【文章內容簡介】 線地分發(fā)多媒體內容以及大規(guī)模的廣播服務。數字水印用于隱藏標識時，可在醫(yī)學、制圖、數字成像、數字圖像監(jiān)控、多媒體索引和基于內容的檢索等領域得到應用。數字水印的認證方面主要 ID 卡、信用卡、 ATM 卡等上面數字水印的安全不可見通信 將在國防和情報部門得到廣泛的應用。多媒體技術的飛速發(fā)展和 Inter信科專業(yè) 實踐報告 第 10 頁 共 25 頁 的普及帶來了一系列政治、經濟、軍事和文化問題，產生了許多新的研究熱點，以下幾個引起普遍關注的問題構成了數字水印的研究背景。 3 小波分析理論基礎 小波變換是將信號分解成時域和尺度域的一種變換 ???，不同的尺度對應于不同的頻率范圍，因此，對于圖像信號這樣的時頻信號而言，小波變換是一種很好的分析工具。小波分析的時頻局部化特性好，原圖像的低頻部分和高頻部分經變換后的系數比較集中，而不會像 DCT 那樣形成幅值分散，故在保留同樣多的細節(jié)信息的情況下需 編碼的系數較少。 小波分析的發(fā)展歷程 任何理論的提出和發(fā)現(xiàn)都有一個漫長的準備過程，小波分析也不例外。 1910年 Haar 提出了小波規(guī)范正交基，這是最早的小波基，當時并沒有出現(xiàn)“小波”這個詞。 1936 年 Litlewood 和 Paley 對 Fourier 級數建立了二進制頻率分量分組理論，對頻率按 21進行劃分，其 Fourier 變換的相位變化并不影響函數的大小，這是多尺度分析思想的最早來源。 1946年 Gabor提出的加窗 Fourier變換 (或稱短時 Fourier 變換 )對彌補 Fourier 變換的不足起到了一定的作用， 但并沒有徹底解決這個問題。后來， Calderon,Zy gmund,St ern 和 Weiss 等人將 LP理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論， 1965 年， Coifmann 提出了再生公式， 1974 年， Coif nann 對一維 HP 空間和高維 Hp 空間給出了原子分解， 1975年 Calderon 用他早先提出的再生公式給出了拋物型 H，的原子分解，這一公式現(xiàn)在己成為許多函數分解的出發(fā)點，它的離散形式已接近小波展開。多分辨分析原理與人類的視覺和聽覺方式十分接近。 Mallat 受金字塔算法的啟發(fā)，以多分辨率分析為基礎提出了 著名的快速小波算法一 Mallat 算法 (FWT)，這是小波理論突破性的成果，其作用和地位相當于 Fourier 分析中的 FFT. Mallat 算法的提出宣告小波從理論研究走向寬廣的應用研究。 小波函數與小波變換 連續(xù)小波基函數 小波 (wavelet)，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為小波 信科專業(yè) 實踐報告 第 11 頁 共 25 頁 函數的定義為 :設 ??t? 為一平方可積函數，即 ??t? ? ?RL2? ，若其 Fourier 變換???? 滿足條件 :C? = ? ?? ??Rdt ??? )( () 則稱 T (t)為一個基本小波或小波母函數，我們稱式 ()為小波函數的可容許條件。 將小波母函數 ??t? 進行伸縮和平移，就可以得到函數 )(, t??? ??t???, = a1 ? ?????? ?at ? a, R?? 。a0 () 式 ()中， a為伸縮因子， T 為平移因子，我們稱 ??t???, 為依賴于參數 a,? 的小波基函數。 連續(xù)小波變換 將任意 L2 (R)空間中的函數 f(t )在小波基下展開，稱這種展開為函數 f(t )的連續(xù)小波變換 (ContinueW aveletTr ansform，簡稱為 CWT)，其表達式為 : WT ? ??,af = )(),( , ttf a?? = a1 ?Rt)( tdat ?????? ??? （ ） 由以上定義，我們可以看出小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換， WT ),( ?af ,灼為小波變換系數。但它不同于傅立葉變換的地方是，小波基具有尺度 a 和平移 ? 兩個參數，所以函數一經小波變換，就意味著一個時間函數投影到二維的時間一尺度相平面上，這樣有利于提取信號函數的某些本質特征。 可以證明，若采用的小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換，逆變換 公式為 : f(t)=?C1 ???0 2ada ?????),( ?aWTf ??? dta )(, = ?C1 ???0 2ada ?????),( ?aWTf ??? dat )( ? () 式 () C? = ? ?? ??Rdt ??? )( 為對 ? (t)提出的容許條件。 在此需要進一步說明，在小波變換過程中，所采用的小波必須滿足容許條件信科專業(yè) 實踐報告 第 12 頁 共 25 頁 反變換才存在，由容許條件 C? = ? ?? ??Rdt ??? )( 可以推斷出 :能用作基本小波 ? (t) 的函數至少必須滿足 0)0( ???? 或者 ? ?R tdt 0)(?,也就是說， )(?? 必須具有帶 通性質，且 )(t? 必須是有正負交替的 MIA 波形，使得其平均值 =0，這便是稱之為“小波”的原因。另外，在實際中，對基本小波的要求往往不局限于滿足容許條 件，對 ? (t)還要施加所謂的“正則性條件”，使 )(?? 在頻域上表現(xiàn)出較好的局限性能。為了在頻域上有較好的局限性，要求 ),( ?aWTf 隨 a的減小，所以這就要求 ? (t)的前 n階原點矩為 0，且 n值越高越好，即 ??pt （ t） d(t)=0 p =1~ n ，且 n值越大越好 () 此要求在頻域內表示就是， )(?? 在 ? =0 處有高階零點，且階次越高越好 (一階零點就是容許條件 )，即 )(?? = ??1?n )(0? 0)0(0 ???? , n 越大越好 () 上兩式就是正則性條件。如果 用 上 述變換公式來處理圖像信息，還需要將連續(xù)小波離散化，同時將一維變換拓展到二維。 離散小波變換 在實際應用中，為了方便計算機進行分析、處理，信號 ? (t )都要離散化為離散數列， a和 ? 也必 須離散化，成為離散小波變換 (Discrete Wavelet Transform),記為 DWT. 由上一節(jié)連續(xù)小波變換的概念我們知道，在連續(xù)變換的尺度 a和 ? 時間值下，小波基函數 )(, ta?? 具有很大的相關性，所以一維信號 f(t)做小波變換成二維的WT ),( ?af 后，它的信息是有冗余的，體現(xiàn)在不同點的 WT ),( ?af 滿足重建核方程。在理想情況下，離散后的小波基函數 )(, tnm? 滿足正交完備性條件，此時小波變換后的系數沒有任何冗余，這樣就大大地壓縮了數據，并且減少了計算量。 為了減少小波變換的系數冗余度，我們將小波基函數 信科專業(yè) 實踐報告 第 13 頁 共 25 頁 ??t???, =a1 ? ?????? ?at ? a,? 限定在一些離散的點上取值。 ① 尺 度 的離散化。目前通行的辦法是對尺度進行冪級數離散化，即令 a取 a= ma0 ,a0 O,m?Z，此時對應的小波函數是 a ???????? )2(02_0 tjj? j=0 ,1,2,...。 ② 位移的離散化。通常對 ? 進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸。為了 防 止信息的丟失，我們要求采樣間隔 ? 滿足 Nyquist 采樣定理，采樣率大于等于該尺度下頻率通常的二倍。所以每當 m增加 1 時，尺度 a增加一倍，對應的頻率減小一半，可見采樣率可以降低一半而不致引起信息的丟失 (帶通信號的采樣率決定于其帶寬，而不是決定于其頻率上限 )。所以在尺度 j下，由于 ????????? tf0?的帶寬時 ??t? 的 aj0 倍，因此采樣間隔可以擴大 aj0 ，同時也不會引起信息的丟失。這樣， )(, ta?? 就改成 :a ? ? ? ?002020200 )( ???? ktaakata jjjjj ??? ???? () 記為 )(00, tkaj ??離散小波變換定義為 : WT ),( 00 ?kajf = )()()(00 , tdttf ka j ??? j=0,1,2...,k Z? () 在以上的尺度以及位移均離散化的小波序列，如果取離散柵格 a0 = 2 ,0? =0， 即相當于連續(xù)小波只在尺度 a 上進行量化，平移參數 ? 仍然連續(xù)不被離散，我們稱這類小波為二進小波，表示為 : )(,2 tK??=2 )2(2kk t ?? ?? () 二進小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，由于它只是對尺度參量進行離散化，在時間域上的平移量仍保持著連續(xù)的變化，所以二進小波具有連續(xù)小波變換的時移共變性，這個特點也是離散小波不具有的。也正因為如此，它在奇異性檢測、圖像處理方面都十分有用。 令小波函數為 ? (t)，其傅立葉變換為 )(?? ，若存在常數 A,B，當 0A? B? ，使得 信科專業(yè) 實踐報告 第 14 頁 共 25 頁 BA zk kw ?? ?? 2)2(? () 此時， ? (t)才是一個二進小波，我們稱上式為二進小波的魯棒性條件。 定義函數 f(t) )(2 RL? 的二進小波變換系數為 : WTK2(? )=f(t) )(,2 tk??=tkk dttf )2()(2 2 ? ??? () 其中 )(,2 tk??=2 2k? )2(kt ?? ? () 由前面的知識可得它的小波逆變換公式是存在的。 二進小波變換的重建公式為 : f(t)=???? dtWT KKzk R )()( ,22 ?? ?? () 其中， )(,2 tk??? 為??,