【文章內容簡介】 t t dt k m n l Z? ? ? ? ? ????? ? ?? （ 318） 而且，每個 2()f L R? 都能寫成： ,( ) ( )k n k nknf t d t?????? ? （ 319） 13 上面的定理中，對 2, ( )f g L R? ， , ( ) ( )f g f t g t dt???? ?表示空間 2()LR的內積，而()gt 表示函數(shù)的復共軛。 在式（ 319）中，兩邊關于 , ()lmt? 取內積，得基數(shù)的系數(shù) ,knd 為： ,knd = , knf ? （ 320） 則稱式（ 317）為小波級數(shù)，而（ 318）為小波系數(shù)。注意到小波變換的定義式（ 39），式（ 318）正好是式（ 39）中 1 2 , 2kka b n??的情形，這時，小波系數(shù)變成： , 1, ( ) ( , )22k n k n kknd f W f???? （ 321） 3． 3 小波分析在圖像處理中的應用 由于圖像在人們的日常生活中無處不在，對圖像的處理隨之也成為當代科學技術工作的重要部分。而圖像又可以看成是二維的信號，所以對圖像的處理也可以看成是對信號的處理?，F(xiàn)在，對于性質穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是 Fourier 變換。但在實際應用中，大多數(shù)信號是不穩(wěn)定的，而小波分析恰恰是非常適合于非穩(wěn)定信號的工具。本小節(jié)簡單介紹一下小波分析在圖像處理的應用。 3． 3． 1 圖像壓縮 圖像壓縮 【 11】 在圖像的傳輸和儲存中起著至關重要的作用。小波變換由于具有良好的時域局部化性能，有效的克服了 Fourier 變換在處理非平穩(wěn) 的復雜圖像信號時的局限性，因而在圖像壓縮領域 受 到了廣泛的重視。現(xiàn)階段已有許多較為成熟的算法，如EZW編碼、 SPIHT 編碼等，而 Shapiro 利用零樹處理圖像小波系數(shù)，有效地利用了帶間相關性和帶內相關性，獲得了較高的編碼效率。值得一提的是，基于小波變換的圖像壓縮的部分算法已融入 JPEG2020 標準 【 6】 中。 以圖像為例，圖像數(shù)據(jù)往往存在冗余，如空間冗余、信息熵冗余、 視覺 冗余等等。壓縮就是想法去掉各種冗余，保留真正有用的信息。 圖像進行壓縮的過程稱為編碼，恢復原信號的過程稱為解碼。根據(jù)解碼后的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)是否 完全一致將圖像壓縮方法分為無失真編碼和有失真編碼。 小波分析用于信號與圖像壓縮是小波應用的一個重要方面。它具有壓縮速度快、壓縮比高、壓縮后能保持信號與圖像的相關特征不變等特點，且在傳輸中可以抗干擾。實際中，基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法、小波域紋理模型方法、小波變換零樹壓縮、小波變換向量量化壓縮等等。 一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率是不同的。高分辨率子圖像上大部分點的數(shù)值都近似于 0，越是高頻越明顯。而對于一個圖像，表現(xiàn)它的最主要的 部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像中的高頻部分而保留低頻。下面是利用二維小波分析對一幅14 圖像進行壓縮的例子： 原始圖像100 200 30050100150200分解后低頻和高頻信息200 400 600100200300400第一次壓縮50 100 15020406080100第二次壓縮20 40 60 80204060 圖 34 小波壓縮圖像 3． 3． 2 圖像去噪 噪聲一般可理解為妨礙人的視覺器官對所接受圖像源進行理解或分析的各種因素。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)，如果噪聲不能很好的抑制，必然影響處理的全過程和輸出結果。因此，有目的地從測量數(shù)據(jù)中獲取有效信息，去除噪聲，就成為許多分析過程中的一個重要環(huán)節(jié)。 小波去噪 【 12】 的成功主要是因為小波變換有如下的特點： a：低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低。 b：多分辨性。由于小波的多分辨性，可以很好的刻畫信號的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖斷點等，可在不同的分辨率下根據(jù)信號和噪聲的分布特點去噪。 c：基波選擇的靈活性。由于小波變換可以方便的選擇小波基，如單小波、多小波、多帶小波、小波包等等。 小波去噪的方法，大致有如下幾種： a：基于小波變換極大值原理。 Mallat 提出信號與噪聲在小波變換各尺度熵不同的傳播特性，剔除由噪聲產生的模極大值點，用所余模極大值點恢復信號。 b：基于相關性：首先對含噪信號做小波變換，然后計算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關性，根據(jù)相關性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，做出取舍，最后進行重構。小波隱馬爾可夫樹去噪法就是一種典型的基于相關性的去噪法。 c：硬閾值方法或軟閾值方法?；谛〔ㄗ儞Q的去噪方法，利用小波變換中的變尺度特性，對確定信號有一種“集中”的能力。如果一個信號能量集中于變換域少數(shù)小波系數(shù)上，那么它們的取值必然大于在變換域內能量分散的大量信號和噪聲的小波系數(shù)，這種情況下就可以用閾值方法。 15 下面僅簡要介紹一下閾值去噪法。給定一個閾值 ? ，所有絕對值小于 ? 的小波系數(shù)歸為噪聲，將其值用 0 代替；超過 ? 的小波系數(shù)的值，被縮減后再重新取值。這種方法意味著閾值化移去小幅度的噪聲，或非期望的信號。 軟閾值化與硬閾值化是對超過閾值的小波系數(shù)進行縮減的兩種主要方法。 軟閾值化表示式為： sg n ( )( ),W W W???? W?? 0,W ?? （ 322） 硬閾值化表示式為： W ,W ?? W?? 0,W ?? （ 323） 閾值化處理的關鍵是閾值的選擇，如果閾值太小，去噪效果不佳，如果閾值太大，則重要的信號又會被濾掉，引起偏差。 Donoho 等人提出了一種典型的閾值選取方法，在理論上給出并證明了閾值與噪聲的方差成正比，記 n 為小波分解次數(shù)，則有： 2logn??? （ 324） 可以總結出基于小波變換的閾值去噪法的步驟如下： 選擇合適的小波，對所給的信號進行小波變換，得到小波變換系數(shù) W。 計算小波的閾值 ? ，選擇軟閾值或硬閾值法，對小波系數(shù)進行取舍，得到新的小波系數(shù) W? 。 對得到的新小波系數(shù) W? 進行逆小波變換，得到去噪后的圖像。 下面是一個對圖像做 小波 去噪的例子： 原始圖像100 200 30050100150200250含噪聲圖像100 200 30050100150200250第一次去噪圖像100 200 30050100150200250第二次去噪圖像100 200 30050100150200250 圖 35 小波分析用于去噪 16 3． 3． 3 邊緣檢測 邊緣是圖像最基本的特征，所以邊緣檢測是圖像處理中的重要內容，在工程應用中占有著重要地位。 小波分析是近 20年發(fā)展起來的新興科學，作為一種快速、高效、高精度的近似方法，給許多學科的研究領域帶來了新的思想。基于小波分析的圖像邊緣檢測就是小波在邊緣檢測中的應用，也是本文研究的重點，具體內容將在下面的章節(jié)詳細討論。 總的來說，小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密聯(lián)系在一起的?，F(xiàn)在，它已經在 科技信息產業(yè)領域取得了令人矚目的成就。由于在實際中，信號絕大多數(shù)是非 穩(wěn)定的，而小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號的處理工具。圖像處理是“信息處理”的一個方面，這一觀點已為人熟知。它可以進一步細化為多個研究方向：圖片處理、模式識別、景物分析、圖像理解、光學處理等等。小波分析在圖像處理方面，主要是用來進行圖像壓縮、圖像去噪、圖像增強、圖像融合和分解等等，有著巨大的實際應用價值。 17 第四章 圖像的邊緣檢測 所謂邊緣是指其周圍像素灰度有變化的那些像素的集合，它是由灰度的不連續(xù)來反映的?；谶吘壍姆指钍亲钤绲倪吘墮z測方法之一，它代表了一大類基于圖像 邊緣信息的方法。本章首先討論了傳統(tǒng)的基于分割的邊緣檢測方法；然后對幾種經典的邊緣算子進行理論分析，并對各自的特點做出了比較和評價；最后介紹 Canny 連續(xù)準則及其算法。 4． 1 基于邊緣的分割 在實際應用當中，最早的邊緣檢測方法是基于分割 【 13】 的邊緣檢測法，而且在現(xiàn)在仍然是非常重要的。基于邊緣的分割依賴于邊緣檢測算子找到的圖像邊緣，這些邊緣顯示了圖像在紋理、色彩和灰度等方面的不連續(xù)的位置。但邊緣檢測的結果并不能用做圖像的分割結果，因為必須采用后續(xù)的處理將邊緣合并為邊緣鏈，使之與實際的邊界對應的更好。所以， 應將局部邊緣聚合到一副圖像中，使其中只出現(xiàn)對應于存在的物體或圖像部分的邊緣鏈。 由于存在模糊和噪聲，檢測到的邊界可能在某些地方發(fā)生間斷或變寬。因此，邊界檢測必須包含兩方面的內容：首先要提取出反映灰度變化的邊緣點，然后去除某些邊界點或替補某些缺失點，使得這些點能夠連成一條完整的直線。 邊緣檢測的基本原理：邊緣檢測的實質是采用某種算法來提取出圖像中對象與背景間的交界線。我們將邊緣定義為圖像中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域邊界，它的變化情況可以用圖像灰度分布的梯度來反映，因此我們可以用局部圖像微分的方法來獲得邊緣檢測算子 。 經典的邊緣檢測方法是對原始圖像中像素的某小鄰域來構造邊緣檢測的算子?？梢杂洠? ( , ) fff x y i jxy??? ? ? （ 41） 為圖像的梯度， ( , )f xy? 中包含局部灰度的變化信息。 又記 22( , ) ( , ) ( , )xye x y f x y f x y??為梯度 ( , )f xy? 的幅度值， ( , )exy 可以用作邊緣檢測算子。為了簡便，也可以將 ( , )exy 定義為偏導數(shù) ,xyff的絕對值之和，如下： ( , )exy ? ( , ) ( , )xyf x y f x y? （ 42） 人們根據(jù)這些理論提出了許多算法，現(xiàn)在比較常用的邊緣檢測方法有差分檢測法、Roberts 邊緣檢測算子、 Sobel 算子、 Prewitt【 14】 算子、 Robinson 算子、 Laplace 算子、Canny 算子 【 15】 和 LOG 算子 【 16】 等等。總而言之，這些算子的成功運用，幫助人們能夠很好的得到圖像邊緣，使得圖像分析大大簡化，也使圖像識別變得容易很多。 18 4． 2 常用的邊緣檢測算子 4． 2． 1 差分邊緣檢測方法 可以利用像素灰度的一階導數(shù)在灰度急劇變化處得到峰值來進行奇異點的檢測。它在某一點的值就代表該點的邊緣強度，通過對這些值設置閾值來進一步得到邊緣圖像。但是，用這種方法就必須使差分的方向與邊緣方向垂直，這就需要對圖像的不同方向都進行差分運算，實 際上增加了運算的復雜性。 差分檢測方法一般分為垂直邊緣、水平邊緣和對角線邊緣檢測，如下圖： 0 1 00 1 0000??????? 0 0 01 1 00 0 0??????? 1 0 00 1 00 0 0??????? 差分邊緣檢測法是一種最原始、最基本的方法。根據(jù)灰度迅速變化處一階導數(shù)達到最大值原理，就必然要求差分方向與邊緣方向垂直，也就要通過對各個不同方向求一階導數(shù)的最大值來檢測邊緣。但這種方法計算繁瑣，目前已很少采用。 4． 2． 2 Roberts 邊緣檢測算子 Roberts 邊緣檢測算子根據(jù)任意一對相互垂直方向上的差分可用來計算梯度的原理，采用對角線方向相鄰兩像素之差，即： ( , ) ( 1 , 1 )x f f i j f i j? ? ? ? ? ( , 1 ) ( 1, )y f f i j f i j? ? ? ? ? （ 43） 有了 yf? ， xf? 后，可以根據(jù)下式計算出 Roberts 的梯度幅度值 (, )Ri j ： 22( , ) xyR i j f f? ? ? ? 或 ( , ) xyR i j f f? ? ?