法對(duì)噪聲的依賴性比較小，故不用計(jì)算噪聲方差，因此它對(duì)低信噪比的信號(hào)去噪效果尤其好。但用這種方法重構(gòu)，計(jì)算速度慢。而且小波分解尺度的選擇對(duì)這種方法的去噪效果影響很大，大尺度下會(huì)丟失某些重要的局部奇異性，小尺度下小波系數(shù)受噪聲影響很大，產(chǎn)生很多偽極值點(diǎn)；所以，利用小波模極大值法去噪還需要選擇合適的小波分解尺度。這種方法主要適用于信號(hào)中含有較多奇異點(diǎn)且混有白噪聲的情況。Mallat 首先對(duì)小波系數(shù)的模極大值進(jìn)行處理，接著在小波變換域內(nèi)消除因噪聲干擾產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，最后只保留了由真實(shí)信號(hào)所產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，可是只通過這些數(shù)量有限的模極大值點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)，造成誤差會(huì)很大。所以，在利用模極大值原理進(jìn)行信號(hào)除噪時(shí)，存在由模極大值點(diǎn)重構(gòu)小波系數(shù)產(chǎn)生的誤差問題。(3)小波閾值法小波閾值去噪方法是小波去噪方法中最早被提出來的，閾值去噪方法計(jì)算簡單，效果明顯。它的思想是：小波變換猶其是正交小波變換具有很好的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量集中在小波域里那些較大的小波系數(shù)中；而噪聲對(duì)應(yīng)的能量卻分布在整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后信號(hào)的小波系數(shù)幅值較大，數(shù)目較少，而噪聲的小波系數(shù)的幅值較小，數(shù)目較多。故可以認(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲?；谶@樣的思想 Donoho 提出了小波閾值去噪方法，它可以使大部分噪聲系數(shù)衰減。小波閾值法去噪過程是：首先選擇合適的尺度對(duì)含噪聲的信號(hào)進(jìn)行小波分解，對(duì)大尺度低分辨率的所有小波系數(shù)給以保留；對(duì)各尺度高分辨率下的小波系數(shù)進(jìn)行閾化處理，確定一個(gè)合適的閾值，將幅值比這個(gè)閾值低的小波系數(shù)置為零，將幅值比這個(gè)閾值高的小波系數(shù)完全保留，或者做相應(yīng)的縮減處理。最后用這些處理后的小波系數(shù)通過逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，恢復(fù)出原始的信號(hào)。小波閾值法主要適用于信號(hào)中混有白噪聲的情況，消除噪聲的同時(shí)且能很好的保留反映原始信號(hào)的特征點(diǎn)。但是經(jīng)硬閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)在閾值T和閾值T處是不連續(xù)的，利用閾值化后的小波系數(shù)重構(gòu)所得的圖像可能會(huì)產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)方法估計(jì)出來的小波系數(shù)整體連續(xù)性比較好，用軟閾值法去噪可以使去噪信號(hào)是原始信號(hào)的近似最佳估計(jì)。用閾值法對(duì)圖像去噪時(shí)，閾值的選擇對(duì)去噪效果有著很重要的影響，實(shí)際中需要根據(jù)具體的情況來選擇合適的閾值。閾值法的計(jì)算速度很快，為，其中N為信號(hào)長度，適應(yīng)性廣泛，取得了比較好的效果，是小波去噪方法中應(yīng)用最廣泛的一種。Daubechies 等已經(jīng)證明任意有限長濾波器的離散小波變換都可以通過對(duì)它的多相矩陣進(jìn)行因式分解化為有限的提升步驟來解決。提升算法可以實(shí)現(xiàn)所有能夠用Mallat算法實(shí)現(xiàn)的小波[5]，計(jì)算量約為傳統(tǒng)小波濾波器組算法的一半。提升小波算法的實(shí)質(zhì)在于將一個(gè)基本小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊，分步驟完成小波變換，構(gòu)建出一個(gè)更加良好的新的小波濾波器，包括分裂、預(yù)測(cè)、更新三個(gè)步驟。分裂過程是將原始數(shù)據(jù)集（j代表分辨率）分解為低分辨率的偶數(shù)序列和奇數(shù)序列兩部分。 （） （）其中，k＝0,1，,2j－1－1；對(duì)于預(yù)測(cè)過程，奇數(shù)位置上的是用相鄰偶數(shù)與線性平均去預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)誤差為變換的高頻分量，即 （）對(duì)于更新過程，則是由預(yù)測(cè)誤差來更新偶數(shù)序列，得到變換的低頻分量，即： （）當(dāng)需要對(duì)上述高頻分量與低頻分量進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，提升方法的逆變換為： （） （）對(duì)二維圖像信號(hào)進(jìn)行提升小波變換時(shí)，可通過先對(duì)每行作變換，然后對(duì)每列作變換來實(shí)現(xiàn)。二維圖像信號(hào)經(jīng)提升小波變換后得到四個(gè)子圖像LL，LH，HL，HH，分別表示圖像的低頻信號(hào)與水平、垂直和對(duì)角線方向的高頻信號(hào)。其中對(duì)低頻信號(hào)LL可繼續(xù)進(jìn)行分裂、預(yù)測(cè)和更新進(jìn)行下一層次的提升小波變換，就可以得到原信號(hào)的一個(gè)多級(jí)分解。第三章 弱小目標(biāo)檢測(cè)方法本章分析了弱小目標(biāo)檢測(cè)預(yù)處理的傳統(tǒng)方法，最后給出了兩個(gè)檢測(cè)到鎂溶液第一氣泡微小目標(biāo)的方法。本次實(shí)驗(yàn)的檢測(cè)圖像，（a）和（b）。，圖像目標(biāo)為弱小目標(biāo)，且弱小目標(biāo)周圍的背景非常復(fù)雜。 (a) (b) 鎂溶液第一氣泡析出前后兩幀圖像 直方圖均衡化算法 直方圖均衡是圖像增強(qiáng)空域法中最常用、最重要的算法之一。它以概率理論作基礎(chǔ)，運(yùn)用灰度點(diǎn)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)直方圖的變換，從而達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。設(shè)具有 n 級(jí)灰度的圖像，其第i 級(jí)灰度出現(xiàn)的概率為，則它所含的信息熵為： ()整幅圖像的信息熵為： ()因此可以證明，具有均勻分布直方圖的圖像，其信息熵 H 為最大。即當(dāng) （）時(shí)，上式有最大值。將圖像的原始直方圖變換為接近均勻分布的直方圖，就稱為直方圖均衡化。直方圖的均衡化處理，是指將圖像的灰度值按照規(guī)定的灰度分布進(jìn)行變換的處理。這種變換方法適用于圖像對(duì)比度較差、過于明亮或者過于黑暗，以及圖像的灰度分布集中在明、暗兩端的情況。直方圖均衡化方法是一種十分有效的方法，因?yàn)樽儞Q后的圖像灰度值分布是均衡分布，所以圖像的整體對(duì)比度得到了改善。下圖所示經(jīng)過直方圖均勻化前后兩幅圖像的對(duì)比情況。 （a）原始圖像 （b）均衡化后的圖像 （c）原始圖像的直方圖 （d）均衡化后的直方圖但經(jīng)典的直方圖均衡化處理后的圖像，有可能存在下述的不足:1)